【摘要】四邊形的綜合應(yīng)用探究中，需注意解析易錯(cuò)點(diǎn)，總結(jié)知識(shí)方法.易錯(cuò)點(diǎn)有三個(gè)，涉及動(dòng)點(diǎn)分析、圖形變換審視、四邊形與三角形的轉(zhuǎn)化.本文開(kāi)展易錯(cuò)點(diǎn)解讀，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行解題指導(dǎo).

【關(guān)鍵詞】四邊形；初中數(shù)學(xué)；解題方法

“四邊形的綜合應(yīng)用”是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)相對(duì)易理解，但其中存在一些易錯(cuò)點(diǎn)，學(xué)生解題應(yīng)用時(shí)易犯錯(cuò).教學(xué)指導(dǎo)時(shí)，建議教師針對(duì)性講解易錯(cuò)點(diǎn)，總結(jié)規(guī)避策略，并結(jié)合實(shí)例探究強(qiáng)化.

易錯(cuò)點(diǎn)1 動(dòng)點(diǎn)分析找不到變量關(guān)系

以四邊形為背景的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中，需要關(guān)注其中的動(dòng)點(diǎn)，但學(xué)生應(yīng)用解析時(shí)易分析錯(cuò)誤，易錯(cuò)點(diǎn)是找不到其中的變量關(guān)系.教學(xué)時(shí)分情形進(jìn)行分析指導(dǎo)：情形1，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，則不變量為動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離保持不變；情形2，動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧，則不變量為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離保持不變.因此，分析動(dòng)點(diǎn)時(shí)，需要指導(dǎo)學(xué)生探尋其中的定直線或定點(diǎn).

例1 如圖1所示，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，且滿足AE=CG，AH=CF.

（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）探究：四邊形EFGH的周長(zhǎng)一半與矩形ABCD一條對(duì)角線長(zhǎng)的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

易錯(cuò)分析 易錯(cuò)部分集中在第（2）小問(wèn)，分析大小關(guān)系時(shí)，若不能合理畫(huà)輔助線，則難以找到對(duì)應(yīng)關(guān)系.

過(guò)程構(gòu)建 （1）通過(guò)證明三角形全等，推導(dǎo)獲得EH=GF和EF=GH，則可以證明四邊形EFGH為平行四邊形.

（2）作圖：作G關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G′，連接EG′，F(xiàn)G′，AC，如圖1的虛線所示.

根據(jù)對(duì)稱性可得FG′=FG，CG=CG′.進(jìn)一步分析可知四邊形AEG′C是平行四邊形，則EG′=AC.因?yàn)镋F+FG′≥EG′，則EF+FG=EF+FG′≥EG′=AC，則AC的長(zhǎng)度就為EF+FG的最小值.又知EF+FG為四邊形EFGH的周長(zhǎng)一半，因此可推知四邊形EFGH的周長(zhǎng)一半大于或等于矩形ABCD一條對(duì)角線長(zhǎng).

教學(xué)總結(jié) 對(duì)于四邊形背景中的動(dòng)點(diǎn)分析，建議注重探尋動(dòng)點(diǎn)與定直線或定點(diǎn)的關(guān)系.解析過(guò)程可以構(gòu)建輔助線，整合幾何性質(zhì)，特別關(guān)注四邊形的邊、角特性.

易錯(cuò)點(diǎn)2 圖形變換時(shí)考慮不全面

以四邊形為背景的圖形變換探究中，需要關(guān)注變換過(guò)程，提取其中的不變量與變量，再構(gòu)建全等或相似求解.學(xué)生解題分析時(shí)若考慮不全面，錯(cuò)用對(duì)應(yīng)關(guān)系或提取定量錯(cuò)誤，容易造成錯(cuò)解.

例2 如圖2-（a），在平行四邊形ABCD中，AD=4，AB=8，∠DAB=60°，AB繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE，CE，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為α（0°<α<180°）.

（1）當(dāng)α=30°時(shí)，AE與直線CD相交于點(diǎn)F，此時(shí)，DF的長(zhǎng)為；

（2）當(dāng)△CBE是以CE為斜邊的直角三角形時(shí)，則CE的長(zhǎng)為.

易錯(cuò)分析 本題以四邊形為背景，探究其中的線段旋轉(zhuǎn)，難度適中，易錯(cuò)點(diǎn)主要集中在第（2）問(wèn)，學(xué)生利用三角形邊、角求解時(shí)，很容易記錯(cuò)其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而造成錯(cuò)解.

過(guò)程構(gòu)建 （1）簡(jiǎn)答，通過(guò)角度分析，可求出DA=DF=4.

（2）如圖2-（b），分析圖象可得∠EBC=90°，BE與AD的交點(diǎn)設(shè)為F.通過(guò)角度分析可得∠EBA=30°.利用旋轉(zhuǎn)特性可知AB=AE，∠EBA=F∠AEB=30°，則可得∠EAB=120°，進(jìn)一步分析可知AF為∠EAB的角平分線，可得AF⊥BE，BF=EF.分析求解線段長(zhǎng)，則有AF=12AB=4，BF=AB2－AF2=43，BE=2BF=83，從而可得CE=BC2+BE2=413.

教學(xué)總結(jié) 教學(xué)四邊形背景中的幾何運(yùn)動(dòng)，重點(diǎn)應(yīng)放在不變量與變量的分析提取上.解三角形時(shí)，注意邊、角關(guān)系的對(duì)應(yīng)指導(dǎo)，可以借助具體的三角形模型，梳理整合其中的線段、角度.

易錯(cuò)點(diǎn)3 三角形和四邊形間的互化錯(cuò)誤

四邊形問(wèn)題解析過(guò)程中，通常需要進(jìn)行三角形與四邊形之間的相互轉(zhuǎn)化，學(xué)生常缺少幾何轉(zhuǎn)化的意識(shí)，轉(zhuǎn)化思想理解不到位.教學(xué)中則建議指導(dǎo)學(xué)生掌握?qǐng)D形轉(zhuǎn)化的思路方法，立足三角形解析線段或角度，而性質(zhì)分析可以借助四邊形的特性.

例3 已知點(diǎn)E是菱形ABCD邊BC上的中點(diǎn)，∠ABC＝30°，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且PC＋PE＝26，則菱形ABCD面積的最大值是.

易錯(cuò)分析 本題目中需要分析菱形面積的最大值，具體求解時(shí)則需要作輔助線構(gòu)建三角形模型，利用三角形的邊角性質(zhì)推導(dǎo)，學(xué)生若不能合理地作輔助線，則容易陷入思維障礙.

過(guò)程構(gòu)建 取AB的中點(diǎn)為E′，連接CE′交BD于點(diǎn)P，如圖3的虛線所示.根據(jù)菱形性質(zhì)可得∠ABD＝∠CBD，結(jié)合BE=BE′可推知點(diǎn)E和E′關(guān)于直線BD對(duì)稱，則PE＝PE′，可得PE＋PC＝PE′＋PC，分析可知，當(dāng)PC＋PE′＝CE′＝26時(shí)，菱形ABCD的面積最大.

作E′H⊥BC于H，AM⊥BC于M，如圖3的虛線所示，設(shè)AB＝BC＝2a，則AM=a，E′H=12a，BH=32a，CH=2a-32a.在Rt△CHE′中，由勾股定理可得CE′2=CH2+HE′2，導(dǎo)入線段長(zhǎng)，可求得a2=265－23，則菱形ABCD的面積最大值=BC·AM＝2a2＝20+83.

教學(xué)總結(jié) 四邊形與三角形的相互轉(zhuǎn)化是解析復(fù)合幾何問(wèn)題的重要策略，教學(xué)中需要指導(dǎo)學(xué)生掌握轉(zhuǎn)換思路.探究以四邊形為背景的幾何問(wèn)題，通常要基于四邊形的性質(zhì)推導(dǎo)條件，合理作輔助線構(gòu)建三角形模型，解三角形再求線段或角度.

結(jié)語(yǔ)

總之，四邊形的綜合應(yīng)用探究中，需關(guān)注其中的易錯(cuò)點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生掌握動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的變量關(guān)系分析法，全面審視圖形變換中的“變”與“不變”，構(gòu)建三角形與四邊形的互化思路.解題分析時(shí)，注意開(kāi)展易錯(cuò)點(diǎn)辨析，引導(dǎo)構(gòu)建解題思路.