【摘要】 分式運(yùn)算是以分式的性質(zhì)為基礎(chǔ)，根據(jù)分式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，運(yùn)用適當(dāng)方法就會(huì)使運(yùn)算過(guò)程變得容易，起到事半功倍的效果.本文結(jié)合幾則典例，從四個(gè)方面作分析探討，以幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，提高學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】分式；混合運(yùn)算；初中數(shù)學(xué)

分式的混合運(yùn)算，是初中代數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)的一類問(wèn)題.常言道：“得道多助，失道寡助.”解題中的“道”是指解題方法.分式運(yùn)算是以分式的性質(zhì)為基礎(chǔ)，根據(jù)分式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化、運(yùn)用適當(dāng)方法就會(huì)使運(yùn)算過(guò)程變得容易，起到事半功倍的效果.那么，分式混合運(yùn)算之“道”有哪些？

1 改變運(yùn)算符號(hào)

在分式運(yùn)算中，當(dāng)兩個(gè)分母互為相反數(shù)的分式相加減時(shí)，只需把其中一個(gè)分式分母的運(yùn)算符號(hào)提取出來(lái)，變成同分母分式進(jìn)行加減即可.

例1 化簡(jiǎn)：x2x－1+11－x－1.

解析 原式=x2x－1－1x－1－1=x2－1x－1－1=x+1－1=x.

點(diǎn)評(píng) 本題經(jīng)過(guò)提取負(fù)號(hào)，就已經(jīng)完成了通分這一步驟，所以使運(yùn)算變得簡(jiǎn)捷了.

2 適當(dāng)拆分

當(dāng)某些分式的分母具有一定的規(guī)律時(shí)，通常可以把它拆分成兩個(gè)分式相減的形式，然后經(jīng)過(guò)正負(fù)抵消求出答案.

例2 對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“☆”如下：a☆b=a－b2ab，則2☆1+3☆2+4☆3+…+2015☆2014+2016☆2015+2017☆2016+2018☆2017= .

解析 本題是個(gè)新定義計(jì)算問(wèn)題，先把新定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為普通運(yùn)算問(wèn)題.

2☆1+3☆2+4☆3+…+2015☆2014+2016☆2015+2017☆2016+2018☆2017

=2－12×2×1+3－22×3×2+…+

2017－20162×2017×2016+2018－20172×2018×2017

=12（12+13×2+…+12017×2016+

12018×2017）

=12（1-12+12-13+13-14…+12017-12018）

=12-14036

=20174036.

點(diǎn)評(píng) 本題將一項(xiàng)裂為兩項(xiàng)，即1n（n+1）=1n－1n+1，然后通過(guò)前后正負(fù)抵消求得答案.類似的有1n·n+2=12（1n－1n+2），1n（n+1）（n+2）=12（1n（n+1）－1（n+1）（n+2）），2n+1［n（n+1）］2（n+1）2－n2n2·（n+1）2=1n2－1（n+1e852d0386013d2296159ce9d93258d731f0f3ae6864668450c783793baaabee4）2等.

3 換元法

當(dāng)某些分式的分子和分母都含有多項(xiàng)式，并且這些多項(xiàng)式大多相同時(shí)，不妨把某一個(gè)多項(xiàng)式看成一個(gè)整體，用一個(gè)簡(jiǎn)單的字母代替它進(jìn)行運(yùn)算，這就是換元法，換元之后再進(jìn)行運(yùn)算，往往起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果，不過(guò)最后還需再替換過(guò)來(lái).“新元”起到了橋梁作用.換元法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的整體思想.

例3 當(dāng)x=2，y=1時(shí)，

計(jì)算y2x2+x2y2+2y3x3－x3y3－3（yx－xy）÷yx+xyy2x2+x2y2－2的值.

解析 先化簡(jiǎn)再求值.本題如果直接去計(jì)算，計(jì)算量非常大.仔細(xì)觀察題目特征，我們可以發(fā)現(xiàn)分式的分子和分母中都含有yx，xy，因此想到可以采用換元法，用字母a，b來(lái)代替它們，簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而大大地提高了運(yùn)算速度，不過(guò)最后莫忘還要再替換回來(lái).

設(shè)yx=a，xy=b，則ab=1，

于是原式=a2+b2+2aba3－b3－3ab（a－b）÷

a+ba2+b2－2ab

=（a+b）2（a－b）3÷a+b（a－b）2

=（a+b）2（a－b）3·（a－b）2（a+b）=a+ba－b，

所以原式=yx+xyyx－xy=y2+x2xyy2－x2xy=y2+x2xy·xyy2－x2=y2+x2y2－x2.

所以當(dāng)x=2，y=1時(shí)，

原式=12+2212－22=－53.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于已知條件下的分式混合運(yùn)算求值問(wèn)題，應(yīng)該先把分式代數(shù)式化簡(jiǎn)，當(dāng)式子中含有某個(gè)相同的多項(xiàng)式時(shí)，先換元再化簡(jiǎn)往往會(huì)起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果.

4 因式分解法

對(duì)于有些分式的分子與分母是多項(xiàng)式時(shí)，直接無(wú)法運(yùn)算或運(yùn)算很繁瑣，這時(shí)為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們可以把這些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，找出規(guī)律進(jìn)行約分，也能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果.例如：1x+3+1x－3+x+9x2－9=x－3+x+3x2－9+x+9x2－9

=3（x+3）（x+3）（x－3）=3x－3.

下面再舉一例.

例4 計(jì)算： b－ca2－ab－ac+bc－c－ab2－bc－ab+ac+a－bc2－ac－bc+ab.

解析 既不便于分式通分，又不適合分組通分，試圖觀察其中一項(xiàng)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

b－ca2－ab－ac+bc=b-c（a－b）（a－c）=（a－c）－（a－b）（a－b）（a－c）=1a－b－1a－c，

因此不難看出，拆項(xiàng)后通分更容易.

所以原式＝b－c（a－b）（a－c）－c－a（b－c）（b－a）+a－b（c－a）（c－b）

＝（a－c）－（a－b）（a－b）（a－c）－（b－a）－（b－c）（b－c）（b－a）+（c－b）－（c－a）（c－a）（c－b）

＝1a－b－1a－c－1b－c+1b－a+1c－a－1c－b=2c－a

點(diǎn)評(píng) 在本題運(yùn)算中，當(dāng)分子分母進(jìn)行因式分解后，才發(fā)現(xiàn)規(guī)律，否則會(huì)無(wú)從下手.

5 結(jié)語(yǔ)

總之，分式運(yùn)算方法有多種，我們?cè)诜质降膶?shí)際運(yùn)算中，要學(xué)會(huì)仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，反復(fù)推敲，善于歸納，尋找規(guī)律，這樣才能準(zhǔn)確迅速地計(jì)算出結(jié)果來(lái).

參考文獻(xiàn)：

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