【摘要】本文通過實(shí)例探討二次函數(shù)解析式的求解方法，包括一般式法、頂點(diǎn)式法、兩根式法、平移變換法、對(duì)稱變換法等．通過具體的實(shí)例，展示這些方法的應(yīng)用和優(yōu)缺點(diǎn)，以便讀者更好地理解和掌握二次函數(shù)解析式的求解．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題方法

二次函數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它在許多實(shí)際問題中都有廣泛的應(yīng)用．求解二次函數(shù)解析式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是解決許多實(shí)際問題的關(guān)鍵．本文將通過實(shí)例，詳細(xì)介紹二次函數(shù)解析式的求解方法．

1 一般式法求二次函數(shù)解析式

例1 一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝-5；當(dāng)x＝-1時(shí)，y＝-4；當(dāng)x＝-2時(shí)，y＝5，則這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是（ ）

（A）y＝4x2+3x-5．

（B）y＝2x2+x+5．

（C）y＝2x2-x+5．

（D）y＝2x2+x-5．

解析 設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），

因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，y＝-5；

當(dāng)x＝-1時(shí)，y＝-4；

當(dāng)x＝-2時(shí)，y＝5，

所以 c＝-5①，

a-b+c＝-4②，

4a-2b+c＝5③，

解由①②③組成的方程組得，

a＝4，b＝3，c＝-5，

所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y＝4x2+3x-5．

故選（A）．

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用了一般式法求解二次函數(shù)的解析式．先設(shè)二次函數(shù)解析式的一般式為y＝ax2+bx+c（a≠0），通過解方程組確定a，b，c的值．

2 頂點(diǎn)式法求二次函數(shù)解析式

例2 某拋物線和拋物線y=－2x2的形狀、開口方向完全相同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是－1，3，則該拋物線的解析式為（ ）

（A）y=－2x2+4x+1．

（B）y=－2x2－4x+1．

（C）y=－4x2－4x+2．

（D）y=－4x2+4x+2．

解析 根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax+h2+b，對(duì)應(yīng)可得拋物線的解析式為y=－2x+12+3=－2x2－4x+1．

故選（B）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用頂點(diǎn)式法求二次函數(shù)的表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式來求解．直接利用頂點(diǎn)式寫出拋物線的解析式，即可得出答案．

3 兩根式法求二次函數(shù)解析式

例3 如圖1所示，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A1，0，B3，0，與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)Mx1，y1，Nx2，y2是拋物線上不同的兩點(diǎn)且x1+x2=6x1－x2，求y1－y2的最小值．

解析 （1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：

y=ax－x1x－x2，

由題意可得：x1=1，x2=3，

所以y=ax－1x－3=a（x2－4x+3），

所以3a=3，

解得a=1，

故拋物線的表達(dá)式為y=x2－4x+3.

（2）由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，

①若點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

則y1=y2，

所以y1－y2=0，

②y1－y2=x21－4x1+3－x22－4x2+3

=x1+x2x1－x2－4x1－x2，

因?yàn)閤1+x2=6x1－x2，

所以y1－y2=x1+x2（x1－x2）－4（x1－x2）

=6x1－x2x1－x2－4x1－x2

=6x1－x2－132－23≥－23，

即y1－y2的最小值為－23．

點(diǎn)評(píng) 本題給出了拋物線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)A1，0和B3，0，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax－x1x－x2，再結(jié)合題設(shè)條件求解函數(shù)解析式；第（2）問中，y1－y2=x1+x2x1－x2－4x1－x2，x1+x2=6x1－x2，得到y(tǒng)1－y2的函數(shù)表達(dá)式，即可求出結(jié)果．

4 平移變換法求二次函數(shù)解析式

例4 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C2是由拋物線C1沿x軸平移得到的，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，a），若拋物線C1的表達(dá)式為y=mx2－6mx+n（m≠0），則拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）

（A）（-4，n-9m）．

（B）（-4，9m-n）．

（C）（-5，n-9m）．

（D）（-5，9m-n）．

解析 因?yàn)閥=mx2－6mx+n（m≠0），

所以y=mx－32+n－9m，

因?yàn)閽佄锞€C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，n-9m），

因?yàn)椋?1，a）在拋物線C1的圖象上，

所以a=m－1－32+n－9m，

解得a=7m+n，

因?yàn)閽佄锞€C2是由拋物線C1沿x軸平移得到的，

所以設(shè)拋物線C2的解析式為

y=mx－k2+n－9m，

因?yàn)椋?1，a）也在拋物線C2的圖象上，

所以a=m－1－k2+n－9m，

所以7m+n=m－1－k2+n－9m，

因?yàn)閙≠0，

所以解得k=3或－5，

所以拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，n-9m）或（3，n-9m）（點(diǎn)C1，舍去），

故選（C）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的平移規(guī)律，根據(jù)平移規(guī)律設(shè)出平移后拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．先把拋物線C1的表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入交點(diǎn)坐標(biāo)求得a的值，根據(jù)平移規(guī)律設(shè)拋物線C2的表達(dá)式，再代入交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．

5 對(duì)稱變換法求二次函數(shù)解析式

例5 我們定義：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，圖像都經(jīng)過原點(diǎn)且對(duì)稱軸相同的兩個(gè)二次函數(shù)稱作互為友好函數(shù)，求y=2x2+4x的友好函數(shù)的解析式．

解析 函數(shù)y=2x2+4x的對(duì)稱軸為x=－1，

設(shè)y=2x2+4x的友好函數(shù)是y=ax2+bx，

所以2+a=1－b2a=－1，

所以a=－1b=－2，

所以y=2x2+4x的友好函數(shù)是y=－x2－2x.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用對(duì)稱變換求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是讀懂“友好對(duì)稱二次函數(shù)”的定義．函數(shù)y=2x2+4x的對(duì)稱軸為x=－1，設(shè)y=2x2+4x的友好函數(shù)是y=ax2+bx，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，圖像都經(jīng)過原點(diǎn)且對(duì)稱軸相同可列出方程組，解方程組即可求出所求解析式．

6 結(jié)語

二次函數(shù)解析式的求解方法有多種，每種方法都有其適用的條件和優(yōu)缺點(diǎn)，理解和掌握這些方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)際問題解決都非常重要．通過具體的例子和解析，可以更好地理解和掌握這些方法的應(yīng)用和優(yōu)缺點(diǎn)．

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