【摘要】方程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著舉足輕重的地位,它不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ),更是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和問(wèn)題解決能力的重要工具.在學(xué)習(xí)方程的過(guò)程中,建模思想的應(yīng)用顯得尤為重要.本文以華師版初中數(shù)學(xué)一元一次方程教學(xué)為例,通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決方程問(wèn)題,總結(jié)具體的教學(xué)路徑:創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、結(jié)合實(shí)際問(wèn)題、培養(yǎng)抽象化思維、開(kāi)展主題活動(dòng).
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);建模能力;方程教學(xué)
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,建模思想作為一種將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型的方法論,能夠幫助學(xué)生將方程這一抽象數(shù)學(xué)概念與實(shí)際生活問(wèn)題緊密相連,通過(guò)這種思想,學(xué)生可以將現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程,進(jìn)而利用方程的求解方法找到問(wèn)題的解決方案.通過(guò)構(gòu)建一元一次方程,并通過(guò)求解方程找到問(wèn)題的解決方案.建模思想的應(yīng)用,能促進(jìn)學(xué)生跨學(xué)科知識(shí)的整合,培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng).
1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境
創(chuàng)設(shè)一個(gè)有效的問(wèn)題情境能夠極大地引發(fā)學(xué)習(xí)者的好奇和探索求知欲,使學(xué)習(xí)者在過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)教育本身的吸引力與趣味,通過(guò)提問(wèn)環(huán)境,學(xué)習(xí)者能夠逐步深入思考提問(wèn),進(jìn)而提升學(xué)生思考能力、研究和解決的水平.在方程建模思想的培養(yǎng)中,問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)要滿(mǎn)足三個(gè)條件:
第一,問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)與教學(xué)內(nèi)容緊密相關(guān),確保學(xué)生能夠從中理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí).通過(guò)貼近學(xué)生生活或經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題情境,學(xué)生可以更輕松地建立數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系,從而更深入地理解數(shù)學(xué)概念和原理.
第二,在構(gòu)建問(wèn)題情境時(shí),教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力和興趣愛(ài)好,精心挑選合適的問(wèn)題,既要滿(mǎn)足學(xué)生的求知欲望,也要符合他們的實(shí)際水平.
第三,在構(gòu)建問(wèn)題情景時(shí),必須特別關(guān)注將所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到日常生活中.通過(guò)探究具體的例子,我們可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)性,激發(fā)對(duì)它的熱愛(ài),并且?guī)椭麄兘⑵鹆己玫臄?shù)學(xué)思維模式,進(jìn)一步發(fā)展其運(yùn)算技巧與分析推理的能力.
在呈現(xiàn)問(wèn)題情境時(shí),教師應(yīng)采用多樣化的方式,文字描述可以清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)問(wèn)題,圖表則能夠直觀地展示數(shù)據(jù)和信息,而動(dòng)畫(huà)則能夠生動(dòng)、有趣地展示問(wèn)題的動(dòng)態(tài)過(guò)程.教師應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方式,以便更好地吸引學(xué)生的注意力,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.
例如 在“一元一次方程”第6.1節(jié)“從實(shí)際問(wèn)題到方程”中,教師可以利用實(shí)際問(wèn)題的情境幫助學(xué)生理解方程的概念.如,328名師生計(jì)劃外出春游,但是需要租用44座的客車(chē)才能滿(mǎn)足所有師生的需求,因此,需要考慮如何租用這樣的客車(chē),才能確保每個(gè)師生都能夠得到充足的座位?”
經(jīng)過(guò)詳細(xì)的調(diào)查研究發(fā)現(xiàn),該學(xué)院共有328名學(xué)員,擁有2輛校車(chē),每輛可容納64名學(xué)員,此外,還有44座可供學(xué)員使用.然而,我們并不清楚這些學(xué)員的具體情況.
其次引導(dǎo)學(xué)生建立方程,假設(shè)需要租用44座客車(chē)為x輛,已知校車(chē)可以乘坐的人數(shù)是2×64=128 人,還需乘坐的師生人數(shù)是328-128=200人,因此可以得出租用x輛44座的客車(chē)可以乘坐44x人,可以列出一個(gè)等式:44x=200.在這個(gè)實(shí)際的問(wèn)題情境中,教師將引導(dǎo)學(xué)生們解決一元一次方程,并幫助他們確定x的值,也就是需要租用的44座客車(chē)的數(shù)量.通過(guò)這種方式,學(xué)生們不僅能夠更直觀地理解一元一次方程的概念,還能夠?qū)W會(huì)如何將它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,并運(yùn)用它們來(lái)解決問(wèn)題.
2 結(jié)合實(shí)際問(wèn)題
在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,他們面臨一個(gè)挑戰(zhàn)就是理解和消化那些抽象難懂的數(shù)學(xué)概念,將這些數(shù)學(xué)概念與日常生活中的實(shí)際案例相結(jié)合,可以為學(xué)生搭建一座通往理解的橋梁.數(shù)學(xué)并非遙不可及,它其實(shí)無(wú)處不在,滲透在我們?nèi)粘I畹姆椒矫婷?,無(wú)論是購(gòu)物時(shí)的簡(jiǎn)單計(jì)算,還是復(fù)雜的建筑設(shè)計(jì),乃至深入的科學(xué)研究,數(shù)學(xué)都扮演著至關(guān)重要的角色.因此,讓學(xué)生意識(shí)到幾何學(xué)與日常的聯(lián)系,是引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)幾何實(shí)用性和有趣的關(guān)鍵.生活案例的引入為幾何教學(xué)注入了新的活力,這些案例不僅為教學(xué)提供了豐富多樣的素材,使得原來(lái)抽象乏味的理論變得鮮活個(gè)性化,便于學(xué)習(xí)者理解;更重要的是,通過(guò)解答這些與日常息息相關(guān)的問(wèn)題,學(xué)習(xí)者能夠親身體驗(yàn)到幾何的實(shí)用性,從而更加熱愛(ài)數(shù)學(xué),愿意投入更多的時(shí)間和精力學(xué)習(xí).在選取生活案例時(shí),我們需要確保它們與教學(xué)內(nèi)容緊密相連,能夠直觀地展示數(shù)學(xué)概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用,案例應(yīng)具有代表性,能夠涵蓋某一類(lèi)問(wèn)題的共同特征,幫助學(xué)生形成舉一反三的能力.
例如 在華東師大版初中數(shù)學(xué)“解一元一次方程”的教學(xué)中,教師可以通過(guò)以下方式將建模思想融入生活實(shí)例.小明計(jì)劃去旅行,他有一個(gè)固定的預(yù)算用于支付景點(diǎn)門(mén)票和交通費(fèi)用,景點(diǎn)門(mén)票的價(jià)格是每張50元,而每次旅行的交通費(fèi)用是固定的20元,我們需要幫助小明計(jì)算出在給定預(yù)算下,他最多可以參觀多少個(gè)景點(diǎn).
教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模過(guò)程,首先設(shè)定變量,假設(shè)小明最多可以參觀的景點(diǎn)數(shù)量為x個(gè),假設(shè)小明的預(yù)算總費(fèi)用為y元(這是一個(gè)已知數(shù),但在此處我們先不給出具體值),之后建立方程;景點(diǎn)門(mén)票的總費(fèi)用是50x元,交通費(fèi)用是固定的20元,因此,小明的總花費(fèi)是50x+20=y元.之后進(jìn)行方程求解,將方程整理為50x=y-20.接著,解出x的表達(dá)式:x=y-2050.給定預(yù)算求解,教師給出幾個(gè)不同的y值(如y=300,y=400 等),讓學(xué)生代入方程計(jì)算x的值,即小明在對(duì)應(yīng)預(yù)算下可以參觀的景點(diǎn)數(shù)量.
教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考其他與旅行相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,如預(yù)算中留出部分金額購(gòu)買(mǎi)紀(jì)念品、參觀固定數(shù)量的景點(diǎn)等,讓學(xué)生嘗試建立方程并求解.這樣不僅能夠鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí),還能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維能力和問(wèn)題解決能力.
3 培養(yǎng)抽象化思維
數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)大工具,它能夠?qū)?fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而便于我們利用數(shù)學(xué)理論和方法進(jìn)行分析和求解,在幾何、代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域,建立數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵步驟.在建模過(guò)程中,關(guān)鍵在于抓住問(wèn)題的核心特征,并選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具進(jìn)行建模,對(duì)于代數(shù)問(wèn)題,我們經(jīng)常需要運(yùn)用“合并同類(lèi)項(xiàng)與移項(xiàng)”這一基本技巧.合并同類(lèi)項(xiàng),即是將代數(shù)表達(dá)式中具有相同或相似變量的項(xiàng)進(jìn)行合并,通過(guò)加法或減法運(yùn)算,簡(jiǎn)化代數(shù)式,去除冗余項(xiàng),使其更易于理解和分析.這一步驟不僅要求識(shí)別同類(lèi)項(xiàng),還需要理解同類(lèi)項(xiàng)的概念,即那些包含相同字母和指數(shù)的項(xiàng).移項(xiàng)則是代數(shù)中的另一個(gè)重要技巧,它涉及將等式一側(cè)的項(xiàng)移至另一側(cè),并改變其符號(hào),通過(guò)移項(xiàng),可以將變量項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別集中在等式的兩側(cè),從而更容易地求解未知數(shù).在移項(xiàng)過(guò)程中,保持等式的平衡至關(guān)重要,即確保等式兩邊的數(shù)值在移項(xiàng)前后保持不變.
在現(xiàn)實(shí)生活中,許多問(wèn)題都可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用“合并同類(lèi)項(xiàng)與移項(xiàng)”等代數(shù)技巧來(lái)解決,這些技巧不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精確性和簡(jiǎn)潔性,也展示了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的強(qiáng)大能力.
例如 華師大初中數(shù)學(xué)一元一次方程的解法中,我們可以通過(guò)具體問(wèn)題的講解,培養(yǎng)學(xué)生的抽象模型思維.
解方程2(x+3)-4=3x.
去括號(hào):2x+6-4=3x.
移項(xiàng):將所有包含x的項(xiàng)移到方程的一側(cè),常數(shù)項(xiàng)移到另一側(cè):2x-3x=-6+4.
合并同類(lèi)項(xiàng):-x=-2.
系數(shù)化為1:兩邊同時(shí)除以-1,得到:x=2.
這樣,我們就得到了方程2(x+3)-4=3x的解為x=2.
一元一次方程是數(shù)學(xué)中最基本的方程類(lèi)型,它僅由一個(gè)未知量決定,而且其次數(shù)最大值也不會(huì)超過(guò)1.解決這種方程的關(guān)鍵步驟包括去除分母、去除括號(hào)、移項(xiàng)、合并相似的項(xiàng)以及將其轉(zhuǎn)換為1.
抽象思維的培養(yǎng)是一個(gè)涉及多方面技能和策略的過(guò)程,需要時(shí)間和耐心,學(xué)生通過(guò)不斷地學(xué)習(xí)和實(shí)踐,可以逐漸提高自身的抽象思維能力,并在日常學(xué)習(xí)和生活中發(fā)揮更大的作用.
4 開(kāi)展主題活動(dòng)
通過(guò)開(kāi)展主題活動(dòng),我們發(fā)現(xiàn)這是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的一種非常有效的方法.這種方法既能幫助學(xué)生更好地理解概念,又能幫助他們更好地應(yīng)用所學(xué)知識(shí).一方面,數(shù)學(xué)教學(xué)為學(xué)生提供了扎實(shí)的理論基礎(chǔ)和必要的知識(shí)儲(chǔ)備,為開(kāi)展主題活動(dòng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ);另一方面,主題活動(dòng)將數(shù)學(xué)教學(xué)與實(shí)際生活緊密相連,使抽象的數(shù)學(xué)概念變得直觀且易于理解,從而增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用能力和實(shí)踐體驗(yàn).在設(shè)計(jì)主題活動(dòng)時(shí),我們需要明確其目標(biāo)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的緊密聯(lián)系,活動(dòng)的目標(biāo)不僅在于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)技能,更在于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和解決問(wèn)題的能力.
例如 以華東師大版初中數(shù)學(xué)一元一次方程的教學(xué)案例為基礎(chǔ),挑選一系列經(jīng)典且富有啟發(fā)性的建模問(wèn)題,并搜集與之配套的教學(xué)資源.這些案例將涵蓋不同類(lèi)型的實(shí)際問(wèn)題,如行程問(wèn)題、工程問(wèn)題等,以便讓學(xué)生全面了解一元一次方程在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.為了確?;顒?dòng)的順利進(jìn)行,將學(xué)生劃分為多個(gè)小組,并為每個(gè)小組指定一名負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)和組織的小組長(zhǎng),還將制定一個(gè)評(píng)價(jià)量表,以便對(duì)各小組的建模過(guò)程和成果進(jìn)行客觀、公正的評(píng)價(jià).
接下來(lái),我們以華東師大版初中數(shù)學(xué)一元一次方程的經(jīng)典建模案例,這些案例將涵蓋不同領(lǐng)域和類(lèi)型的問(wèn)題,如工程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等,在解析過(guò)程中,我們將重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生如何分析問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,并引導(dǎo)他們掌握解決問(wèn)題的有效方法,我們將總結(jié)每個(gè)案例的建模要點(diǎn)和技巧,為學(xué)生提供實(shí)用的建模指導(dǎo).
4.1 小組實(shí)踐活動(dòng)
進(jìn)入小組實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié),我們將為每個(gè)小組分配一個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題,這些問(wèn)題將基于華東師大版初中數(shù)學(xué)一元一次方程的教學(xué)案例,但將具有更高的復(fù)雜性和挑戰(zhàn)性.學(xué)生需要在小組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下,運(yùn)用所學(xué)的建模思想和方法,共同構(gòu)建一元一次方程模型,在活動(dòng)過(guò)程中,教師可以適時(shí)巡視各小組,提供必要的指導(dǎo)和幫助,確?;顒?dòng)的順利進(jìn)行.
4.2 成果展示與交流
完成建模任務(wù)后,各小組將展示自己的建模過(guò)程和成果,他們將詳細(xì)解釋問(wèn)題的分析過(guò)程、建立的數(shù)學(xué)模型以及解決問(wèn)題的步驟.在這個(gè)環(huán)節(jié),其他小組和教師將會(huì)給予寶貴的指導(dǎo)和建議,學(xué)生們也可以發(fā)表自己的看法,并與其他學(xué)生進(jìn)行深入的交流,從而更好地了解彼此.這將有助于他們更好地理解和掌握建模思想在一元一次方程中的應(yīng)用.
4.3 反思與提升
在活動(dòng)結(jié)束前,我們將鼓勵(lì)學(xué)生反思和總結(jié),讓他們從自身的實(shí)踐中汲取經(jīng)驗(yàn),深入理解數(shù)學(xué)建模思想,并且從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在,從而提出改進(jìn)意見(jiàn)和建議,以期達(dá)到更好的效果.教師也將對(duì)此次活動(dòng)給予客觀的評(píng)價(jià),以指出學(xué)生在運(yùn)用建模思想解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的不足之處,并給予有效的幫助.這將幫助學(xué)生進(jìn)一步提升自己的數(shù)學(xué)建模能力和問(wèn)題解決能力.
5 結(jié)語(yǔ)
方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心要素,它不僅是連接小學(xué)與初中數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁,更是為后續(xù)學(xué)習(xí)更高級(jí)的代數(shù)知識(shí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).通過(guò)使用建模技術(shù),我們可以幫助學(xué)生提高他們的問(wèn)題處理能力和提升他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧.
【本文為南安市教育科學(xué)”十四五”規(guī)劃2023年度課題<新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)方程應(yīng)用建模能力的培養(yǎng)路徑研究>NG1453-004研究成果】
參考文獻(xiàn):
[1]朱麟.從數(shù)到式,從式到方程——基于數(shù)學(xué)模型觀念滲透的單元教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)理天地(初中版),2024(03):57-59.
[2]夏菁.建模思想在初中數(shù)學(xué)一元一次方程中的有效應(yīng)用[J].家長(zhǎng),2024(04):67-69.