【摘要】在數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生的應(yīng)變能力至關(guān)重要．學(xué)生遇到題目的條件和形式發(fā)生變化時(shí)，就會(huì)束手無(wú)策.本文以不同學(xué)生對(duì)一道中考題的不同表現(xiàn)，分析學(xué)生的考場(chǎng)心理，提出培養(yǎng)應(yīng)變能力的方法與措施，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

【關(guān)鍵詞】應(yīng)變能力；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

數(shù)學(xué)中的應(yīng)變能力又稱數(shù)學(xué)機(jī)智，需要學(xué)生在新知識(shí)面前能迅速產(chǎn)生思維效應(yīng)，在解決問(wèn)題時(shí)能善于觀察分析，剖析題目的結(jié)構(gòu)特征，產(chǎn)生解決問(wèn)題的比較簡(jiǎn)捷的思路與方法.2023年廣東省中考數(shù)學(xué)試題第22題，打破以往的命題套路，去模型化，著重考查學(xué)生的應(yīng)變能力.本文借此題談學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)變能力的培養(yǎng)建議.

1 試題呈現(xiàn)

試題 如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A′．連接AA′交BD于點(diǎn)E，連接CA′.

（1）求證：AA′⊥CA′.

（2）以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓．

①如圖2，⊙O與CD相切，求證AA′＝3CA′；

②如圖3，⊙O與CA′相切，AD=1，求⊙O的面積．

2 試題特點(diǎn)

該題是以矩形為背景的一道幾何綜合題，融入了軸對(duì)稱和圓的相關(guān)知識(shí)，一題三問(wèn)，基礎(chǔ)與能力相容，逐步升華．考查初中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)：軸對(duì)稱、矩形、中位線的判定與性質(zhì)、三角形全等、三角形相似、特殊角的三角函數(shù)值、多點(diǎn)共圓、直角三角形的判定、勾股定理.考查了基本的數(shù)學(xué)思想：方程思想、化歸思想.試題源于教材，高于教材，需要學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與解題能力，考查學(xué)生的“四基”掌握情況，考查學(xué)生的應(yīng)變能力與創(chuàng)新意識(shí).

3 解法簡(jiǎn)析

第（1）問(wèn)：

法1 因?yàn)锳BCD為矩形，

所以O(shè)A＝OC，由點(diǎn)的對(duì)稱的性質(zhì)得EA＝EA′，AA′⊥BD，

所以O(shè)E為△AA′C的中位線，

所以O(shè)E∥A′C，

所以∠AA′C＝∠AEO＝90°，

所以AA′⊥A′C.

法2 如圖4，連接A′O，利用對(duì)稱的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)證A′O＝OA＝OC，

所以點(diǎn)A′在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，AC為直徑，

所以∠AA′C＝90°，

所以AA′⊥A′C.

第（2）問(wèn)①：

法1 如圖5，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，證Rt△OHA≌Rt△OFC，得到OH＝OF，再證∠OAE＝∠OAB＝∠OCF，利用矩形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠OAE＝30°，利用銳角三角函數(shù)得到AA′＝3A′C.

法2 如圖5，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)FO與AB交于點(diǎn)H，證明AB為⊙O的切線，后面證法與法1相同.

第（2）問(wèn)②：

法1 如圖6，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CA′，垂足為點(diǎn)H，證Rt△OEA≌Rt△OHC，得到∠OAE＝∠OCH，得到∠CAA′＝45°，設(shè)OE＝x，在Rt△DAE中，AE2＋DE2＝AD2，即x2＋（2－x）2＝12，解得x2＝2+24，圓的面積為2+24π.

法2 如圖6，令⊙O與CA′相切于點(diǎn)H，連接OH，證Rt△OEA≌Rt△OHC，得到∠OAE＝∠OCH，得到∠CAA′＝45°，設(shè)OE＝x，在Rt△DAE中，AE2＋DE2＝AD2，即x2＋（2－x）2＝12，解得x2＝2+24，圓的面積為2+24π.

4 應(yīng)變能力培養(yǎng)建議

4.1 夯實(shí)“四基”，發(fā)展“四能”，以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”

“四基”與“四能”支撐數(shù)學(xué)教學(xué)的運(yùn)行機(jī)制，每一節(jié)課的運(yùn)行過(guò)程大體是這樣的：以真實(shí)世界中的問(wèn)題情境為基礎(chǔ)，沿著由“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題”架構(gòu)的教學(xué)路徑，逐步前行，在整個(gè)過(guò)程中，積累一些具體的知識(shí)、技能，衍生出一些一般性的想法（基本思想）和體驗(yàn)（基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）.

“四基”“四能”可以說(shuō)是落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的根基，是學(xué)生應(yīng)變能力形成的基礎(chǔ)，學(xué)生的核心素養(yǎng)得到提升，才能用“不變”的知識(shí)和能力應(yīng)對(duì)“變化萬(wàn)千”的現(xiàn)實(shí)世界.

4.2 注重變式教學(xué)，以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”

4.2.1 把握概念教學(xué)，對(duì)比概念之間的變化與聯(lián)系

對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)變能力的培養(yǎng)，可狠抓概念教學(xué)，促使學(xué)生理解透概念的本質(zhì)，能夠辨析不同概念之間的關(guān)聯(lián)，會(huì)對(duì)概念進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，把握概念之間的變與不變，弄清知識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的依據(jù).

例如 初中階段學(xué)過(guò)的基本函數(shù)有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，每一類函數(shù)是以結(jié)構(gòu)特征來(lái)表述其概念的，那么各函數(shù)概念的本質(zhì)區(qū)別是什么，研究函數(shù)的共同思路是什么，在這些共性中又有哪些變化，都需要帶領(lǐng)學(xué)生去明辨，只有把握好概念教學(xué)的本質(zhì)，形成知識(shí)脈絡(luò)，建構(gòu)知識(shí)體系，學(xué)生才能把握“變”與“不變”，提升自己的應(yīng)變能力.

4.2.2 掌握公式的活用、逆用、變用

數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，它將現(xiàn)實(shí)世界中的各個(gè)變量緊密地結(jié)合在一起，用符號(hào)對(duì)知識(shí)進(jìn)行概括，通過(guò)公式可以讓我們看到知識(shí)的基本規(guī)律.但部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)只是停留在對(duì)公式的簡(jiǎn)單記憶上，死記硬背套用公式的現(xiàn)象比比皆是，容易出現(xiàn)公式記錯(cuò)，運(yùn)用不夠靈活，逆向思維不足等問(wèn)題.

例如 學(xué)生在學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算時(shí)，對(duì)公式am·an＝am＋n只會(huì)直接套用，但是當(dāng)公式中的字母a變成一個(gè)多項(xiàng)式，或者將公式進(jìn)行逆向運(yùn)用時(shí)，這些死記硬背公式的學(xué)生將錯(cuò)誤百出.因此，教師在進(jìn)行公式教學(xué)時(shí)應(yīng)注重公式的推導(dǎo)、變形和逆用，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和應(yīng)變能力.

4.2.3 開(kāi)展變式教學(xué)，提升思維能力

學(xué)生容易出現(xiàn)思維定勢(shì)的主要原因是解題策略的單一性.因此，教師在開(kāi)展解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)注重變式教學(xué)，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和聚合思維.變式教學(xué)主要體現(xiàn)在教學(xué)時(shí)應(yīng)一題多解、多題歸一、一題多變.一題多解可以幫助學(xué)生多角度運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，經(jīng)過(guò)對(duì)一道題的反復(fù)思考、反復(fù)剖析，提升學(xué)生的發(fā)散思維；多題一解可以將同類型的題目進(jìn)行對(duì)比、分析，引導(dǎo)學(xué)生找到解題的規(guī)律，促使學(xué)生積極思考，在“變”中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法，多題歸一，培養(yǎng)學(xué)生的聚合思維；一題多變可以變條件、變結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的敏捷性和思維品質(zhì)，做好了變式教學(xué)，可以推動(dòng)學(xué)生以“不變”的解題能力應(yīng)對(duì)題目的“變化無(wú)?！?，促進(jìn)解題能力提升.

5 結(jié)語(yǔ)

總之，學(xué)生應(yīng)變能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過(guò)程，需要教師傾注自己的教育教學(xué)精力，樹(shù)立遠(yuǎn)大的教育教學(xué)情懷，不斷地優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力且能與時(shí)俱進(jìn)的人才.