【摘要】在倍半角模型的教學(xué)過程中，建議按照“模型解讀—解題指導(dǎo)”的思路來設(shè)計.“模型解讀”從等腰三角形特性出發(fā)，梳理建模策略；“解題指導(dǎo)”要注意精選典型問題，突出模型構(gòu)建過程，引導(dǎo)學(xué)生整合條件構(gòu)建思路.

【關(guān)鍵詞】倍半角模型；建模思想；輔助線；角度關(guān)系

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出“模型觀念主要是指對運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識.知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑，初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義”.倍半角模型是初中幾何解題過程中常見的內(nèi)容，教學(xué)中需要重點(diǎn)講解，建議梳理知識內(nèi)容，構(gòu)建幾何模型，結(jié)合實例開展應(yīng)用探究.考慮到倍半角模型與等腰三角形有著緊密的關(guān)聯(lián)，模型解讀時可以從等腰三角形的性質(zhì)出發(fā)，探索作輔助線構(gòu)建模型的策略，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究，構(gòu)建模型的知識體系.

2 模型解讀

2.1 知識背景

等腰三角形中實際隱含了“倍半角”的知識點(diǎn)，教學(xué)中可結(jié)合具體圖示講解其中的角度關(guān)系.如圖1所示的等腰△ABC中，有AB=AC，則∠CAD=2∠B.

2.2 特殊半角講解

幾何中常見一些特殊的半角，如15°角，22.5°角，邊長比值為“3∶4∶5”的角，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生利用倍半角模型來梳理特殊角的計算思路，下面以構(gòu)造15°角為例具體講解如何求tan75°的值.

求解思路：如圖2所示，作圖構(gòu)建.

第一步，構(gòu)造一個含有30°角的Rt△ABC，設(shè)BC=1，AC=3， 則AB=2；

第二步，延長CA至點(diǎn)D，使AD=AB，則AD=2，連接BD，構(gòu)造出等腰△ABD.

計算方法：分析可知∠D=12∠BAC=15°，則∠CBD=75°，故在Rt△DBC中，有tan75°=tan∠DBC=CDBC=2+31=2+3.

通過此思路可以解決67.5°角和其他特殊直角三角形中存在的倍半角模型的相關(guān)習(xí)題，教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生作輔助線，拓展學(xué)生的思維.比如已知tanα=34，如何求tan2α和tanα2.

解析指導(dǎo)如圖3所示，可以構(gòu)造Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3，∠BAC=α，則tanα=34.可通過作AB的垂直平分線交AC于D，連接BD，則BD=AD，則∠BDC=2α. 設(shè)CD=x，則BD=AD=4－x，在Rt△BCD中，由勾股定理可得：x2+32=（4－x）2，解得x=78，所以CD=x=78. 在Rt△BCD中，所以 tan2α=BCCD=3÷78=247.如圖4所示，延長CA至E使AE=AB，連接BE，則AE=AB=5，∠BAC=2∠E，所以CE=9，∠E=12∠BAC=12α. 在Rt△BCE中，tanα2=BCCE=39=13.

2.3 模型建立

關(guān)于等腰三角形的倍半角模型，存在兩種情形，即半角向外構(gòu)等腰，倍角向內(nèi)構(gòu)等腰.教學(xué)中建議分類構(gòu)建模型，講解模型特點(diǎn)，通過觀察、探究、推理，總結(jié)得出性質(zhì)結(jié)論.

2.3.1 向外構(gòu)造等腰，得“半”角

如圖5所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，三邊分別為a，b，c，∠BAC=θ，若求θ2的三角函數(shù)值.可在直角三角形的外部構(gòu)造等腰三角形，形成倍半角模型，則∠BDC=θ2.同時，在直角三角形中，tanθ=ab，則可以推得tanθ2=ab+c.

解題思路 在已知“倍角”求“半角”的情形中，則可以將該倍角所在的直角三角形相應(yīng)的直角邊順勢延長，實現(xiàn)“等腰現(xiàn)，半角出”.

2.3.2 向內(nèi)構(gòu)造等腰得到“倍”角

如圖6所示，可視為是在直角三角形的內(nèi)部構(gòu)造等腰三角形，即在直角三角形的直角邊上取點(diǎn)（作斜邊的垂直平分線即可），形成倍半角模型.對于內(nèi)部的直角三角形，若設(shè)出直角邊為x，則利用勾股定理構(gòu)造方程，即可解出x，進(jìn)一步可求出tanθ.

解題思路 在已知“半角”求“倍角”的情形中，則可以作該半角所在的直角三角形的斜邊的垂直平分線與相應(yīng)的直角邊相交即可得到交點(diǎn)，構(gòu)造等腰三角形即可實現(xiàn)“等腰現(xiàn)，倍角出”.

3 解題指導(dǎo)

例1 如圖7所示，在△ABC中，已知AC=11，點(diǎn)E在邊AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點(diǎn)D，BD=8，則BC= .

解析指導(dǎo) 本題目的核心條件——∠A=2∠CBE，顯然存在倍半角關(guān)系，解析突破時可以考慮構(gòu)建倍半角模型來轉(zhuǎn)化.

如圖8，延長BD到點(diǎn)F，使得DF=BD，再過點(diǎn)C作CH∥AB，交BF于點(diǎn)H，如圖8的虛線所示，顯然構(gòu)建了倍半角模型.分析可知直線CD是線段BF的垂直平分線，則可得BC=CF，△BCF為等腰三角形.同時可得出∠ABE=∠CHD=2∠CBD=2∠F，所以∠EBC=∠F，故HF=HC.結(jié)合兩直線平行和等腰三角形的性質(zhì)可進(jìn)一步求得EH=EC，又因EA=EB，則BE+EH=AE+EC，即BH=AC，則可求出DH=BH－BD=AC－BD=3，HF=HC=5.

在Rt△CDH中，利用勾股定理可求得CD=4，在Rt△BCD中，由勾股定理可求得BC=45.

解后思考 上述在求解線段長時，采用構(gòu)建倍半角模型的策略，利用模型特性來串聯(lián)轉(zhuǎn)化條件.實際應(yīng)用中需要指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩點(diǎn)：一是關(guān)注倍半角的條件，提取角度所在圖形；二是分析圖形結(jié)構(gòu)，合理選取構(gòu)造倍半角模型的策略.

4 總結(jié)

關(guān)于倍半角模型的指導(dǎo)教學(xué)，建議參考上述思路設(shè)計，從等腰三角形的性質(zhì)出發(fā)，探索模型構(gòu)造的兩種思路，生成對應(yīng)建模策略，后續(xù)再結(jié)合實例開展解題指導(dǎo)，拓寬學(xué)生的解題視野.教學(xué)過程中注意合理滲透建模思想，引導(dǎo)學(xué)生掌握建模方法，感悟其思想內(nèi)涵，提升學(xué)生的解決問題的能力，發(fā)展幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力、模型觀念和應(yīng)用意識等核心素養(yǎng).