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反比例函數(shù)與幾何綜合問題探析

2024-12-21 00:00:00呂順(江蘇省如皋市磨頭鎮(zhèn)磨頭初級中學226500)
數(shù)理天地(初中版) 2024年23期

【摘要】反比例函數(shù)是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一,與幾何知識的綜合問題具有較高的難度和綜合性.本文通過具體實例進行詳細分析,旨在幫助學生更好地理解和掌握反比例函數(shù)與幾何綜合問題的解題思路,提高學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)和解決問題的能力.

【關鍵詞】反比例函數(shù);初中數(shù)學;解題方法

反比例函數(shù)與幾何綜合問題不僅考查學生對反比例函數(shù)和幾何知識的掌握程度,還考查學生的綜合分析能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力.因此,深入研究反比例函數(shù)與幾何綜合問題具有重要的現(xiàn)實意義.

1 已知反比例函數(shù)圖象和三角形面積求解參數(shù)

例1 如圖1,點A,B在反比例函數(shù)y=1xx>0的圖象上,點C,D在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上,AC∥BD∥y軸,已知點A,B的橫坐標分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為3.求k的值.

解析 如圖2,過點A,B作X軸的垂線,垂足分別為點M,N,因為點A,B在反比例函數(shù)y=1xx>0的圖象上,點A,B的橫坐標分別為1,2,

所以A1,1,B2,12.

因為AC∥BD∥y軸,

所以C1,k,D2,k2,

因為△OAC與△ABD的面積之和為3,

所以S△OAC=S△COM-S△AOM=12×k-12×1×1=k2-12,S△ABD=S梯形AMND-S梯形AMNB=121+k2×1-12×1+12×1=k-14,

所以k2-12+k-14=3,

解得k=5.

點評 本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、k的幾何意義等知識點,用k表示出相關圖形的面積是解題的關鍵.過點A,B作X軸的

垂線,再表示出A、B、C、D四個點的坐標后,將面積進行轉(zhuǎn)換S△OAC=S△COM-S△AOM,S△ABD=S梯形AMND-S梯形AMNB,進而求解即可.

2 已知反比例函數(shù)和長度比值求解參數(shù)

例2 如圖3,在平面直角坐標系中,點C1,0在線段AB上,點A的橫坐標為-1,且ACBC=23.若函數(shù)y=-2xx<0和y=kxx>0的圖象分別經(jīng)過A,B兩點,求點A的坐標和k的值.

解析 如圖4,分別過點A、B作AD⊥x軸于點D,BE⊥x軸于點E,則AD∥BE,

所以△ADC∽△BEC,

所以ADBE=CDCE=ACBC=23,

因為點A的橫坐標為-1,

反比例函數(shù)y=-2x(x<0)經(jīng)過點A,

所以點A的坐標為-1,2,

又因為C1,0,

所以AD=2,CD=2,

所以2BE=2CE=23,

得BE=3,CE=3,

所以點B的坐標為4,-3,

因為y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過點B,

所以k=4×-3=-12.

點評 本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形等知識點,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答的關鍵.本題中,分別過點A、B作AD⊥x軸于點D,BE⊥x軸于點E,則AD∥BE,根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求出點A的坐標,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)以及坐標與圖形求得CE和BE,即可求出點B的坐標.

3 已知反比例函數(shù)求解三角形面積

例3 如圖5,在平面直角坐標系中,已知函數(shù)y1=6xx>0,y2=-2xx<0, 點 M 在y 軸的正半軸上,點N在x軸上,過點 M作y 軸的垂線分別交函數(shù)y1,y2的圖象于A,B兩點,連接AN,BN,則△ABN的面積為 .

解析 過點A,B作x軸的垂線,垂足分別為點G,H,如圖6,

因為AB⊥y軸,

所以AB∥x軸,

因為BH⊥x軸,AG⊥x軸,

所以BH∥AG,

所以四邊形BHGA,四邊形BHOM,四邊形MOGA都為矩形,

因為y1=6xx>0,y2=-2xx<0,

所以S矩形BHOM=2,S矩形MOGA=6,

所以S矩形BHGA=S矩形BHOM+S矩形MOGA=8,

所以S△ABN=12S矩形BHGA=4.

點評 本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義及反比例函數(shù)與幾何的綜合問題.過點A,B作x軸的垂線,垂足分別為點G,H,易得四邊形BHGA,四邊形BHOM,四邊形MOGA都為矩形,則S矩形BHOM=2,S矩形MOGA=6,進而得出S矩形BHGA=S矩形BHOM+S矩形MOGA=8,最后根據(jù)S△ABN=12S矩形BHGA即可得出問題答案.

4 結語

反比例函數(shù)與幾何綜合問題是中學數(shù)學中的重要內(nèi)容,具有較高的難度和綜合性.通過對反比例函數(shù)的基本性質(zhì)、反比例函數(shù)與幾何綜合問題的類型、解題方法和策略的分析,可以看出解決這類問題需要學生熟練掌握反比例函數(shù)和幾何知識,靈活運用各種解題方法和策略.在教學中,教師應注重培養(yǎng)學生的綜合分析能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力,引導學生多思考、多總結,提高學生解決反比例函數(shù)與幾何綜合問題的能力.

參考文獻:

[1]劉曉娟.反比例函數(shù)的幾何綜合問題專練[J].現(xiàn)代中學生(初中版),2022(20):37-38.

[2]段衛(wèi)華.反比例函數(shù)+幾何問題例說[J].數(shù)理天地(初中版),2019(07):18-19.

[3]黃晴,賈建寧.巧用平面幾何知識來解反比例函數(shù)的綜合問題[J].數(shù)學之友,2023,37(02):62-63.

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