【摘要】數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)重要的思想之一，特別是解答代數(shù)與幾何的融合性問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想是非常重要的解題工具.本文根據(jù)初中備考復(fù)習(xí)情況，以問(wèn)題為導(dǎo)向，以問(wèn)題鏈的形式設(shè)計(jì)“數(shù)形結(jié)合”專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué).

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)形結(jié)合往往是借助圖形解決數(shù)的問(wèn)題，但是“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.初中數(shù)學(xué)分為幾何與代數(shù)，而連接這兩大版塊的主要橋梁就是數(shù)形結(jié)合.很多地方都少不了數(shù)形結(jié)合思想，如一元二次函數(shù)與一元二次方程問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)幾何圖形的面積問(wèn)題等.可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合的重要性，由此在中考備考復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)重視“數(shù)形結(jié)合”專(zhuān)題復(fù)習(xí).本文根據(jù)學(xué)生情況，設(shè)計(jì)以問(wèn)題為導(dǎo)向的教學(xué)，利用問(wèn)題鏈由簡(jiǎn)到繁、循序漸進(jìn)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維能力.

1 數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)

數(shù)形結(jié)合是一種解題技巧，是一種思維方式，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，實(shí)質(zhì)是直觀想象的一種表現(xiàn)形式.應(yīng)用過(guò)程實(shí)質(zhì)是數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，所以具體有兩個(gè)方面的應(yīng)用：一是以數(shù)來(lái)解形的問(wèn)題，如已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，求點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)求最值問(wèn)題；二是以形代數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，如解形如x－2－x+3=6的方程.

2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)片段

根據(jù)對(duì)數(shù)形結(jié)合的分析和認(rèn)識(shí)，接下來(lái)分“以數(shù)解形”和“以形代數(shù)”兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行，以問(wèn)題為導(dǎo)向，利用問(wèn)題鏈循序漸進(jìn)地突破數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題.

2.1 以數(shù)解形——探究對(duì)稱(chēng)最值問(wèn)題

問(wèn)題1 如圖1所示，已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1，3，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

師生活動(dòng) 教師組織學(xué)生通過(guò)已知圖形，或者借助圖形尋找數(shù)的關(guān)系.如問(wèn)題1中，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，通過(guò)圖形觀察發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)點(diǎn)處于同一縱向水平線上，且兩點(diǎn)與x軸的距離一樣，則設(shè)Bx，y，得x=1，y=－3.

問(wèn)題2 在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，在x軸上求一點(diǎn)Q，使AQ+BQ的值最小.

師生活動(dòng) 組織學(xué)生探究，結(jié)合三角形形成條件，如圖2所示，點(diǎn)Q在x軸上左右變動(dòng)，當(dāng)A，Q，B三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+BQ的值最小，為AB.

問(wèn)題3 如圖3，已知在直角坐標(biāo)系中，M2，4，N－1，3，式在x軸上求一點(diǎn)P，使MP+NP的值最小.

師生活動(dòng) 問(wèn)題3是在問(wèn)題1和問(wèn)題2的基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)，該問(wèn)題完全由學(xué)生解答，然后選取部分學(xué)生的解答進(jìn)行展示.

設(shè)計(jì)意圖 前提條件是本節(jié)課是專(zhuān)題復(fù)習(xí)，所以問(wèn)題均是以實(shí)際題目為主，以問(wèn)題為導(dǎo)向，第二個(gè)問(wèn)題是在第一個(gè)問(wèn)題基礎(chǔ)之上，問(wèn)題3是進(jìn)一步鞏固.該項(xiàng)目的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了根據(jù)數(shù)來(lái)解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，一方面Ax1，y1與Bx2，y2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則x1=x2y1=－y2；另一方面兩條線段之和最小，則三點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.

2.2 以形代數(shù)——絕對(duì)值方程解法探究

問(wèn)題4 解方程x－1=5.

師生活動(dòng) 由學(xué)生自行解決，該題目學(xué)生一般會(huì)解，解法有兩種：一是直接去絕對(duì)值符號(hào)；二是借助數(shù)軸，如圖4，利用數(shù)軸確定絕對(duì)值里面式子的符號(hào)，再去絕對(duì)值.為了和后面問(wèn)題銜接，引導(dǎo)學(xué)生采用第二種方法.

問(wèn)題5 解方程x－1－x+2=1.

師生活動(dòng) 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，利用數(shù)軸（如圖5）確定x－1和x+2的符號(hào)，然后根據(jù)符號(hào)去絕對(duì)值，從而解出方程的根.

設(shè)計(jì)意圖 該項(xiàng)目是從解方程x－1=5到解方程x－1－x+2=1，問(wèn)題緊扣，利用解方程x－1=5引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)軸確定絕對(duì)值符號(hào)，去絕對(duì)值，從而引出兩個(gè)絕對(duì)值的方程解法探究.以問(wèn)題為導(dǎo)向，以突破絕對(duì)值方程解法，體現(xiàn)以形代數(shù).

3 教學(xué)評(píng)價(jià)

例題 解方程x－12－x+22=1.

解析 因?yàn)閤－12－x+22=1，

去根號(hào)得x－1－x+2=1.如圖6所示，

當(dāng)x<－2時(shí)，x－1<0，x+2<0，

所以－x－1+x+2=1，即3=1無(wú)解；

當(dāng)－2≤x<1時(shí)，x－1<0，x+2≥0，

所以－x－1－x+2=5，

即－2x=2，解得x=－1；

當(dāng)x≥1時(shí)，x－1≥0，x+2>0，

所以x－1－x+2=1，即－3=1無(wú)解.

綜上所述，方程x－12－x+22=1的解為x=－1.

評(píng)注 該題是在問(wèn)題5的基礎(chǔ)上，將絕對(duì)值變?yōu)榱烁?hào)，去根號(hào)后增加絕對(duì)值，和問(wèn)題5一樣.

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)數(shù)形結(jié)合專(zhuān)題復(fù)習(xí)的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，把數(shù)形結(jié)合思想分成兩個(gè)方面：一是“以數(shù)解形”，具體放在對(duì)稱(chēng)求最值的問(wèn)題情境當(dāng)中；二是“以形代數(shù)”，具體放在解決含絕對(duì)值的分成問(wèn)題情境中.以問(wèn)題為導(dǎo)向進(jìn)行學(xué)習(xí)，根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)置的問(wèn)題一環(huán)扣一環(huán)，由易到難、循序漸進(jìn)進(jìn)行教學(xué).值得說(shuō)明的是，一是文章不是完整的教學(xué)設(shè)計(jì)，只是針對(duì)核心部分，對(duì)體現(xiàn)問(wèn)題導(dǎo)向和問(wèn)題鏈的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行了展示；二是本節(jié)課是對(duì)數(shù)形結(jié)合的專(zhuān)題復(fù)習(xí)，學(xué)生是在已有知識(shí)基礎(chǔ)的前提下，深入探究數(shù)形思想，所以問(wèn)題的設(shè)置都是以實(shí)際題目進(jìn)行.

【本文系2023年度廣州市教研院深度教學(xué)專(zhuān)項(xiàng)課題研究成果，課題編號(hào)：2023sdjx25】

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