【摘要】“一線三等角”模型是初中數(shù)學(xué)非常重要的一個模型，一次函數(shù)也是初中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，本文旨在一次函數(shù)背景下，通過“一線三等角”模型分析并解決問題，從而更好地滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，為培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】一線三等角；一次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)

1 引言

代數(shù)與幾何是中學(xué)里非常重要的知識，初中數(shù)學(xué)更是以二者為主，多地中考數(shù)學(xué)考試常出現(xiàn)以“一線三等角”模型解決問題的題目，這類題目既考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能，又考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的運用，還檢驗學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng)[1].

2 真題呈現(xiàn)

例1 （2022年安徽省中考試題填空題最后一題[2]）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G，連接DF，請完成下列問題：

（1）∠FDG=°；

（2）若DE=1，DF=22，則MN=.

上述真題是“一線三等角”模型在初中數(shù)學(xué)問題中一次精彩的應(yīng)用，教學(xué)中，及時歸納如“一線三等角”等數(shù)學(xué)模型，注重培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，有利于增強學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].

3 模型提取

類型1 同側(cè)一線三等角

點P在線段AB上，∠1=∠2=∠3，圖2中的三等角為銳角，圖3中的三等角為直角，圖4中的三等角為鈍角.

類型2 異側(cè)一線三等角

點P在線段AB的延長線上，∠1=∠2=∠3，其中∠1，∠2居于直線AB的兩邊，∠3為∠CPD，圖5中的三等角為銳角，圖6中的三等角為直角，圖7中的三等角為鈍角.

上述每一個圖形中都可以證得△CAP∽△PBD.若由一般到特殊，在已知條件中添加任意一組對應(yīng)邊相等，可證得△CAP≌△PBD.

4 模型應(yīng)用

“一線三等角”模型有廣泛的應(yīng)用，可以結(jié)合全等、相似、圖形變換、動態(tài)問題、函數(shù)等知識點進(jìn)行考查.其中挖掘三等角是難點，題目往往將“等角”隱藏[4].本文主要以一次函數(shù)為背景，分類探究當(dāng)模型中相等的三個角分別為直角、銳角和鈍角時，如何應(yīng)用模型解決問題.

4.1 一線三等直角的應(yīng)用

例2 如圖8，已知一次函數(shù)y1=3x+3，另一個一次函數(shù)y2=kx+b（k≠0）經(jīng)過點A（－1，0），請解決下列問題：

（1）若y1，y2的圖象成90°，求y2的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若y1，y2的圖象成45°，求y2的函數(shù)表達(dá)式；

（3）若y1，y2的圖象成30°，求y2的函數(shù)表達(dá)式；

（4）若y1，y2的圖象成60°，求y2的函數(shù)表達(dá)式.

分析 通過審題發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)y2=kx+b（k≠0）經(jīng)過點A（－1，0），只需要求出另外一個點的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法聯(lián)立方程組求出表達(dá)式，因此關(guān)鍵是如何求出另外這個點的坐標(biāo).此時可以考慮作輔助線構(gòu)造一線三等直角的模型解決問題.

第一問，如圖9，過點A作直線AB的垂線，該垂線與y軸交于點C，可以發(fā)現(xiàn)△AOC∽△BOA，從而利用相似比求出點C的坐標(biāo).此解法對應(yīng)圖6中的模型.當(dāng)然也可以考慮參考圖3中的模型作相應(yīng)的輔助線，求出直線上某一點的坐標(biāo)再進(jìn)行求解.

第二問，考慮到一直線與已知直線的夾角成45°有兩種情況，需要分類討論.

情形1：如圖10，過點B作直線AB的垂線，與y2交于點C；過點B作y軸的垂線，再分別過點A、C向該垂線作垂線，分別交于點M和點N，可以發(fā)現(xiàn)△AMB≌△BNC，從而求出點C的坐標(biāo)，進(jìn)一步可以求出y2的函數(shù)表達(dá)式.

情形2：如圖11，過點B作直線AB的垂線，與y2交于點C；過點C向y軸作垂線，交于點M，可以發(fā)現(xiàn)△AOB≌△BMC，從而求出點C的坐標(biāo)，進(jìn)一步可以求出y2的函數(shù)表達(dá)式.兩種情形的解法都對應(yīng)圖3中的模型.

第三問、第四問類比第二問，依然需要分類討論，但各需排除一種與坐標(biāo)軸垂直的情況，利用三角形的相似性來求出點C的坐標(biāo)，進(jìn)一步可以求出y2的函數(shù)表達(dá)式.

上述例題中，要求的一次函數(shù)是經(jīng)過已知的一次函數(shù)上的某一點，如果考慮要求的一次函數(shù)，經(jīng)過的不是已知一次函數(shù)上的某一點，該怎么解決呢？

例3 已知一次函數(shù)y1=3x+3，另一個一次函數(shù)y2=kx+b（k≠0）經(jīng)過點C（m，n），點C不在y1上，考慮例1中的四種情況，分別求出相應(yīng)的一次函數(shù)y2的函數(shù)表達(dá)式.

分析 雖然未知的一次函數(shù)經(jīng)過的是已知直線外的一點，但是仍然可以先考慮經(jīng)過點A的情形（當(dāng)然也可以是已知直線上任意一點），再根據(jù)已知的點C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出b的值.這種轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)常在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中用到.

4.2 一線三等銳角的應(yīng)用

例4 如圖12，已知△AOB為等邊三角形，點C和點D分別在線段OA和線段AB上， 將△ACD沿直線CD翻折，使點A落在線段OB上于點E，△OCE和△BDE的面積分別是S1和S2，若S1∶S2=4∶9，OB=6，求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.

分析 由題意可知解題的關(guān)鍵是求出點C和點D的坐標(biāo).通過審題判斷含有如圖2中的一線三等角模型，可知△OCE∽△BED，由S1∶S2=4∶9可知相似比為2∶3，從而可以設(shè)未知數(shù)求解.不妨設(shè)BE的長為3x，由相似比以及△AOB為等邊三角形可以分別表示出OE、OC、CA、CE、BD、DA、DE，從而求出線段OC和線段BD的長，再利用△AOB為等邊三角形，∠B=∠AOB=60°，分別過點C和點D向x軸作垂線可以構(gòu)造兩個含有60°內(nèi)角的直角三角形，進(jìn)而可以求出點C和點D的坐標(biāo)，從而可求出直線CD的函數(shù)表達(dá)式.

4.3 一線三等鈍角的應(yīng)用

例5 如圖13，已知四邊形ABCD為等腰梯形，∠D=60°，點O和點E分別在線段BC和線段DC上，∠AOE=120°，OB∶OC=2∶1，BC=BA=6，求線段OE所在直線的函數(shù)表達(dá)式.

分析 由題意可知解題的關(guān)鍵是求出點E的坐標(biāo)，通過審題判斷含有如圖4中一線三等角模型，可知△ABO∽△OCE，利用相似比可以求出CE的長，再利用∠D=60°，可知過點E向x軸作垂線可以構(gòu)造一個含有60°內(nèi)角的直角三角形，進(jìn)而求出點E的坐標(biāo)，從而求出直線OE的函數(shù)表達(dá)式.

5 結(jié)語

通過上述問題的探究，我們可以感受到一線三等角模型在一次函數(shù)背景下應(yīng)用的廣泛性.用該模型考驗學(xué)生可以很好地滲透幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng).本文只是以一次函數(shù)為背景，對一線三等角模型的應(yīng)用進(jìn)行了探究，各位讀者也可以從其他角度進(jìn)一步進(jìn)行思考.

【基金項目：泰州學(xué)院課程思政示范課程建設(shè)項目“運籌與優(yōu)化”（20KCSZ09）】

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

[2]劉敏.巧用“一線三等角”模型 突破幾何壓軸難題[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（22）：60-61+64．

[3]曹喜榮．“一線三等角”問題的探究和拓展——以2022年中考數(shù)學(xué)安徽卷第14題為例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2023（03）：55-56．

[4]劉玲．正方形背景下“一線三等角”模型的探究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（12）：34-36．