王　永

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展有兩種不竭的動(dòng)力。一是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的需要，由此生成的是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系;二是數(shù)學(xué)理論本身發(fā)展的需要，由此生成的是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。按照荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾對(duì)數(shù)學(xué)化的分類※，也可以這樣理解：與前者對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系過(guò)程，就是橫向的數(shù)學(xué)化;與后者對(duì)應(yīng)的，即抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的歸納、概括、推理、論證、推廣、引申等，則是縱向的數(shù)學(xué)化。

橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化作為兩種數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)于數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)也具有同等的地位。如果運(yùn)用這種理論框架來(lái)考察“a能表示什么”這節(jié)課，我們也許更容易發(fā)現(xiàn)課堂事件或情節(jié)的教育價(jià)值，更容易察覺到它的得失，找到改進(jìn)教學(xué)的有效策略。

一

下面，先來(lái)分析這節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)：

1.擺一個(gè)正方形需要幾根火柴棒？

2.按如圖（圖略）的方式，擺2個(gè)正方形需要根火柴棒，擺3個(gè)正方形需要根火柴棒。

3.擺10個(gè)這樣的正方形，需要多少根火柴棒？

4.擺100個(gè)這樣的正方形，需要多少根火柴棒？

5.如果用a表示所擺正方形的個(gè)數(shù)，那么擺a個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棒？

這是來(lái)自現(xiàn)實(shí)的任務(wù)，首先要求進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化，例如，在討論問(wèn)題2或3時(shí)，需要通過(guò)橫向數(shù)學(xué)化找出問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，從而列出相應(yīng)的算式。對(duì)這些任務(wù)中具有相似性的一類問(wèn)題進(jìn)行歸納，如發(fā)現(xiàn)問(wèn)題2與問(wèn)題3一些算法之間存在同構(gòu)性，則是縱向數(shù)學(xué)化的問(wèn)題了。

我們看到，學(xué)生是通過(guò)橫向數(shù)學(xué)化解決問(wèn)題3的，先后列出如下四個(gè)算式：

①4+3×9

②4×10-9

③3×10+1

④4+33對(duì)上述每一個(gè)算式，學(xué)生都能結(jié)合具體的問(wèn)題情境說(shuō)明列式的理由。其中，算式④的分析思路很獨(dú)特，它是“把后面的9個(gè)正方形（除第1個(gè)正方形外）3個(gè)3個(gè)分為3組”，從而得出4+3×3×3，這是橫向數(shù)學(xué)化的結(jié)果;進(jìn)而把這個(gè)算式寫成4+33，這是縱向數(shù)學(xué)化的一結(jié)果。這兩種結(jié)果雖然等值，但意義卻不同。在下文中我們將會(huì)看到忽視了這兩者意義上的變化所產(chǎn)生的后果。

有了解決問(wèn)題3的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，學(xué)生解決問(wèn)題4的思路更為豐富。如果從問(wèn)題的本身出發(fā)，找出它的結(jié)構(gòu)并列出算式，還是橫向的思路;如果意識(shí)到問(wèn)題4與問(wèn)題3的相似性，用類推的方法列出算式，則是縱向的思路。事實(shí)上，學(xué)生討論問(wèn)題4時(shí)出現(xiàn)了橫向與縱向思路交替的情況。從學(xué)生闡述的理由來(lái)看，以下三種算式都是通過(guò)橫向數(shù)學(xué)化獲得的，而且是正確的：

①4+3×99

②4×100-99

③3×100+1

但需要認(rèn)真反思的是，學(xué)生為什么出現(xiàn)了如下錯(cuò)誤？

④330+4

⑤333+4

課上，許老師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤采取了延遲評(píng)價(jià)的策略是正確的。一位學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)：“因?yàn)?4已經(jīng)是81了，所以333+4與330+4肯定都不對(duì)?！庇纱吮緛?lái)可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正確答案的必要條件，即估計(jì)擺100個(gè)正方形最多需要多少根火柴棒。這里，“估計(jì)”要回到現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題情境中去（最多需要400根火柴棒），然后運(yùn)用估計(jì)的結(jié)果（不能超過(guò)400）來(lái)審視所列算式的合理性，從而排除錯(cuò)誤的算式?？上н@節(jié)課沒(méi)有抓住這個(gè)機(jī)會(huì)。

要找出錯(cuò)誤的原因，則必須具體分析：錯(cuò)誤是出在橫向數(shù)學(xué)化還是縱向數(shù)學(xué)化過(guò)程，抑或是發(fā)生在橫向與縱向的交替之處？這樣才能夠?qū)ΠY下藥，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤。

對(duì)“330+4”的列式，學(xué)生的解釋是：要擺的正方形的個(gè)數(shù)“100是10的10倍”，所以擺100個(gè)正方形所需火柴棒的根數(shù)應(yīng)該是擺10個(gè)正方形所需根數(shù)的10倍。其實(shí)，擺正方形的個(gè)數(shù)與所需火柴棒的根數(shù)之間不成正比例關(guān)系，但他卻認(rèn)為是成正比，這是橫向數(shù)學(xué)化出了錯(cuò);他還認(rèn)為330+4就是10×（33+4），把不等值的兩個(gè)算式視為相等，是縱向數(shù)學(xué)化出了錯(cuò)。教師應(yīng)及時(shí)向?qū)W生澄清這些錯(cuò)誤的原因。

學(xué)生列出“333+4”，又是什么原因呢？可能是問(wèn)題3算式④橫向思路的影響。他想：把后面的99個(gè)正方形也3個(gè)3個(gè)地分組，可以分成33組。根據(jù)這種分析，正確的列式應(yīng)當(dāng)是32×33+4。可是他卻得出“333+4”。這個(gè)錯(cuò)誤并非粗心所致，是他僅僅從形式上對(duì)“4+33”進(jìn)行推廣造成的，根源出在不自覺地進(jìn)行橫向與縱向數(shù)學(xué)化的交替思考時(shí)，理解算式4+33中指數(shù)3的意義出現(xiàn)了偏差。

回到問(wèn)題3的情境，從橫向數(shù)學(xué)化得到的算式④，本來(lái)應(yīng)該是4+3×3×3，其中4表示第一個(gè)正方形需要4根火柴棒，3個(gè)“3”各表示不同的實(shí)際意義：第一個(gè)“3”表示擺出“后面”的每個(gè)正方形都需要3根火柴棒，第二個(gè)“3”表示把“后面”的正方形每3個(gè)分成一組，第三個(gè)“3”表示“后面”的正方形這么分可以分成3組。一旦把4+3×3×3寫成4+33后，其中的指數(shù)“3”除了表示“3”個(gè)相同的底數(shù)3相乘外，再?zèng)]有其他的實(shí)際意義了。學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為，它是表示“后面”的正方形被分成了3組的“3”，因此，“后面”的正方形被分成33組時(shí)，答案就寫成了333+4。對(duì)此，應(yīng)當(dāng)記取一個(gè)教訓(xùn)：在先前（問(wèn)題3）橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)各個(gè)量的實(shí)際意義的理解和老師是否強(qiáng)化對(duì)之正確地施以符號(hào)化（建立數(shù)學(xué)模型）是非常重要的，可以減少或避免學(xué)習(xí)負(fù)遷移事件的發(fā)生。

課上，許老師沒(méi)有及時(shí)察覺到學(xué)生這個(gè)錯(cuò)誤的根源。在糾正錯(cuò)誤時(shí)，她對(duì)學(xué)生說(shuō)：“剛才在4+3×9中，9可以寫成32，所以4+3×9可以寫成4+33;對(duì)于3×99+4，99可以寫成什么？”然而，學(xué)生的錯(cuò)誤是發(fā)生在橫向與縱向數(shù)學(xué)化交替的環(huán)節(jié)上，如果僅作縱向數(shù)學(xué)化的剖析，而沒(méi)有揭示因上述交替導(dǎo)致算式的意義發(fā)生變化，那么還不能擊中要害，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤理解。由此可見，從橫向或縱向數(shù)學(xué)化的特征去審視學(xué)生的思維過(guò)程，深究錯(cuò)誤的癥結(jié)，是很重要的。

二

問(wèn)題3與問(wèn)題4在算法上的同構(gòu)性，是這節(jié)課縱向數(shù)學(xué)化的一個(gè)重要成分;引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種同構(gòu)性，并加以形式化，是這節(jié)課在發(fā)展進(jìn)程中承上啟下的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。因此，可以引導(dǎo)學(xué)生比較4+3×9與4+3×99，歸納得出：4+3×（正方形的個(gè)數(shù)-1）;比較4×10-9與4×100-99，歸納得出：4×正方形個(gè)數(shù)-（正方形個(gè)數(shù)-1），等等。如此對(duì)算式結(jié)構(gòu)的形式揭示，無(wú)疑為解決問(wèn)題5的字母代數(shù)作了堅(jiān)實(shí)的鋪墊;用字母代數(shù)也是縱向的數(shù)學(xué)化?？上?，這節(jié)課沒(méi)有把握住這一條縱向數(shù)學(xué)化的發(fā)展脈絡(luò)。

可以看出，許老師也力圖啟發(fā)學(xué)生體會(huì)這種同構(gòu)性，辦法是通過(guò)解決或思考更多的特例，如，擺150個(gè)、250個(gè)、1萬(wàn)個(gè)這樣的正方形，需要多少根火柴棒？方法一樣嗎？但這種努力的效果不見得好。主要表現(xiàn)在后來(lái)討論問(wèn)題5時(shí)，只有一個(gè)學(xué)生表現(xiàn)出縱向數(shù)學(xué)化的思路：“4a-（a-1），與上面的4×150-149一樣，因?yàn)閍可以代表150，a-1代表149，所以我認(rèn)為是這樣?！倍鄶?shù)還是橫向的思路。如，“3a+4，除了第一個(gè)外，后面的都用了3根火柴棒?！薄翱梢钥醋魇秦Q的有（a+1）根，橫的有2a根，所以理解為2a+a+1”等。

對(duì)于問(wèn)題5，學(xué)生的橫向思路也出現(xiàn)了不少錯(cuò)誤答案。如，xa+1（x表示擺一個(gè)正方形所需的火柴根數(shù)），4a-x，4+aa，3a+4，4（a÷2）+a（a÷2）等。在沒(méi)有弄清學(xué)生的具體想法以前，要當(dāng)堂找出這些錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因是困難的，但必須讓他們知道，這些答案為什么是錯(cuò)誤的，以便課后進(jìn)行反思。這里，查錯(cuò)的前提也是要找到正確答案的必要條件，如“擺第1個(gè)正方形需要4根火柴棒”這個(gè)事實(shí)就是一個(gè)現(xiàn)成的條件。只要把1代入相應(yīng)解答式（代數(shù)式）中的字母a求值，如果這個(gè)式子的值不等于4，就可以判斷它是錯(cuò)的。本來(lái)，以判斷錯(cuò)誤答案為契機(jī)，展開縱向數(shù)學(xué)化的活動(dòng)，有助于學(xué)生體會(huì)字母代數(shù)或求代數(shù)式的值的意義與應(yīng)用?？上н@節(jié)課沒(méi)有這樣的設(shè)計(jì)與處理。盡管口頭上學(xué)生會(huì)說(shuō)“a可以代表正方形的個(gè)數(shù)”、“正方形的個(gè)數(shù)只能是自然數(shù)”，但也許并沒(méi)有真正理解它在行動(dòng)上、應(yīng)用上意味著什么。

對(duì)字母a表示“正方形的個(gè)數(shù)”的理解，也有縱向與橫向兩個(gè)維度。縱向的理解——a是可變的，它可以表示自然數(shù)列中的任何一個(gè)自然數(shù);橫向的理解——在思考與解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，a可以作為一個(gè)不變的、確定的自然數(shù)來(lái)看待。從教學(xué)過(guò)程看，學(xué)生橫向數(shù)學(xué)化的能力要比縱向數(shù)學(xué)化的能力強(qiáng)。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》特別強(qiáng)調(diào)：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程。”值得注意的是，“抽象出數(shù)學(xué)模型”并非是橫向數(shù)學(xué)化活動(dòng)的專利。如上所述，問(wèn)題3由橫向數(shù)學(xué)化得到4+3×3×3，而4+33卻是縱向數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物;問(wèn)題5中，4+3（a-1）既可以是橫向數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物，也可以是縱向數(shù)學(xué)化的成果。事實(shí)上，解決任何實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，都包含橫向與縱向的數(shù)學(xué)化。如問(wèn)題3，抽象出4+3×9是橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程;運(yùn)用乘法與加法算出它等于31，是縱向數(shù)學(xué)化的過(guò)程;再回到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的情境，去體驗(yàn)和解釋這個(gè)計(jì)算結(jié)果（數(shù)學(xué)的解“31”）的實(shí)際意義時(shí)，又是橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程。

三

區(qū)分橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化時(shí)，往往有一種錯(cuò)覺：以為從具體到一般的過(guò)程是橫向數(shù)學(xué)化，而從一般到具體的過(guò)程是縱向數(shù)學(xué)化。其實(shí)，區(qū)分橫向與縱向的標(biāo)準(zhǔn)只有一個(gè)，即數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活是否有直接的聯(lián)系。如果上述所言的“具體”是指現(xiàn)實(shí)生活，也就是從現(xiàn)實(shí)的經(jīng)歷中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，或者尋找、解釋抽象符號(hào)在現(xiàn)實(shí)中的意義，那么都是橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程。如果所言的“具體”不是指現(xiàn)實(shí)生活中的具體的研究對(duì)象，而是思維中相對(duì)“具體”的數(shù)學(xué)模型，那么無(wú)論是“從具體到一般”還是“從一般到具體”，其間所進(jìn)行的數(shù)學(xué)思考以及數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，也就是“在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用”，都是縱向數(shù)學(xué)化的過(guò)程。

弗賴登塔爾原先是反對(duì)把數(shù)學(xué)化劃分為橫向、縱向的，后來(lái)他卻成了這種劃分的極力推崇者。這是一件有趣的事情。通過(guò)分別注重橫向的數(shù)學(xué)化和縱向的數(shù)學(xué)化，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行雙重的二分法，數(shù)學(xué)教學(xué)被分成了如下四種類型。弗賴登塔爾發(fā)現(xiàn)，這些教學(xué)類型分別對(duì)應(yīng)著彼此不同的哲學(xué)觀：

1.缺少橫向數(shù)學(xué)化，也缺乏縱向數(shù)學(xué)化，是機(jī)械主義的教學(xué);

2.橫向數(shù)學(xué)化得到成長(zhǎng)，但縱向數(shù)學(xué)化不足，是經(jīng)驗(yàn)主義的教學(xué);

3.橫向數(shù)學(xué)化不足，但縱向數(shù)學(xué)化被培養(yǎng)起來(lái)，是結(jié)構(gòu)主義的教學(xué);

4.橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化都得到成長(zhǎng)，是現(xiàn)實(shí)主義的教學(xué)。

如果我們認(rèn)同這個(gè)數(shù)學(xué)教育的理論框架，那么，根據(jù)以上的分析，對(duì)《a能表示什么》這節(jié)課，就能得出以下結(jié)論：它是真實(shí)的、富有研究?jī)r(jià)值的課，教師非常尊重學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)他們“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流”，變學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。但從它的基本特征看，需要在完善橫向數(shù)學(xué)化教學(xué)的同時(shí)，強(qiáng)化縱向數(shù)學(xué)化的教學(xué)因素，加強(qiáng)把經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)化和合理化的努力。

弗賴登塔爾說(shuō)：“那些熱衷于教育的數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)化限制在它的縱向因素，而致力于數(shù)學(xué)教育的教育家卻把數(shù)學(xué)化限制在它的橫向因素?！比绻覀儽诌@種觀點(diǎn)來(lái)看待和理解當(dāng)下我國(guó)關(guān)于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的學(xué)術(shù)爭(zhēng)論，就不難品味出其中的哲學(xué)意蘊(yùn)。我想，我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革必須堅(jiān)持現(xiàn)實(shí)主義的道路，橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化結(jié)伴同行，相輔相成，一道成長(zhǎng)。