【摘要】線段和差問題有“和差關(guān)系”和“和差最值”兩種類型，問題解析需要采用相應(yīng)的處理技巧，對(duì)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化.對(duì)于和差關(guān)系問題，可以采用全等構(gòu)造代換、截長(zhǎng)補(bǔ)短轉(zhuǎn)化；而和差最值問題則可以通過對(duì)稱轉(zhuǎn)化處理.本文具體探究三種處理技巧，并結(jié)合實(shí)例深入剖析.

【關(guān)鍵詞】線段和差；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

線段和差問題在初中數(shù)學(xué)中十分常見，包含“和差關(guān)系”和“和差最值”兩類.問題解析需要處理其中的“和差”，常見的有利用全等特性等量代換、截長(zhǎng)補(bǔ)短線段轉(zhuǎn)化，以及對(duì)稱轉(zhuǎn)換共線分析，其中前兩種方法適用于和差關(guān)系問題，后者則適用于和差最值問題.下面具體探究.

技巧1 全等構(gòu)造+等量代換

利用全等三角形等量代換處理線段和差關(guān)系，核心是全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，基本思路是借助全等三角形的等線段性質(zhì)，將和差關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題.解析時(shí)提取或構(gòu)建全等模型，將分散的線段轉(zhuǎn)化到同一直線上.

例1 如圖1所示，點(diǎn)D是△ABC底邊BC上的一點(diǎn)，以AD為一邊作等邊△ADE，再連接CE，試證明AC=CD+CE.

方法分析 本題目以三角形為背景證明線段和差關(guān)系，可以采用全等構(gòu)造的方式來等量代換，將線段CD，CE和AC轉(zhuǎn)換到同一直線上，進(jìn)而完成證明.

解析 根據(jù)題設(shè)可知△ABC和△ADE均為等邊三角形，可推知AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

所以∠BAD＝∠CAE.

在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

可證△ABD≌△ACE（SAS），

由全等性質(zhì)可得BD=CE，

所以CE+CD＝BD+CD＝BC＝AC，證畢.

評(píng)析 全等代換是處理線段和差關(guān)系問題的重要方法策略，解析時(shí)一般分為兩步：第一步，構(gòu)建或提取全等模型；第二步，利用全等性質(zhì)將所涉及線段轉(zhuǎn)換到同一直線上，完成線段關(guān)系證明.教學(xué)探究時(shí)，建議引導(dǎo)學(xué)生把握突破思路，總結(jié)全等模型的構(gòu)造技巧.

技巧2 截長(zhǎng)補(bǔ)短+線段轉(zhuǎn)化

通過線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短處理線段和差問題，即解題時(shí)在圖形中進(jìn)行線段延長(zhǎng)和截取構(gòu)造，從而實(shí)現(xiàn)線段的等量轉(zhuǎn)化.通常有兩種方式：一是截長(zhǎng)，在長(zhǎng)線段中截取一段與另兩條中的一條相等；二是補(bǔ)短，將一條短線段延長(zhǎng)，使得與另一短線段相等.

例2 如圖2所示，點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，已知∠ABC=120°，弦AC=23，弦BM平分∠ABC，與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)D，再連接MA和MC，回答下列問題.

（1）試求⊙O的半徑長(zhǎng)；

（2）證明AB+BC=BM.

分析 本題目以圓為背景，第（2）問證明線段和差關(guān)系，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短線段轉(zhuǎn)化的方法策略.在線段BM上截取短線段，后續(xù)利用幾何性質(zhì)分析來完成轉(zhuǎn)化證明.

解析 （1）簡(jiǎn)證，借助三角函數(shù)來證明線段OA長(zhǎng)，即OA=2.

（2）證明 在BM上截取BE=BC，再連接CE，如右圖2的虛線所示.

利用角度分析，可證△EBC為等邊三角形，

則∠BCD+∠DCE=60°.

因?yàn)椤螦CM=∠ABM=12∠ABC=60°，

所以∠ECM=∠DCE=60°，進(jìn)一步可推知∠ECM=∠BCD.

而∠ABM=∠CBM=60°，

則∠CAM=∠CBM=60°，

∠ACM=∠ABM=60°，可證△ACM為等邊三角形，

則AC=CM，進(jìn)一步可證△ACB≌△MCE，

可得AB=ME，

結(jié)合ME=EB=BM，可證AB+BC=BM.

評(píng)析 截長(zhǎng)補(bǔ)短證明線段和差關(guān)系，其核心知識(shí)是幾何構(gòu)造轉(zhuǎn)化，通過“截取”“延長(zhǎng)”的方式實(shí)現(xiàn)等線段構(gòu)建.上述問題借助了“截取”的方式，在長(zhǎng)線段上截取短線段，再通過特殊圖形提取，全等性質(zhì)完成證明.教學(xué)探究時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生理解“截長(zhǎng)補(bǔ)短”方法策略的具體含義，再結(jié)合問題進(jìn)行技巧指導(dǎo)，讓學(xué)生根據(jù)題設(shè)條件靈活使用.

技巧3 對(duì)稱轉(zhuǎn)化+共線定理

對(duì)于線段和差最值問題，可以采用對(duì)稱轉(zhuǎn)化的策略，即作關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)化，將不共線的線段串聯(lián)起來，再利用“共線定理”分析最值.實(shí)際上該技巧思路是“將軍飲馬”的體現(xiàn).

例3 如圖3所示，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）和C（0，-3）三點(diǎn)，M為拋物線的頂點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）試求拋物線的解析式；

（2）試在該拋物線的對(duì)稱軸上找到一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 本題目以拋物線為背景，第（2）問探究線段和的最值，屬于線段最值問題.建議采用對(duì)稱轉(zhuǎn)化的策略，利用對(duì)稱性質(zhì)將線段串聯(lián)，再借助共線性質(zhì)來求解最值.

（1）利用待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點(diǎn)，可設(shè)其解析式為y＝a（x+1）（x-3），再將點(diǎn)C代入解析式中，可解得a=1，所以拋物線的解析式為y＝x2-2x-3.

（2）利用“對(duì)稱轉(zhuǎn)化+共線定理”來求解線段和最值.

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于該直線對(duì)稱，連接BC，與直線x=1的直線交于點(diǎn)P，由對(duì)稱特性可知PA=PB，則PA+PC=PB+PC，顯然當(dāng)點(diǎn)P，B，C共線時(shí)，取得最小值，且最小值就為BC的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)B和C的坐標(biāo)，可求得BC=32.

利用點(diǎn)B和點(diǎn)C來求直線BC的解析式，設(shè)解析式為y＝mx+n，

代入點(diǎn)坐標(biāo)，則有3k+b=0b=－3，

可解得k=1b=－3，所以直線BC的解析式為y＝x-3，

當(dāng)x=1時(shí)滿足條件，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）.

評(píng)析 “對(duì)稱轉(zhuǎn)化+共線定理”是求解線段和差最值的常用策略，核心知識(shí)是對(duì)稱特性和“兩點(diǎn)之間，線段最短”.上述求解線段和最值時(shí)，首先通過對(duì)稱轉(zhuǎn)化串聯(lián)兩線段，再結(jié)合共線特性確定點(diǎn)P位置.探究教學(xué)中，建議指導(dǎo)學(xué)生明晰方法策略的知識(shí)核心，再梳理解法步驟.

結(jié)語

本文探究了線段和差問題的處理策略，涉及了線段和差關(guān)系和最值兩類問題、三種方法.幾何構(gòu)造、化歸轉(zhuǎn)化是該類問題破解的常見思想，探究解析時(shí)需要注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)核心知識(shí)，明晰解題思想，在此基礎(chǔ)上梳理方法策略.解題過程指導(dǎo)時(shí)，建議指導(dǎo)學(xué)生按照“讀題審題，方法分析，過程指導(dǎo)，解后反思”的流程進(jìn)行，幫助學(xué)生積累方法應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).