【摘要】在初中數(shù)學(xué)中，求解陰影部分面積是一個常見且重要的題型．它不僅考查學(xué)生對基本圖形的認(rèn)識和面積公式的掌握，還要求學(xué)生具備靈活運用數(shù)學(xué)知識、轉(zhuǎn)化問題和創(chuàng)新思維的能力．本文通過實例詳細(xì)探討幾種常見的求解陰影部分面積的方法，包括直接公式法、和差法、割補法，旨在幫助學(xué)生掌握解題技巧，提高解題能力．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；陰影面積；解題方法

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，圖形面積的計算是一個重要的組成部分．而陰影部分面積的求解問題，因其題型多樣、解法靈活，常常成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，掌握有效的求解方法，不僅能夠幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績，更能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和邏輯思維能力．

1 直接公式法

對于一些規(guī)則的圖形，如三角形、矩形、圓形等，其陰影部分面積可以直接利用相應(yīng)的面積公式進(jìn)行計算．

例1 如圖1，AB是半圓的直徑，點C在直徑上，以C為圓心、CA為半徑向內(nèi)作直角扇形，再以D為圓心、DC為半徑向內(nèi)作直角扇形，使點E剛好落到半圓上，若AB=10，則陰影部分的面積為（ ）

（A）16π. （B）12π. （C）8π. （D）4π.

解析 如圖2，過點E作EF⊥AB于點F，連接AE、BE.

因為AB是半圓的直徑，

所以∠AEB=90°，即∠EAB+∠EBA=90°.

因為EF⊥AB，

所以∠AFE=∠EFB=90°，

所以∠EAB+∠AEF=90°，

所以∠EBA=∠AEF，△EBF∽△AEF.

所以AFEF=EFBF，即EF2=AF·BF.

設(shè)AC=x，

因為EF⊥AB，且由作圖可知陰影部分是兩個半徑相等的半圓.

所以四邊形DCFE是正方形，

所以CD=DE=EF=CF=AC=x，

所以AF=2x，

所以BF=10－2x，

所以x2=2x10－2x，

所以x1=0（舍去），x2=4，

所以S陰影=2×90×π×42360=8π.

故選（C）．

點評 本題考查了相似三角形和求解扇形的面積相關(guān)方面的知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．過點E作EF⊥AB于點F，連接AE、BE，利用相似三角形的性質(zhì)列方程即可求出AC的值，再利用扇形的面積公式計算即可．

2 和差法

當(dāng)陰影部分是由幾個基本圖形的和或差組成時，可以將其面積分別計算，然后相加或相減．

例2 如圖3，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是 ．

解析 連接CD，如圖4.

因為以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，

所以CD⊥AB.

因為△ACB為等腰直角三角形，

所以CD=AD=BD=12AB．

因為AB=2AC=2·2=2，

所以CD=1.

所以S陰影=S△ABC－S扇形CEF

=12BC·AC－90π×12360

=12×2×2－π4

=1－π4．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)定理，扇形、三角形的面積等知識點，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．連接CD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得扇形的半徑，再利用S陰影=S△ABC－S扇形CEF即可解答．

3 割補法

將不規(guī)則的陰影部分通過割補的方式轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，從而便于計算面積．

例3 如圖5，在矩形ABCD中，AB=1，以點A為圓心，矩形的長AD為半徑畫弧，交BC于點E，交AB的延長線于點F，若AE恰好平分∠BAD，則陰影部分的面積為（ ）

（A）1. （B）π－2－12.

（C）22+π4. （D）2－1.

解析 因為四邊形ABCD為矩形，

所以∠BAD=∠ABC=90°．

因為AE恰好平分∠BAD，

所以∠BAE=∠EAD=12∠BAD=45°，

所以AB=BE=1，

所以AE=AB2+BE2=2，

所以S扇形AEF=45π·AE2360=14π.

S△ABE=12AB·BE=12，

所以S陰影BEF=S扇形AEF－S△ABE=π4－12.

由題意可知AD=AE=2，

所以S矩形ABCD=AB·AD=2，

S扇形ADE=45π·AE2360=14π，

所以S陰影DCE=S矩形ABCD－S扇形ADE-S△ABE=2－π4－12，

所以S陰影=S陰影BEF+S陰影DCE=2－1．

故選（D）．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積計算等知識．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．

4 結(jié)語

綜上所述，求解初中數(shù)學(xué)中陰影部分的面積問題，需要學(xué)生熟練掌握基本圖形的面積公式，靈活運用各種解題方法，并通過大量的練習(xí)提高解題能力．在實際解題過程中，要認(rèn)真觀察圖形的特點，分析陰影部分與已知圖形之間的關(guān)系，選擇合適的方法進(jìn)行求解．同時，要注意計算的準(zhǔn)確性，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣．相信通過不斷地學(xué)習(xí)和積累，學(xué)生在解決這類問題時會更加得心應(yīng)手，數(shù)學(xué)思維能力也會得到進(jìn)一步的提升．

參考文獻(xiàn)：

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