【摘要】求解陰影部分的面積問題，是近幾年的一個(gè)新的熱點(diǎn).有的題目圖形比較規(guī)則，可以借助扇形與三角形等基礎(chǔ)知識(shí)解決.有些題目所求陰影圖形不規(guī)則，而且設(shè)計(jì)巧妙，且有較高的綜合性，難于直接求解，需要對問題的條件、結(jié)論和圖形進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)換，巧妙地將所求陰影部分的圖形轉(zhuǎn)化為易于求解的規(guī)則圖形.

【關(guān)鍵詞】圓；陰影面積；解題方法

圓是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考必考的熱點(diǎn).翻開各地的中考試題，發(fā)現(xiàn)近幾年中考數(shù)學(xué)對圓中陰影部分的面積這一知識(shí)點(diǎn)情有獨(dú)鐘.本文對圓中陰影部分面積的求法舉例剖析，拋磚引玉.

1 等積轉(zhuǎn)化法

例1 （2024·威海·中考）如圖1，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)．過點(diǎn)C作CE⊥AO交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作ED⊥OB，垂足為點(diǎn)D．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在陰影部分的概率是（ ）

（A）14. （B）13. （C）12. （D）23.

分析 本題考查的是不規(guī)則圖形的面積，幾何概率根據(jù)陰影部分面積等于扇形OBE的面積，即可求解．

詳解 因?yàn)椤螦OB=90°，

CE⊥AO，ED⊥OB，

所以四邊形OCDE是矩形，

所以S△OCE=S△ODE，

所以S陰影部分=S△ODE+SBDE=S扇形OBE.

因?yàn)辄c(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，

所以O(shè)C=12OE=DE，

所以sin∠EOD=EDOE=12，

所以∠EOD=30°，

所以S陰影部分=S△ODE+SBDE=S扇形OBE=30π×AO2360=π×AO212，

S扇形AOB=90π×AO2360=π×AO24，

點(diǎn)P落在陰影部分的概率是：

S陰影部分S扇形AOB=π×AO212π×AO24=13，

故選（B）．

2 圖形變換法

例2 （2024·資陽·中考）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2．以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧交AB于點(diǎn)E，再以AB為直徑作半圓，與DE交于點(diǎn)F，則圖2中陰影部分的面積為．

分析 本題考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、扇形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求陰影部分的面積．

如圖3，設(shè)弓形AmF，連接AF，F(xiàn)E，由題意知AE=AF=FE=2，即△AFE為等邊三角形，∠FAE=∠FEA=60°，即可得出陰影部分面積為S陰=S半圓－S扇形DFE－S弓形AmF，代入數(shù)值即可求出結(jié)果．

詳解 因?yàn)橐渣c(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧交AB于點(diǎn)E，

AB=4，AD=2，

所以AE=AD=BE=2，

所以以AB為直徑作半圓時(shí)，圓心為點(diǎn)E，

設(shè)弓形AmF，連接AF，F(xiàn)E，

即AE=AF=FE=2.

所以△AFE為等邊三角形，

所以∠FAE=∠FEA=60°，

故陰影部分面積為：

S陰=S半圓－S扇形DFE－S弓形AmF，

代入數(shù)值可得S陰=12×2×2π－60π×22360－60π×22360－34×22=3+23π，

故答案為3+23π．

3 容斥法

例3 （2024·泰安·中考）兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖4方式放置，半圓O′的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓O的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（ ）

（A）43π－3. （B）43π.

（C）23π－3. （D）43π－34.

分析 仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)扇形面積的和，比陰影部分的面積多出一個(gè)等邊三角形的面積．

解 如圖5，連接OA，O′A．因?yàn)镺A=O′A=OO′=2，

所以△OAO′為等邊三角形，

所以S△OAO′=34×22=3．

因?yàn)镾扇形AOO′=S扇形AO′O=60π×23602=2π3，

所以S陰影=S扇形AOO′+S扇形AO′O－S△OAO′=2π3×2－3=43π－3．

故選（A）．

點(diǎn)評 容斥法是把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù).當(dāng)組成整體圖形的局部圖形面積疊合在一起而比整體圖形面積大時(shí)，可考慮用容斥法．

4 構(gòu)造方程組法

例4 如圖6，正方形的邊長為a，分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑，在正方形內(nèi)畫圓弧.那么，這四條弧所圍成陰影部分的面積是多少？

分析 如圖6中含有形狀不同的三類圖形，分別用x，y，z表示圖中曲邊形的面積，則由圖形的對稱性可得方程組.

解 如圖6所示.設(shè)x，y，z，

則x+4y+4z=a2①，x+3y+2z=π4a2②，x+2y+z=π3－34a2③.

其中①為正方形的面積，②為圓心角為90°的扇形面積，③為邊長BC，CE，BE圍成的圖形的面積，

陰影部分的面積等于兩倍的圓心角為60°的扇形面積減去正三角形BCE的面積.

①+③－②×2，

得z=1－34－π6a2，

再將其代入式子①和②中得到關(guān)于x，y的二元一次方程組，然后解得x=1－3+π3a2.即為陰影部分的面積.