摘要：代數(shù)推理是一種通過(guò)形式化的符號(hào)，表征數(shù)學(xué)問(wèn)題或情境中的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行概括驗(yàn)證的思維過(guò)程.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確將“了解代數(shù)推理”納入初中階段的課程內(nèi)容.因此，教師有必要了解當(dāng)前初中生的代數(shù)推理能力現(xiàn)狀并提出有效的教學(xué)策略，以便能夠更有針對(duì)性地開(kāi)展教學(xué).

關(guān)鍵詞：代數(shù)推理；調(diào)查研究；策略研究

發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力有助于促使其形成有條理、善分析、能邏輯思考的思維習(xí)慣.這一能力不僅能幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證自己的猜想，也有助于他們?cè)谏钪杏欣碛袚?jù)地分析和解決問(wèn)題.本文通過(guò)對(duì)代數(shù)推理的教學(xué)分析，梳理與代數(shù)推理相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生代數(shù)推理能力的現(xiàn)狀特點(diǎn)，結(jié)合一線教師的建議，提出代數(shù)推理教學(xué)的有效策略，以期為學(xué)生薄弱點(diǎn)的突破提供參考.

1代數(shù)推理注重知識(shí)聯(lián)系

代數(shù)推理能力的形成建立在知識(shí)聯(lián)系的基礎(chǔ)之上.教師應(yīng)對(duì)初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)體系了如指掌，尤其是每個(gè)單元中前后知識(shí)的聯(lián)系，以便能夠在教學(xué)中做到以舊導(dǎo)新.有效的問(wèn)題鏈?zhǔn)钦n堂教學(xué)的推進(jìn)器，能溝通起新舊知識(shí)間的聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生深度思考，是構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)生的推理能力的必要一環(huán).［1］例如，在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)》中“整式”時(shí)，教師可以向?qū)W生提問(wèn)“人們解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須根據(jù)已知的具體數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，而未知的字母有什么用呢，它能表示什么”，讓學(xué)生從中體會(huì)引入字母表示數(shù)的必要性，這是發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力的第一步.又如，在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)》中“二次根式的乘除”時(shí)，教師可以提問(wèn)學(xué)生“我們知道，實(shí)數(shù)具有運(yùn)算法則，可以進(jìn)行加減乘除，那么算術(shù)平方根也是一個(gè)實(shí)數(shù)，是否也具有加減乘除的運(yùn)算法則呢？如果有，那么它的運(yùn)算法則是怎樣的，如何研究”，這種提問(wèn)方式借助學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)引入，激發(fā)了學(xué)生探究新知識(shí)的興趣.此外，課堂的問(wèn)題導(dǎo)入不僅可由教師給出，也可由教師提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生基于以往的知識(shí)“生長(zhǎng)”出新的問(wèn)題，這也是代數(shù)推理形成的必要一環(huán).例如，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“對(duì)于即將要學(xué)習(xí)的知識(shí)，你有哪些想要了解的”“你能找出新知識(shí)與學(xué)過(guò)知識(shí)之間的聯(lián)系嗎”等問(wèn)題，讓學(xué)生從舊知與新知的聯(lián)系出發(fā)，從而既溝通了知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，又激發(fā)了學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的能力.

2知識(shí)生成應(yīng)經(jīng)歷完整推理過(guò)程

代數(shù)推理能力的發(fā)展貫穿整個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程，因此學(xué)生只有經(jīng)歷合情推理與演繹推理的完整過(guò)程，才能體會(huì)知識(shí)的來(lái)龍去脈.這種“再創(chuàng)造”的體驗(yàn)，有利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笾?，增?qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.章建躍教授指出，數(shù)學(xué)概念、原理、性質(zhì)與法則等的獲得要通過(guò)學(xué)生自己的觀察、操作、實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上開(kāi)展歸納、類(lèi)比，抽象、概括等推理活動(dòng).在經(jīng)歷完整推理過(guò)程后獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)才能被學(xué)生深刻理解，成為自己的東西.這個(gè)過(guò)程需要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，因此“教”要給“學(xué)”留時(shí)間，讓學(xué)生自己去探索與思考，在“悟”中明真知，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想［2］，從動(dòng)手操作、合作交流、自我反思再到學(xué)以致用，使得代數(shù)推理能力的發(fā)展水到渠成.

以人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》中“解一元二次方程”的教學(xué)過(guò)程為例，先研究配方法，再由配方法延伸到公式法就是一個(gè)完整的推理過(guò)程.學(xué)生可以先由一個(gè)具體的問(wèn)題得到一個(gè)一元二次方程10×6x2=1500，通過(guò)解方程計(jì)算出兩根，以此歸納得到，對(duì)于類(lèi)似x2=p的方程，當(dāng)pgt;0，p=0，plt;0時(shí)根的情況.在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究（x＋3）2=5與x2＋6x＋4=0的解，進(jìn)一步歸納出（x＋n）2=p的根的情況，從具體的方程到用字母表示的方程，是從特殊到一般的過(guò)程，從研究x2=p根的情況到研究（x＋n）2=p根的情況，則是類(lèi)比的過(guò)程.推理顯然不止于此，教材進(jìn)一步給出了一元二次方程的一般表達(dá)式，要求學(xué)生遷移此前經(jīng)驗(yàn)，用配方法研究一般一元二次方程根的情況，從而得到更一般化的求根方法.最后，師生應(yīng)共同反思推理過(guò)程或由學(xué)生自己反思整個(gè)知識(shí)生成的過(guò)程，建立知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，將推理所得的結(jié)論做一般化的推廣.

3加深符號(hào)理解，提升代數(shù)抽象能力

代數(shù)推理是借助數(shù)學(xué)符號(hào)，依據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)則進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程.教師普遍認(rèn)為代數(shù)推理難在對(duì)抽象符號(hào)的理解.因此，有必要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解，這是代數(shù)推理的基礎(chǔ).加深學(xué)生的符號(hào)理解主要有以下兩個(gè)途徑：一是剖析數(shù)學(xué)核心概念.教師應(yīng)幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，確保其對(duì)基本概念有清晰、準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí);幫助學(xué)生理解符號(hào)的含義，掌握數(shù)學(xué)符號(hào)的基本含義和用法，以及在不同情境下表示的意義；幫助學(xué)生熟悉符號(hào)運(yùn)算的規(guī)則和技巧，提高符號(hào)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和速度.此處所提及的概念或符號(hào)并不僅僅指的是教材中要求掌握的，也包括學(xué)生在日常做題或閱讀中遇到的新概念和新運(yùn)算.學(xué)生如果能在平常的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)對(duì)概念內(nèi)涵與外延的剖析以及對(duì)概念的來(lái)龍去脈的梳理，那么對(duì)新的符號(hào)也能更加容易理解，或是能進(jìn)一步變形引申出新的形式，盡管可能存在不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，但教師?yīng)鼓勵(lì)這種嘗試，這也是對(duì)學(xué)生更高的要求.二是熟練掌握數(shù)學(xué)的定理、公式和命題，熟悉并理解定理和公式的推導(dǎo)過(guò)程.數(shù)學(xué)的定理與命題是進(jìn)行代數(shù)推理的依據(jù)，尤其是代數(shù)運(yùn)算離不開(kāi)運(yùn)算法則的掌握，新的定理往往要借助舊的定理推導(dǎo)而來(lái).因此，數(shù)學(xué)定理背后的邏輯需由學(xué)生自己去摸索，單純的記憶則無(wú)助于提升其代數(shù)推理能力.［3］教學(xué)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)有些數(shù)學(xué)知識(shí)是從具體到抽象的，如從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察和歸納，逐步抽象出一般規(guī)律和數(shù)學(xué)模型.總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等注重學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，抽象歸納的方式也應(yīng)由學(xué)生自己發(fā)揮，在不斷地改進(jìn)中，才能使得語(yǔ)言更加嚴(yán)謹(jǐn)與條理化.例如，在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)》中“從分?jǐn)?shù)到分式”一課中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察式子，再與分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較，抽象得到分式的表達(dá)式.教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)加強(qiáng)與分?jǐn)?shù)的類(lèi)比，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)分式各部分的理解，促進(jìn)后續(xù)進(jìn)一步研究分式的基本性質(zhì)與運(yùn)算.

4加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，提升代數(shù)證明能力

由于代數(shù)的抽象化和形式化，代數(shù)推理的教學(xué)要注重直觀化.一方面，代數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)圖形說(shuō)明；另一方面，幾何問(wèn)題也可以從代數(shù)的角度進(jìn)行證明.代數(shù)的符號(hào)表征可以借助實(shí)際的生活背景，將代數(shù)意義形象化，也可以將幾何圖形作為載體，從幾何圖形（函數(shù)圖象）中進(jìn)行代數(shù)推理.初中階段有許多數(shù)形結(jié)合的例子，借助圖形推理代數(shù)問(wèn)題的有：從圖形的變化中抽象出規(guī)律；借助數(shù)軸比較數(shù)的大??；通過(guò)函數(shù)圖象進(jìn)行想象，用矩形面積驗(yàn)證完全平方公式、平方差公式等多項(xiàng)式的乘法，等等.反之，幾何證明采取代數(shù)方法的有：基于幾何圖形性質(zhì)，通過(guò)運(yùn)算證明數(shù)量大小關(guān)系；通過(guò)方程與函數(shù)等代數(shù)式的恒等變換證明位置關(guān)系；等等.函數(shù)作為數(shù)形結(jié)合的重要工具，教師在初中階段就應(yīng)有意識(shí)地加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)表達(dá)式與圖象之間關(guān)系的理解，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).總的來(lái)說(shuō)，一種代數(shù)問(wèn)題往往可以借助多種圖形說(shuō)明，數(shù)與形密不可分.在教學(xué)時(shí)，教師不應(yīng)局限于教材所給的方式，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽聯(lián)系知識(shí)，用盡可能多的方法進(jìn)行論證說(shuō)明.

5關(guān)注創(chuàng)新能力發(fā)展，發(fā)揮育人功能

教師要幫助學(xué)生初步學(xué)會(huì)通過(guò)具體的實(shí)例，運(yùn)用歸納和類(lèi)比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想并加以驗(yàn)證；引導(dǎo)學(xué)生探索一些開(kāi)放性的、非常規(guī)的數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).對(duì)于代數(shù)推理教學(xué)而言，一方面，代數(shù)合情推理的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)與代數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)情境或現(xiàn)實(shí)情境，大膽進(jìn)行各種猜想，提出有創(chuàng)新性的問(wèn)題；另一方面，代數(shù)演繹推理的教學(xué)要鼓勵(lì)學(xué)生使用不同的方法證明或推導(dǎo)代數(shù)命題性質(zhì)，如與幾何相結(jié)合或與其他學(xué)科相結(jié)合，探尋解決問(wèn)題的最優(yōu)化路徑.要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，教師應(yīng)先具備會(huì)思考、歸納、類(lèi)比、推廣的能力，以更好地創(chuàng)新知識(shí)、創(chuàng)新教法.同時(shí)，教師要發(fā)揮非認(rèn)知因素的作用，激發(fā)學(xué)生對(duì)未知事物的好奇心與探索欲，進(jìn)而調(diào)動(dòng)起他們對(duì)于學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與熱情.這樣的教學(xué)方法，能夠促使學(xué)生以更加積極、主動(dòng)的態(tài)度投身各種探究活動(dòng).此外，還要注重代數(shù)推理教學(xué)的育人功能，即在推理的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的邏輯思維、面對(duì)難題的科學(xué)態(tài)度與理性精神.在教學(xué)中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生尊重客觀事實(shí)，又要增強(qiáng)學(xué)生批判質(zhì)疑的能力.經(jīng)歷獨(dú)立思考和自主判斷后，學(xué)生能從多角度大膽嘗試、辯證地看待與分析問(wèn)題.總之，代數(shù)推理的教學(xué)既要關(guān)注學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，又要以學(xué)生思維的發(fā)展與素養(yǎng)的提升為根本.

6教學(xué)實(shí)例分析

基于以上對(duì)代數(shù)推理的分析，本文再以“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的教學(xué)為例進(jìn)行說(shuō)明.“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》中的內(nèi)容，旨在通過(guò)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生更深入地理解函數(shù)的本質(zhì)和特性.教材通過(guò)研究一個(gè)具體的函數(shù)y=x2－6x＋21的圖象和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生利用研究y=a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）的形式，研究其函數(shù)圖象與性質(zhì).教材先給出了兩種畫(huà)圖象的方法：一種是先畫(huà)出二次函數(shù)y=x2，再通過(guò)平移得到；另一種是將原函數(shù)表達(dá)式配方，求其頂點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出幾個(gè)坐標(biāo)，然后通過(guò)觀察圖象發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn).在這個(gè)例子之后，教材又引導(dǎo)學(xué)生按照前面的方法探究二次函數(shù)y=－2x2－4x＋1的圖象和性質(zhì).學(xué)生通過(guò)兩次的實(shí)踐操作，能夠基本掌握繪制二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）圖象的方法，并能概括歸納其性質(zhì).選學(xué)部分的探究是類(lèi)比一次函數(shù)的解析式由兩點(diǎn)就可確定，引導(dǎo)學(xué)生思考二次函數(shù)至少需要幾個(gè)點(diǎn)，歸納得出二次函數(shù)的解析式由各項(xiàng)系數(shù)確定.

6.1復(fù)習(xí)回顧，引入新知

師生回顧復(fù)習(xí)二次函數(shù)的定義與各部分名稱(chēng)，以及二次函數(shù)y=ax2（a≠0）與y=a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）的圖象與性質(zhì).

拋出問(wèn)題：已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)y=ax2（a≠0）與y=a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）的圖象與性質(zhì)，那么二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象又有哪些特點(diǎn)，其性質(zhì)是什么，如何進(jìn)行研究？

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課探究的函數(shù)正是第一節(jié)課的二次函數(shù)一般表達(dá)式，因此有必要先回顧二次函數(shù)的相關(guān)概念.學(xué)生在學(xué)習(xí)前面兩種二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，自然而然會(huì)想到一般式的圖象和性質(zhì)是什么，從而體會(huì)到本節(jié)課的意義.

6.2探究二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象和性質(zhì)

圖象的研究：對(duì)于上述問(wèn)題，學(xué)生思考后，認(rèn)為可以先從某個(gè)具體的二次函數(shù)入手，如y=x2－6x＋21.教師提問(wèn)學(xué)生如何研究，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí).學(xué)生可能想到可以先畫(huà)出y=x2的圖象，再進(jìn)行平移得到；也可以將其轉(zhuǎn)化為y=a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）的形式進(jìn)行研究.相比之下，配方法可以直接得到函數(shù)圖象.以一元二次方程2x2－3x－4=0為例，回顧配方法的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用“系數(shù)化為1”和“配方時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”性質(zhì).師生共同用配方法將y=2x2－3x－4轉(zhuǎn)化為y=a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）的形式.這時(shí)應(yīng)注意區(qū)分二次函數(shù)與一元二次方程在配方時(shí)的處理有何不同.

師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)前面的例子，嘗試將y=x2－6x＋21化為y=12（x-6）2+3的形式.學(xué)生小組合作交流，畫(huà)出y=12（x-6）2+3的函數(shù)圖象，教師可展示學(xué)生不同的畫(huà)圖方法.

性質(zhì)的研究：學(xué)生觀察所畫(huà)的函數(shù)圖象，并說(shuō)出圖象的特點(diǎn).學(xué)生類(lèi)比以上的方法，自主畫(huà)出y=－2x2－4x＋1的圖象，比較兩個(gè)圖象的異同點(diǎn).

師生活動(dòng)：師生共同將二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x－h(huán)）2＋k（a≠0），歸納總結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì).通過(guò)求解析式和觀察，得出只要已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，就能直接求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，也就能唯一確定函數(shù)解析式的結(jié)論.

7結(jié)語(yǔ)

根據(jù)本文的研究，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力，教學(xué)中教師需要注意以下幾點(diǎn)：注重知識(shí)聯(lián)系，以問(wèn)促學(xué)；知識(shí)生成應(yīng)經(jīng)歷完整推理過(guò)程；教師應(yīng)加深學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解，提升學(xué)生的代數(shù)抽象能力；應(yīng)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，提升學(xué)生的代數(shù)證明能力；應(yīng)關(guān)注創(chuàng)新能力發(fā)展，發(fā)揮育人功能.總之，教師在教學(xué)中，應(yīng)遵循教學(xué)建議，幫助學(xué)生發(fā)展代數(shù)推理能力，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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