呂志軍

摘要本文從對(duì)“數(shù)學(xué)”這一概念的定義出發(fā),向大家闡述了微積分發(fā)展的歷史:我們可以知道客觀的社會(huì)需求和科學(xué)研究的需要,促使了微積分的產(chǎn)生和發(fā)展,并不斷的深入和擴(kuò)展。

關(guān)鍵詞正流數(shù)學(xué)反流數(shù)學(xué)流量流數(shù)

中圖分類號(hào):O172文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1 微積分的創(chuàng)立

牛頓是一位偉大的科學(xué)家,在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)和自然哲學(xué)方面都有突出貢獻(xiàn)。有關(guān)他的傳記和成果的介紹不勝枚舉,任何一本數(shù)學(xué)通史專著都必然提到牛頓,他的影響是劃時(shí)代的,僅就數(shù)學(xué)而言,他創(chuàng)立的微積分就已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主干。

據(jù)牛頓自述,他于1665年11月發(fā)明正流數(shù)學(xué)(微分法)。1666年5月建立反流數(shù)學(xué)(積分法)。1666年10月寫成一篇總結(jié)性論文,在朋友和同事中傳閱,現(xiàn)以《1666年10月流數(shù)簡(jiǎn)論》著稱。這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。

牛頓提出流數(shù)的基本問題是:(a)設(shè)有二個(gè)或更多物體A, B, C……在同一時(shí)刻描畫線段x,y,z……。己知表示這些線段關(guān)系的方程,求它的速度p,q,r……的關(guān)系。(b)己知表示線段x和運(yùn)動(dòng)速度p,q之比p/q的關(guān)系方程式,求另一線段y。對(duì)于問題a,首先將所有的項(xiàng)移到方程的一邊,成為多項(xiàng)式,使其和等于0,例如牛頓給出的解釋相當(dāng)于。為了證明這一結(jié)果,牛頓采用時(shí)間的無窮小瞬的概念,指出若在某一瞬己描畫的是和,則到下一瞬他們將變成和,以和代換方程中的和。例如方程。代換后展開得消去和為零的項(xiàng),并以除余下的項(xiàng)得。此時(shí)牛頓指出“其中含的那些項(xiàng)為無限小”略之得即為解。

牛頓后來引入了被普遍使用的流數(shù)記號(hào),即用帶點(diǎn)的字母表示其流數(shù)。例如上例中用表示,表示,則上式結(jié)果可記為--2d相當(dāng)于分別對(duì)和求導(dǎo)。

牛頓將正反微分運(yùn)算應(yīng)用于16類問題,展示了牛頓算法的普遍性與系統(tǒng)性。

1669年牛頓完成《運(yùn)用無窮多項(xiàng)式方程的分析學(xué)》,重申“微積分基本定理”,廣泛地利用無窮級(jí)數(shù)做工具,給出求曲線下面積的一般方法,并發(fā)現(xiàn)若干函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)展開式。

1671年,牛頓完成專著《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》,首次使用“流數(shù)”這一術(shù)語(yǔ)。其中稱連續(xù)變動(dòng)的量為“流量”,稱這些流量的變化率(導(dǎo)數(shù))為“流數(shù)”,于是這一新學(xué)科就被稱為“流數(shù)術(shù)”或“流數(shù)法”。

1687年,牛頓的名著《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》出版,首次公開表述了他的微積分方法。此時(shí)距他創(chuàng)造微積分己過去22年。全書沒有明顯的分析形式的微積分運(yùn)算,而是以綜合語(yǔ)言寫成。牛頓推崇說:“幾何學(xué)的榮耀在于,它從別處借用很少的原理,就能產(chǎn)生如此眾多的成就。”他首先建立了“首末比方法”,即借助幾何解釋把流數(shù)理解為增量消失時(shí)獲得的最終比,相當(dāng)于求函數(shù)自變量與應(yīng)變量變化之比的極限,這是極限方法的先導(dǎo)。由此引導(dǎo)出微積分方法,并用于引力,流體阻力,聲,光,潮汐,慧星乃至宇宙體系,充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力,為微積分的應(yīng)用開辟了廣闊前景。

萊布尼茨與牛頓有許多相似之處:都是名垂青史的哲學(xué)家,都是對(duì)多種學(xué)科有重大貢獻(xiàn)的學(xué)者,都是當(dāng)時(shí)各自國(guó)家科學(xué)界的領(lǐng)袖人物,都是一生未婚,都很愛國(guó),逝后都被塑像供后人瞻仰。其中最相似的貢獻(xiàn)就是幾乎同時(shí)各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分。

1666年萊布尼茨寫成《論組合術(shù)》,討論平方數(shù)列的性質(zhì)。例如其一階差為奇數(shù)列,二階差恒為2,三階差就“消失”。他用x表示序列中項(xiàng)的次序,用y表示這一項(xiàng)的值,接著討論了多種組合性質(zhì)。這是萊布尼茨寫的第一篇數(shù)學(xué)論文,其優(yōu)良的符號(hào)用法,函數(shù)對(duì)應(yīng)思想以及求差分的思想為以后微積分創(chuàng)作奠定了基礎(chǔ)。

1684年萊布尼茨在《學(xué)藝》雜志上第一次發(fā)表了他的微分學(xué)論文,時(shí)間上比牛頓的《原理》早了3年,這使該文成為世界上最早公開出版的微積分文獻(xiàn)。全文僅6頁(yè)名字卻很長(zhǎng),一般簡(jiǎn)譯為《一種求極大極小和切線的新方法》,其中含有現(xiàn)本微分法則,給出極值的條件及拐點(diǎn)的條件等結(jié)果。1686年萊布尼茨又在同一雜志上第一次發(fā)表他的積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量和無限的分析》,其中指出如果則。他還用積分舉出超曲線的例子,如正矢曲線,或旋轉(zhuǎn)輪線,并以能用一個(gè)議程表示超曲線而滿意。

1693年萊布尼茨在發(fā)表的文章中更清楚地闡述了微分與積分的關(guān)系,表明他已純熟地掌握了微積分的原理,他還給出了求一族曲線包絡(luò)的普遍方法,研究了無窮級(jí)數(shù)和微分方程,對(duì)微積分的應(yīng)用做出了貢獻(xiàn)。

經(jīng)過牛頓和萊布尼茨之手,微分方法不再是古希臘幾何學(xué)的附庸和延展,而成為一門獨(dú)立的科學(xué),可以處理更廣泛的問題。

18世紀(jì)的主要工作是微分的應(yīng)用,即分析學(xué)的發(fā)展。但人們?cè)趹?yīng)用微積分之前首先要擴(kuò)展微積分本身,由直觀和物理見解指引的形式有了很大的發(fā)展。數(shù)學(xué)家對(duì)微積分及隨后產(chǎn)生的分支作了技巧高超的處理。18世紀(jì)解決了許多問題,微積分理論基礎(chǔ)問題是由于微積分先天不足帶來的,其促進(jìn)了微積分的健康發(fā)展。

歐洲大陸的學(xué)者很快接受了萊布尼茨的優(yōu)越符號(hào),在伯奴家族、歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯等人的努力下很快獲得豐碩的研究成果,引導(dǎo)了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

18世紀(jì)的幾乎每一位數(shù)學(xué)家都對(duì)微積分的邏輯基礎(chǔ)作了一些努力,或者至少是講了一些這方面的話,但是所有努力均無最后結(jié)果,直到19世紀(jì)這一狀況才開始改變。

2 分析基礎(chǔ)的確立

分析嚴(yán)密化最終是通過算術(shù)途徑達(dá)到的,最先對(duì)分析算術(shù)做出貢獻(xiàn)的是捷克數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家波爾查諾。

1817年波爾查諾的名著《純粹分析的證明》出版。其中證明了下面的原理:如果對(duì)于兩個(gè)連續(xù)函數(shù)和%停有＜%停且%停則有x介于。和刀之間,使<%汀8枚ㄒ宓諞淮吻宄地表明連續(xù)性概念的基礎(chǔ)存在于極限概念之中U飧齠ㄒ逵肟攣骱罄錘出的連續(xù)性定義并無實(shí)質(zhì)區(qū)別2ǘ查諾證明了多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)的，還試圖為代數(shù)基本定理給出一個(gè)純算術(shù)的證明?

1834年波爾查諾寫作《函數(shù)論》,第一個(gè)把的導(dǎo)數(shù)定義為自變量的增量趨向于0時(shí),增量比值無限接近的趨向的量,進(jìn)一步對(duì)極限概念的性質(zhì)作了深入探討,強(qiáng)調(diào)不是與比值,也不是兩個(gè)零的商,還不是兩個(gè)消失了的量的比,而是前面提出的比趨近一個(gè)數(shù),相當(dāng)于描述函數(shù)的記號(hào)。他說明有幾何或物理直觀造成的印象并不可靠,連續(xù)函數(shù)未必都有導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在這己成為分析學(xué)中的常識(shí)。

柯西在其始代表論著《分析教程第一編·代數(shù)分析》中給出從變量開始直到函數(shù)連續(xù)較為嚴(yán)格的定義。在其《無限小計(jì)算教程概論》中用與波爾查諾同類的辦法定義了連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),給出了對(duì)定積分最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作,對(duì)連續(xù)函數(shù)給出定積分作為和的極限的確切定義:如果區(qū)間[]為x的值LL所分割,假設(shè)在[]上連續(xù),分割后最大子區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零,則在區(qū)間[]上的積分是|)。他接著定義函數(shù),并且證明了在上連續(xù),令,并且用微分中值定理,證明了,得到微積分基本定理。

阿貝爾是19世紀(jì)分析嚴(yán)格化的倡導(dǎo)者和推動(dòng)者。在1826年克雷爾的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》阿貝爾發(fā)表文章中的一篇中改正了柯西關(guān)于“連續(xù)函數(shù)的一個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和一定是連續(xù)函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論,并用一直收斂的思想正確的證明了:連續(xù)函數(shù)的一個(gè)一致連續(xù)收斂的和在收斂區(qū)域內(nèi)部是連續(xù)的。他還得到一些無窮級(jí)數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則以及關(guān)于冪級(jí)數(shù)求和的定理。

19世紀(jì)在分析學(xué)嚴(yán)密性的論證中,這些著名的數(shù)學(xué)家的工作迫使許多數(shù)學(xué)家改寫原來的著作,將微積分從幾何概念、運(yùn)動(dòng)和直覺中解放出來。但這并不意味著分析基礎(chǔ)研究的終結(jié)。因?yàn)閲?yán)密性所倚賴的實(shí)系數(shù)尚未嚴(yán)格定義,連續(xù)函數(shù)不可導(dǎo)與不連續(xù)函數(shù)可積分的例子尚無完滿解釋,某些嚴(yán)格分析排除的發(fā)散級(jí)數(shù)也有物理意義。然而這一切正是分析學(xué)繼續(xù)發(fā)展的動(dòng)力,導(dǎo)致現(xiàn)代分析學(xué)的突進(jìn)。

3 總結(jié)與展望

縱觀微積分發(fā)展史,我們可以了解到,實(shí)驗(yàn)科學(xué)的興起促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,原有的數(shù)學(xué)知識(shí)無法滿足現(xiàn)實(shí)的科學(xué)研究是微積分產(chǎn)生和不斷發(fā)展的源動(dòng)力,如今進(jìn)入21世紀(jì),隨著人類在太空領(lǐng)域,微電子領(lǐng)域生物等等領(lǐng)域研究的不斷深入,將促使人們不斷地繼續(xù)拓展和深入微積分知識(shí),微積分知識(shí)將在越來越多的領(lǐng)域得到更為深入和廣泛的應(yīng)用。