【摘要】 二次根式型代數(shù)式的求值問題需要講究一定的方法與技巧，本文結(jié)合幾則例題，探討二次根式型代數(shù)式求值問題的策略，以幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生思維.

【關(guān)鍵詞】二次根式；初中數(shù)學(xué)；解題方法

代數(shù)式的求值問題是有一定技巧的，二次根式型代數(shù)式的求值問題更需要講究一定的方法與技巧.二次根式型代數(shù)式的求解問題，一般有哪些方法呢？

1 配方法

平方與開方，是兩個(gè)可逆的運(yùn)算，因此通過配方可以達(dá)到開方的目的.

例1 已知x=12－1，

試求代數(shù)式2x2－4x+3的值.

解析 由x=12－1，

得x＝2+1，即x－1＝2，

所以2x2－4x+3＝2（x－1）2+1＝2（2）2+1=5.

點(diǎn)評(píng) 若不配方直接代入，也可以算出結(jié)果，但計(jì)算量較大，因而容易出錯(cuò).其實(shí)x=2+1與x=2－1是方程x2－22x+1=0的兩個(gè)根.如果要求2x2－42x+3的值，該如何求呢？大家不妨一試.

2 平方法

平方的目的是去根號(hào)，從而把無理式轉(zhuǎn)化為有理式問題進(jìn)行求解.

例2 已知x=12－1，求代數(shù)式3－2x2+4xx2－2x+4的值.

解 由x=12－1，

得x＝2+1，即x－1＝2，

兩邊平方，得（x－1）2=2，

所以x2－2x=1，

所以3－2x2+4xx2－2x+4=3－2（x2－2x）（x2－2x）+4=3－21+4=15.

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)所求表達(dá)式中含有未知數(shù)的平方時(shí)，這種方法往往十分有效.

3 湊零法

所謂湊零法，就是把已知條件通過平方變形為一個(gè)左邊為整式右邊為零的整式，再將所求的式子變成含有這個(gè)整式的式子.

例3 已知x=23－1，

求代數(shù)式3x2－6x+15的值.

解 因?yàn)閤=23－1，

所以x=3+1，即x－1＝3，

所以x2－2x－4=0，

所以3x2－6x+15

＝3（x2－2x－4）+27=33.

點(diǎn)評(píng) 這種“湊零代換”的方法其實(shí)就是整體代換，從而有效地避免了根式運(yùn)算.

4 倒數(shù)法

將已知條件取倒數(shù)后，再把欲求代數(shù)式變成只含已知條件的變形式的形式，最后整體代換，也可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化.

例4 已知x=12－1，

求代數(shù)式xx2+3x+1的值.

解析 因?yàn)閤=12－1=2+1，

所以1x=2－1，

所以x+1x=22.

所以xx2+3x+1=1x+1x+3

=122+3=3－22=2－1.

點(diǎn)評(píng) 從本題的解答可以看出，將已知條件變形，也是為了整體代換，達(dá)到減少計(jì)算量的目的.

5 利用對(duì)稱性

當(dāng)已知條件給出的兩個(gè)根式具有對(duì)稱性時(shí)，可先求它們的和與積，然后將欲求的代數(shù)式變形成只含它們的和與積的形式，從而代入求解.

例5 已知a=2－12+1，b=2+12－1，求a2+4ab+b2的值.

解析 因?yàn)閍=2－12+1，b=26fQiFVNb/9bXZ4I4z8+lAQ==+12－1，

所以a+b＝6，ab＝1.

所以a2+4ab+b2=（a+b）2+2ab=36+2=38.

點(diǎn)評(píng) 這類問題中已知條件一般有兩個(gè)代表無理數(shù)的字母，且它們互為倒數(shù)，而所要求的表達(dá)式是關(guān)于這兩個(gè)字母的輪換式.

6 分類討論法

當(dāng)根式能直接開出來但無法確定正負(fù)時(shí)，需分來討論.

例6 已知|x－1|=3，求x2－6x+9+9x2－6x+1的值.

解析 因?yàn)閨x－1|=3，

所以x－1＝±3，

即x＝1+3或x＝1－3.

又x2－6x+9+9x2－6x+1

＝（x－3）2+（3x－1）2

＝|x－3|+|3x－1|，

所以，當(dāng)x＝1+3時(shí)，

原式＝3－x+3x－1＝2x－2＝23；

當(dāng)x＝1－3時(shí)，

原式＝3－x+1－3x=4（1－x）=43.

點(diǎn)評(píng) 本題由于x有兩個(gè)值，故代入根式運(yùn)算時(shí)必須分類討論，同時(shí)還需注意根式的非負(fù)性.

7 利用二次根式的非負(fù)性

利用被開方數(shù)的非負(fù)性，有時(shí)可以夾逼出未知數(shù)的值，看似有無數(shù)解的方程，其實(shí)只有1解或幾解.

例7 已知x，y為實(shí)數(shù)，

y＝x2－9+9－x2x+3+2，

求代數(shù)式2x－4y+11的值.

解析 因?yàn)閤、y為實(shí)數(shù)，

y＝x2－9+9－x2x+3+1，

所以有x2-9≥09-x2≥0x+3≠0，

解得x＝3，

所以y＝2.

當(dāng)x＝3，y＝2時(shí)，

2x－4y+11=2×3－4×2+11=3.

點(diǎn)評(píng) 這類求值問題看似x，y未知，但利用二次根式的非負(fù)性，就可求出它們的值.

8 結(jié)語

從以上七種方法可以看出，求解二次根式型代數(shù)式問題，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)變形，利用根式運(yùn)算，利用分式性質(zhì)，將已知條件等價(jià)變形，同時(shí)將所求代數(shù)式化簡(jiǎn)或變形成滿足已知條件的形式，這類問題沒有統(tǒng)一的解題模式，只有分析題目特征，才可“對(duì)癥下藥”.

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