【摘要】 二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，不僅在函數(shù)與方程的知識體系中具有核心地位，更在解決各類實際問題中發(fā)揮著重要作用.因此，理解和掌握二次函數(shù)的解題方法和技巧，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和解題水平至關(guān)重要.本文主要圍繞初中數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)解析式，探討和分析多種解題方法和技巧.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題方法

初中數(shù)學(xué)作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，不僅涵蓋了數(shù)學(xué)的基本概念和原理，還為學(xué)生提供了豐富的解題方法和技巧.其中，二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其解析式的求解更是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要方面.本文將以二次函數(shù)解析式為例，探討初中數(shù)學(xué)解題方法與技巧，以此為學(xué)生提供有效的學(xué)習(xí)指導(dǎo).

1 二次函數(shù)解析式概述

二次函數(shù)是形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)，其中a，b，c為常數(shù)，且a不等于0.二次函數(shù)的解析式求解是初中數(shù)學(xué)的重要知識點，也是中考數(shù)學(xué)的常見題型.通過求解二次函數(shù)的解析式，可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用.

2 二次函數(shù)解析式的求解方法

2.1 一般式法

一般式法是最常見的求解二次函數(shù)解析式的方法.當(dāng)題目給出拋物線上任意三個點的坐標(biāo)時，可以設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），然后將這三個點的坐標(biāo)代入方程，求出a，b，c的值，從而得到二次函數(shù)的解析式.

例1 已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（2，－4），B（0，2），C（－1，2）三點，求這個二次函數(shù)的解析式.

解析 設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，

因為B（0，2）在函數(shù)圖象上，

所以c=2，

所以y=ax2+bx+2.

因為A（2，－4），C（－1，2）兩點在函數(shù)圖象上，

所以－4=4a+2b+2，2=a－b+2，

解得a=－1，b=－1，

所以函數(shù)的解析式為：y=－x2－x+2.

2.2 頂點式法

當(dāng)題目給出拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時，可以采用頂點式法求解二次函數(shù)的解析式.頂點式y(tǒng)=a（x－h(huán)）2+k（a≠0）中，（h，k）為拋物線的頂點坐標(biāo).已知頂點坐標(biāo)（h，k）或最值k，對稱軸方程x=h后，只需要再代入一個點的坐標(biāo)求出a的值即可.

例2 已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，－3），且當(dāng)x=3時有最大值4，試求出這個二次函數(shù)的解析式.

解析 此例題可采用待定系數(shù)法中的一般式法和頂點式法兩種方法進(jìn)行解題，因知曉其最值，將采用頂點式法進(jìn)行解答.

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x－h(huán)）2+k（a≠0），

因為當(dāng)x=3時，y取最大值4，所以頂點坐標(biāo)為（3，4），

所以h=3，k=4，

所以二次函數(shù)解析式為：y=a（x－3）2+4，

即a（4－3）2+4=－3，得出a=－7，

所以y=－7（x－3）2+4=－7x2+42x－59，

故二次函數(shù)的解析式為y=－7x2+42x－59.

2.3 交點式法

當(dāng)題目給出拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)時，可以采用交點式法求解二次函數(shù)的解析式.交點式y(tǒng)=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）中，x1，x2分別為拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo).已知兩個交點的橫坐標(biāo)后，只需要再代入一個點的坐標(biāo)求出a的值即可.

當(dāng)知道拋物線與x軸的交點坐標(biāo)、對稱軸方程或頂點的橫坐標(biāo)時選用交點式解題比較方便.

（1）當(dāng)Δ=b2－4ac≥0，拋物線與x軸相交，y=ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2）.

當(dāng)Δ=b2－4ac>0，有兩個交點，分別是（x1，0）和（x2，0）；

當(dāng)Δ=b2－4ac=0，只有一個交點，

即頂點－b2a，4ac－b24a.

（2）當(dāng)Δ=b2－4ac<0時，方程ax2+bx+c=0無解，二次三項式ax2+bx+c不能分解，拋物線與x軸不相交.

（3）若拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，那么對稱軸方程為：x=x1+x22.

例3 已知拋物線與x軸的交點為（－1，0），（3，0），函數(shù)的最大值為4.

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）求拋物線的解析式.

解析 （1）依題意，設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x－3），

所以y=a（x2－2x－3）=a（x2－2x+1－4）=a（x－1）2－4a，

所以拋物線的對稱軸為x=1.

（2）因為函數(shù)的最大值為4，

所以－4a=4，a=－1，

所以拋物線的解析式為y=－（x2－2x－3）=－x2+2x+3.

例4 二次函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，4），（－1，0）和（3，0）三點，求該二次函數(shù)的解析式.

解析 這一例題將采用以上三種不同解題方法進(jìn)行解題，以便于加深理解，幫助學(xué)生更好地理解與掌握二次函數(shù)解析式的解題思路.

解法1 一般式法

設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c，

由題意可知a+b+c=4，a－b+c=0，9a+3b+c=0，

解得a=－1，b=2，c=3，

故此二次函數(shù)解析式為y=－x2+2x+3.

解法2 頂點式法

因為拋物線與x軸相交于兩點（－1，0）和（3，0），所以點（1，4）為拋物線的頂點，

由題意設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x－h(huán)）2+k，

即y=a（x－1）2+4，

因為拋物線過點（－1，0），

所以a=－1，

所以該二次函數(shù)的解析式為y=－（x－1）2+4=－x2+2x+3.

解法3 交點式法

由題意可知拋物線與X軸的交點坐標(biāo)為（-1，0），（3，0）.

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x－x1）（x－x2），

則有y=a（x+1）（x－3），

因為函數(shù)圖象過點（1，4），解得a=－1，

所以該二次函數(shù)的解析式為y=－（x+1）（x－3）=－x2+2x+3.

3 結(jié)語

通過對求解二次函數(shù)解析式的方法與技巧的研究，有助于提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)思維能力.同時，本文也可以為初中數(shù)學(xué)教師提供教學(xué)參考和指導(dǎo)，促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的改進(jìn)和發(fā)展，具有一定的實踐意義和應(yīng)用價值.

參考文獻(xiàn)：

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