【摘要】二次函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用．其中，涉及二次函數(shù)的面積最值問題是常見的題型之一．本文通過實(shí)例分析，探討求解二次函數(shù)中面積最值問題的方法，旨在幫助學(xué)生掌握有效的解題策略，提高數(shù)學(xué)思維能力和解題技巧．

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；解題方法

1 未知參數(shù)函數(shù)上形成三角形面積的最值問題

例1 已知拋物線y=ax2－5ax+c與y軸交于點(diǎn)C，與直線y=mx+n交于點(diǎn)A－3，0和點(diǎn)B5，4，如圖1所示．

（1）求直線與拋物線的解析式以及C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如果點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△MAB的最大面積．

解析 （1）把點(diǎn)A－3，0和點(diǎn)B5，4代入y=ax2－5ax+c中，

得9a+15a+c=025a－25a+c=4，

解得a=－16c=4，

所以y=－16x2+56x+4，

把點(diǎn)A－3，0和點(diǎn)B5，4代入y=mx+n中，

解得m=12n=32.

所以y=12x+32，

當(dāng)x=0時(shí)，y=－16x2+56x+4=4，

所以C0，4．

（2）過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖2.

設(shè)M（t，－16t2+56t+4），

則E（t，12t+32），

S△MAB=S△AME+S△BME

=12ME×AF+12ME×FN

=12ME×AN

=12（－16t2+56t+4－12t－32）×8

=－23t2+43t+10

=－23t－12+323.

因－23<0，所以△MAB的最大面積是323．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)公式的運(yùn)用及三角形最大面積的求法．第（2）問中，過點(diǎn)M作MF⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)M、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，分別用拋物線、直線的解析式表示兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)S△MAB=S△AME+S△BME，列出關(guān)于m的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最大值就是最大面積的值．

2 拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)形成三角形的最大面積

例2 如圖3，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C4，3，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為1，0．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)E是此拋物線上且位于直線AC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ACE的最大面積以及E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解析 （1）把1，0，4，3代入y=ax2+bx+3，

得a+b+3=016a+4b+3=3，

解得a=1b=－4.

所以拋物線的解析式為y=x2－4x+3.

（2）如圖4，過E作DE⊥x軸交AC于點(diǎn)D.

設(shè)過A1，0，C4，3的直線為y=mx+n.

所以m+n=04m+n=3，

解得m=1n=－1.

所以直線AC的解析式為y=x－1.

當(dāng)y=0，則x2－4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3，

所以B3，0，而C4，3，

所以xC－xA=4－1=3.

設(shè)Ex，x2－4x+3，

則Dx，x－1，

所以DE=x－1－x2－4x+3=－x2+5x－4，

所以S△ACE=12×3－x2+5x－4=－32x2+152x－6.

所以當(dāng)x=－1522×－32=52時(shí)，△ACE的面積最大，

最大面積為：S△ACE=－32×254+152×52－6=278.

此時(shí)：y=254－4×52+3=－34．

所以E52，－34．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最大值的方法，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值是解題的關(guān)鍵．

3 結(jié)語(yǔ)

通過以上實(shí)例分析可以看出，求解二次函數(shù)中面積最值問題需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法．在實(shí)際解題過程中，學(xué)生應(yīng)根據(jù)具體問題的特點(diǎn)，選擇合適的方法．同時(shí)，隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷深入學(xué)習(xí)，還會(huì)有更多更高級(jí)的數(shù)學(xué)工具和方法可以應(yīng)用到這類問題的求解中．教師在教學(xué)過程中，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題．