廖玉懷

【摘要】數學建模是將現實問題轉化為數學問題的過程，是解決實際問題常用的方法。將數學建模融入高等數學中，關鍵是滲透數學建模思想。本文結合高等數學的教學談談數學建模思想的滲透。

【關鍵詞】數學建模 應用 滲透

當今的數學已經不僅僅是超脫于一切客觀事物的抽象的理論，它滲透到了社會生活的方方面面，成為一種普遍的可以實行的技術?？茖W技術的發(fā)展大大拉近了數學和現實生活的距離。

在高等數學教學中滲透數學建模思想不僅能激發(fā)學生學習數學的興趣，培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的能力，還能幫助學生更好地理解和掌握數學中的定義、定理，從而起到事半功倍的效果。本文結合高等數學的教學談談數學建模思想的滲透。

一、高等數學中的數學建模思想

把應用數學語言所得到的能反映實際對象的那些數學關系式、圖表、數學結構或有效算法的過程稱為數學建模。簡單地說，所謂數學建模就是用數學的觀點去解決實際生活中的問題。數學建模通常很難直接套用現成的結論或模式，但是有一種不變的東西始終在起作用，那就是數學建模思想。完成數學建模過程，學生需要具備良好的數學建模思想。將數學建模融入高等數學，而不是用“數學模型”或“數學實驗”課的內容搶占各個高等數學的陣地，關鍵是滲透數學建模思想。在高等數學教學過程中，應該培養(yǎng)學生用數學建模的觀點和思考方式解決復雜的實際問題的能力。

二、把握數學建模嵌入的時機

數學建模在什么時機嵌入是最合適的?當所學的內容與已有的經驗聯(lián)系起來時，這樣的學習才是最有效、最有意義、最有價值的，才能最大限度地調動學生的積極性。引進教學的模型時應借助已知的概念、定理，在解決模型的過程中，引出新的定義、定理方法，這個時候，嵌入數學建模的時機是最合適的，效果是最理想的。

例如，在導出定積分的概念時，設計如下教學過程：

實際問題：(1)如何求曲邊梯形的面積?(2)如何求變力沿直線所做的功?(3)如何求變速直線運動的路程?

問題提出后引導學生建立模型：

先看問題(1)，如果曲邊梯形是梯形(規(guī)則的)，那么其面積=1/2(上底+下底)×高。

問題是這里的梯形是曲邊梯形(不規(guī)則的)，所以上述公式不能用。我們可以這樣考慮：把曲邊梯形放在直角坐標系中，第三條直線是x軸，曲線是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)非負函數y=f(x)。在區(qū)間[a，b]內插入n-1個點，把區(qū)間[a，b]分成n個小區(qū)間，當所插入的點足夠多時，小曲邊梯形就可以用小矩形來近似(即小曲邊梯形的面積近似等于小矩形的面積)，把所有小矩形的面積加起來就得到大曲邊梯形的面積的近似值，要想得到精確的值，就要在區(qū)間[a，b]內插入無窮多個點，使每個小區(qū)間段的長度都趨于零，這時所有小矩形的面積之和的極限就是所求的曲邊梯形的面積。

再看問題(2)、(3)，類似問題(1)的分析，通過分割、近似、求和、取極限轉化為一個和式的極限即，從而抽象出定積分的概念。

三、應用建模思想進行應用問題的教學

(一)灌輸數學模型思想，增強學生數學建模意識

所謂數學模型，是指通過抽象和簡化，使用數學語言對實際現象的一個近似的刻劃，以便于人們更深刻地認識所研究的對象。在高等數學課程中引入數學建模內容的主要目的，是充分利用高等數學課程中豐富的數學建模素材，培養(yǎng)學生的數學模型意識。例如講函數這一章時，如果僅僅是把它作為中學知識的復習，則單調乏味。如果是從數學模型的觀點來看，對實際問題中不同變量之間的聯(lián)系，建立起函數關系，事實上就是構造相應的數學模型。如，自由落體運動中路程和時間的關系為s=1/2gt²，這就是一個刻劃自由落體運動的數學模型。同時指出，構造數學模型往往要忽略一些次要的因素，作一些必要的簡化假設，上例中其實隱含了這樣一個假設：空氣阻力忽略不計。經過這樣處理，即向學生灌輸了數學模型的概念，又增加了他們學習數學的興趣，何樂而不為。

(二)運用建模思想分析解決實際應用問題

在課堂教學中，通過對應用題的分析及對教材上已有模型的講解，介紹數學建模的思想方法，學會從實際問題中篩選有用的信息和數據，建立數學模型，進而提高學生的理解能力、計算能力以及使學生養(yǎng)成精益求精的科學精神，讓學生切實感受到數學知識在實際中的應用。

如，根據國家計劃生育委員會估計，中國總人口的峰值是2044年，峰值人口數達到15.6億或15.7億。如何建立數學模型，合理的論證計生委的估計及如何準確定位、保持人口合理增長?

1.模型基本假設

(1)人口總數的變化是離散型的按整數變化，當總數非常大時，可近似認為人口總數是隨時間連續(xù)可微地變化；

(2)單位時間內人口增長量與當時的人口成正比例；

(3)設y(t)表示時刻t的人口總數，r為比例系數(即為常數)，且y(t₀)=y₀。

2.建立數學模型

建立數學模型要善于捕捉有效的信息將普通評議轉化為數學語言，把實際問題轉化為數學問題，進而用數學符號表示之。

根據r為常數的基本假設，t到t+△t時間內人口的增量為：y(t+△t)-y(t)=r·y(t) y(t+△)t

于是，利用微分方程建立起最簡單的數學模型：。

3.模型求解

利用分離變量法解此微分方程可得：y=y₀e^r(t-t₀)，這便是著名的馬爾薩斯指數增長模型。

4.模型的分析與檢驗

(1)查相關資料，對照我國計生委、聯(lián)合國關于地球人口的統(tǒng)計數字與模型計算結果的人口數字作比較，從而檢驗模型的正確性。

(2)利用模型去考察一下遙遠的未來。據統(tǒng)計，地球上的人口按每年2%的速率長著，由此可推算出世界人口總數在2515年將是200萬億，在2625年將是1800萬億，到2660年將是3600萬億。

若按人均地球表面積計算，2625年僅為0.09平方米/人，也就是說必須人挨著人站著才能擠得下；而35年后的2660年，人口又翻了一番，那就是人的肩上再站著人了。隨著時間的推移，我們有表明人口將按指數規(guī)律無限增長( r>0)。說明此模型的不合理性，這對r為常數的基本假設提出了異議，需要改進。

實際上，高等數學的許多教學內容中都可以引入相應的數學模型，但盡可能選用一些與社會實際生活緊密聯(lián)系的數學建模案例，使學生感到“數學就在身邊”，感到數學有用。使學生不僅掌握理論知識，更重要的是知道怎樣應用和自覺去應用數學知識。

四、教學中滲透數學建模思想要注意的幾個問題

1.要循序漸進，由簡單到復雜，逐步滲透。

2.應選擇密切聯(lián)系學生，易接受、且趣味性、實用的數學建模內容，不能讓學生反感。

3.在教學中列舉數學建模實例，僅僅是學生學習數學建模的方法和思想的初步，因此，在教學中舉例宜少而精，忌大而泛沖淡高等數學理論知識的學習，因為沒有扎實的理論知識，也談不上什么應用。

4.教學中，在強調重視實際應用的同時，要使學生理解和掌握數學理論中所隱含的內在規(guī)律性。

五、結束語

在高等數學教學中貫穿數學建模思想，等于教給學生一種好的思想方法，更是給學生一把開啟成功大門的鑰匙，為學生架起了一座從數學知識到實際問題的橋梁，使學生能靈活地根據實際問題構建出合理的數學模型，得心應手地解決實際問題。

參考文獻：

[1]姜啟源.數學模型(第三版).高等教育出版社，2003.

[2]劉鋒.數學建模.南京大學出版社，2005.

[3]楊桂元.數學模型應用實例.合肥工業(yè)大學出版社，2007.