【摘要】 正切值問題是平面幾何中難度較大的一類問題，考查學(xué)生對于正切函數(shù)基本概念的了解程度和相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用能力.本文旨在通過一道典型例題探討如何通過基本思路促進(jìn)學(xué)生對正切問題的理解和思考，提出相應(yīng)的解題建議，以期對讀者有所啟示.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；正切函數(shù)；解題思路

例題呈現(xiàn) 如圖1所示，已知OA⊥OB，C為OB的中點(diǎn)，D為OA上一點(diǎn)，且滿足AD∶AO∶OB=1∶n∶2n，連接AC，BD交于點(diǎn)P，求tan∠BPC的值.

問題分析

通過對問題的分析，可知以下基本結(jié)論：

①設(shè)AD=1，則AO=n，OD=n－1，CO=BC=n，可求出圖形中的任意一條線段的長度，從而為構(gòu)造直角利用正切的定義求解做好準(zhǔn)備.

②通過計(jì)算可得BP=AO，PD=DA，∠A=∠APD=∠BPC，從而實(shí)現(xiàn)等角代換.

視角1 基本方法之構(gòu)造直角

解法1 如圖2所示，過點(diǎn)C作CE∥BD，交AO于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC于點(diǎn)F.

設(shè)AD=1，

則AO=n，OB=2n.

因?yàn)镃是OB的中點(diǎn)，CE∥BD，

所以CO=n，E為OD的中點(diǎn).

所以在Rt△ACO中，

AC=OA2+OC2=n+n2，

所以AE=AD+DE=n+12，APAC=ADDE，

AP=2nn+1.

因?yàn)镽t△ADF∽Rt△ACO，

所以AFAO=DFOC=ADAC.

所以AF=nn+1，DF=1n+1，

PF=AP－AF=nn+1.

所以tan∠FPD=DFPF=1n+1nn+1=nn，

即tan∠BPC=nn.

評析 求一個銳角的正切值，最容易想到的就是構(gòu)造直角，從而利用正切值的定義求解.此解法構(gòu)造∠BPC的對頂角所在的直角三角形，也可以在圖2中過點(diǎn)E作EF⊥AC，構(gòu)造∠BPC的內(nèi)錯角∠PCE所在的Rt△CEF，也可以過點(diǎn)C作CN⊥BD，在Rt△CPN中利用定義求解.

解法2 如圖3所示，作BE∥AD，AE∥BD，BE，AE交于點(diǎn)E，連接CE.

設(shè)AD=1，AO=n，CO=n，

因?yàn)锽E∥AD，AE∥BD，

所以四邊形ADBE是平行四邊形，

所以BE=AD=1，BECO=BCAO=nn.

因?yàn)椤螩BE=∠AOC，

所以△BCE∽△OAC，

易得∠ACE=90°.

所以tan∠BPC=tan∠EAC=CEAC=BCAO=nn.

評析 此解法巧妙地構(gòu)造了“K”型相似，出現(xiàn)了Rt△ACE，∠BPC的正切值等于∠EAC的正切值CEAC，然后通過證明△BCE∽△OAC，將CEAC用BCAO來代替，計(jì)算量較小.

視角2 基本方法之等角代換

解法3 如圖4所示，取DO的中點(diǎn)M，

可得CM∥BD，

所以∠BPC=∠ACM.

令A(yù)D=1，AO=n，CO=BC=12BO=n，

則DM=MO=12DO=n－12，CM=OC2+OM2=n+12，

所以AM=AD+DM=n+12，CM=AM，∠BPC=∠ACM=∠A，

所以tan∠BPC=tan∠A=OCAO=nn.

評析 在求銳角三角函數(shù)的過程中，當(dāng)發(fā)現(xiàn)通過構(gòu)造垂直、利用定義求解較為麻煩時，“等角代換”就是一個常用的策略.此方法通過添加中位線，得到CM=AM，進(jìn)而得到∠BPC=∠ACM，∠ACM=∠A，然后進(jìn)行等角代換，得到了要求的∠BPC的正切值，從而得到∠A的正切值為COAO=nn.

解法4 如圖5所示，過點(diǎn)B作BG⊥BO，交AC的延長線于點(diǎn)G.

因?yàn)锳D∶AO∶CO∶BC=1∶n∶n∶n，

所以設(shè)AD=1，AO=n，CO=n，BC=n，

因?yàn)椤螦OB=90°，

由勾股定理可得BD=（n－1）2+（2n）2=n+1.

因?yàn)锽G⊥BO，AO⊥BO，

所以BG∥AO.

因?yàn)锽C=CO，

所以△ACO≌△GCB，△APD∽△GPB，

所以AO=BG=n，ADBG=DPBP=1n，

DPBD=1n+1.

因?yàn)锽D=n+1，

所以DP=AD=1.

所以tan∠BPC=tan∠APD=tan∠A=COAO=nn.

評析 此方法通過添加輔助線得到BG⊥BO，則可計(jì)算得PD=AD=1，所以tan∠BPC=tan∠A=COAO=nn.

結(jié)語

通過對上述解法的分析可知，解答正切值問題的關(guān)鍵在于合理利用三角函數(shù)的定義，從直接求解和間接轉(zhuǎn)化兩個角度分別進(jìn)行處理.在教學(xué)實(shí)踐中，教師要根據(jù)學(xué)生對知識的掌握情況，合理引導(dǎo)學(xué)生加深對知識的理解，從而建立相應(yīng)的知識體系.