含參指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題不僅涉及了參數(shù)，還涉及了指數(shù)函數(shù)式、對(duì)數(shù)函數(shù)式.這類問(wèn)題的難度一般較大.很多同學(xué)在面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)不知如何下手，下面結(jié)合實(shí)例探討一下，解答含參指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的思路.

一般地，對(duì)于指對(duì)函數(shù)問(wèn)題，我們通常需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解，通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來(lái)判斷出函數(shù)的單調(diào)性.若已知函數(shù) f （x） 在區(qū)間 D 上單調(diào)，則①?x ∈ D ，f′（x） ≥ 0 恒成立? f （x） 在區(qū)間 D 上單調(diào)遞增；②?x ∈ D ，f′（x） ≤ 0 恒成立? f （x） 在區(qū)間 D 上單調(diào)遞減.

解答含參指對(duì)函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的一般步驟為：

第一步，根據(jù)函數(shù)的解析式確定函數(shù) y = f （x） 的定義域；

第二步，根據(jù)求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式對(duì)函數(shù) f （x） 求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù) f′（x） ；

第三步，通過(guò)通分、分解因式，利用求根公式等方式，將導(dǎo)函數(shù)化為幾個(gè)因式的積或商；

第四步，令 f′（x）= 0 ，求得各個(gè)因式的零點(diǎn)，并用零點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)子區(qū)間.若零點(diǎn)中含有參數(shù)，往往需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論；

第五步，在各個(gè)子區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù) f′（x） 的符號(hào)，可采用列表、畫圖的方式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)在各個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性.

值得注意的是，求導(dǎo)后得到的導(dǎo)函數(shù)可能為含參一次函數(shù)式、含參二次函數(shù)式、含參高次函數(shù)式、含參指數(shù)函數(shù)式、含參對(duì)數(shù)函數(shù)式，我們需要針對(duì)不同的函數(shù)類型分類討論函數(shù)的單調(diào)性.

下面舉例加以說(shuō)明.

例1

解

有時(shí)候，我們根據(jù)函數(shù)的定義域和整式的性質(zhì)，可以很快判斷出導(dǎo)函數(shù)的部分因式的符號(hào)，如本題中 f′（x） = a - 1 x = ax - 1 x （x gt; 0） .因此我們只需討論因式 ax - 1的符號(hào)即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性.而要判斷一次式 ax - 1 的符號(hào)，需借助其函數(shù)圖象來(lái)進(jìn)行分析、研究.

例2

解

該導(dǎo)函數(shù)涉及了指數(shù)函數(shù)式 ex （exgt; 0），其零點(diǎn)為 x = ln（-m - 1） ，所以我們只需討論 m + 1 的符號(hào)即可.用該零點(diǎn)將函數(shù)的定義域 R 劃分為兩個(gè)子區(qū)間 （-∞，ln（-m - 1）） 、（ln（-m - 1），+∞） ，并在這兩個(gè)區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

例3

解

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得 f′（x）= （2x + a）（x - 1） x .由于 x gt; 0 ，所以只需討論函數(shù) y =（2x + a）（x - 1） 的符號(hào).該函數(shù)的零點(diǎn)為 x1 = - a 2 或 x2 = 1 ，其中含有參數(shù) a ，需對(duì)兩個(gè)零點(diǎn)的大小進(jìn)行比較，分 a lt; -2 、a = -2 、-2 lt; a lt; 0 、 a = 0、a gt; 0 幾種情況進(jìn)行討論，借助函數(shù) y =（2x + a）? （x - 1） 的圖象來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.對(duì)于二次導(dǎo)函數(shù)，往往需將其分解為兩個(gè)因式，然后在 x 軸上標(biāo)出兩個(gè)零點(diǎn) x1 、x2 ，并畫出函數(shù)的圖象，通過(guò)研究其圖象來(lái)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào).

例4

解

若二次導(dǎo)函數(shù)無(wú)法進(jìn)行因式分解，則需根據(jù)求根公式來(lái)求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).首先要討論 Δ = b 2 - 4ac 的符號(hào)，分 Δ ≤ 0 、Δ gt; 0 兩種情況討論方程的根的分布情況；然后借助 y = ax 2 - 2x + 1 的圖象來(lái)求得問(wèn)題的答案.

總之，解答含參指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，需注意：（1）明確導(dǎo)函數(shù)最高次項(xiàng)的系數(shù)是否含有參數(shù)，若含有參數(shù)，則需分參數(shù)大于、等于、小于0三種情況進(jìn)行討論；（2）對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行合理的變形，將其化為幾個(gè)最簡(jiǎn)因式的商、積，以便快速判斷出因式的符號(hào)；（3）對(duì)于涉及多個(gè)零點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)，通常要比較幾個(gè)零點(diǎn)的大小，以準(zhǔn)確劃分出單調(diào)區(qū)間.

本文系 2024 年自治區(qū)“以校為本”小課題研究——利用高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)加強(qiáng)學(xué)生幾何直觀與空間想象能力的實(shí)踐研究（課題編號(hào)：XKT-2404002）階段性成果.

（作者單位：新疆昌吉州瑪納斯縣第一中學(xué)）