摘 要：該文研究一類基于產(chǎn)品差異化和有限理性的Stackelberg雙寡頭博弈模型的余維1分岔問題。在一定的參數(shù)條件下，分別以兩家公司的調(diào)整速度為分岔參數(shù)，利用中心流形定理和分岔理論證明該系統(tǒng)在唯一正Nash平衡點處發(fā)生Flip分岔，并利用分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)圖和相圖分析該模型的復(fù)雜動力學(xué)行為。

關(guān)鍵詞：Stackelberg模型；Flip分岔；混沌；穩(wěn)定域

中圖分類號：O175 文獻標(biāo)識碼：A

0" " 引言

寡頭壟斷是一種介于壟斷和完全競爭之間的市場結(jié)構(gòu)，其特征是市場上只有少數(shù)幾家公司生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品［1］。寡頭壟斷博弈的動態(tài)更加復(fù)雜，因為企業(yè)不僅要考慮消費者的行為，還要考慮競爭對手的反應(yīng)［2］。隨著混沌理論、分岔理論以及計算機數(shù)值仿真技術(shù)等的不斷發(fā)展，混沌和分岔理論可作為研究寡頭壟斷產(chǎn)業(yè)之間博弈行為的關(guān)鍵分析工具，用以探究參數(shù)變化引起的豐富動力學(xué)現(xiàn)象，為實際市場確定生產(chǎn)量和價格提供理論指導(dǎo)，幫助公司作出穩(wěn)定發(fā)展或達到預(yù)期狀態(tài)的決策，以使公司利潤最大化。1838年法國經(jīng)濟學(xué)家Cournot［3］提出的模型常被描述為寡頭理論研究的基礎(chǔ)，在該模型中兩家處于競爭狀態(tài)的公司都通過自己的產(chǎn)出水平來爭奪市場份額。Cournot模型在數(shù)理經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用取得了大量重要成果，例如Bischi等 ［4］提出一個動態(tài)的Cournot雙寡頭壟斷模型，描述兩家具有有限理性的公司，并揭示了參數(shù)變化超過閾值會導(dǎo)致循環(huán)和混沌。Ding等［5］提出一個具有有限理性的兩家公司進行投資博弈的動態(tài)系統(tǒng)，詳細(xì)分析了系統(tǒng)演化的復(fù)雜行為。

1934年德國經(jīng)濟學(xué)家Stackelberg提出一個關(guān)于數(shù)量的博弈模型（參見文獻［6］），該模型根據(jù)其不對稱的社會地位被區(qū)分為領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者，并且具有兩個階段：決策階段和生產(chǎn)階段，領(lǐng)導(dǎo)者公司先作出決策，為了獲得最大利益，追隨者公司更傾向于在領(lǐng)導(dǎo)者公司之后制定生產(chǎn)策略。在Stackelberg模型中，領(lǐng)導(dǎo)者公司比起追隨者公司占據(jù)更多的優(yōu)勢，在生產(chǎn)決策時愿意考慮追隨者的期望。這種博弈的動態(tài)行為可以通過相應(yīng)的離散系統(tǒng)來描述［7-9］。Yang等［10］研究了具有有限理性參與者的Stackelberg雙寡頭博弈模型的復(fù)雜動力學(xué)問題，分析具有邊際成本的非線性Stackelberg模型的時間演化。陸媛媛等［11］則是基于直播行業(yè)，構(gòu)建由多個品牌方與一個主播組成的Stackelberg博弈模型，預(yù)估各博弈方的最大利潤，分析各因素對最優(yōu)決策、最大利潤的影響。Askar［12］介紹了一種基于產(chǎn)品差異化的Stackelberg雙寡頭博弈模型，并且對分岔和混沌現(xiàn)象進行了數(shù)值模擬，應(yīng)用反饋控制方案來抑制和克服存在的混沌現(xiàn)象。

Xiao等［13］考慮了一類以產(chǎn)品差異化和有限理性公司為特征的Stackelberg雙寡頭博弈模型，領(lǐng)導(dǎo)者公司和追隨者公司在離散時間，通過與局部邊際利潤估計有關(guān)的調(diào)整機制來升級數(shù)量策略，每家公司的價格函數(shù)由差異化程度和實際產(chǎn)量來表示。假設(shè)市場上有兩家地位不對稱的公司，其中一家是Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者公司，另一家是Stackelberg追隨者公司，雙方都采用有限理性期望。追隨者公司知道領(lǐng)導(dǎo)者公司的生產(chǎn)決策的最優(yōu)響應(yīng)函數(shù)，而領(lǐng)導(dǎo)者公司不再需要追隨者公司的生產(chǎn)決策的相應(yīng)響應(yīng)函數(shù)。為了獲得更大的盈利，追隨者公司傾向于在領(lǐng)導(dǎo)者之后制定生產(chǎn)策略。設(shè)[x]和[y]分別是公司1和公司2的產(chǎn)量，則基于產(chǎn)品差異化和有限理性下的系統(tǒng)為

[xn+1=xn+θ1xn（K-（2-b2）xn），" " " " yn+1=yn+θ2yna-c2-bxn-2yn。" "]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（1）

式中[a]是正參數(shù)，表示市場規(guī)模；[b]（[0lt;blt;1]）是產(chǎn)品差異化的程度；[ci（0lt;cilt;a， i=1， 2）]是邊際成本；[θigt;0]代表公司[i]的調(diào)整速度[（i=1， 2）]；[K=2a-c1-ba-c22]。

對于系統(tǒng)（1）的余維1分岔現(xiàn)象，本文將按如下步驟展開研究：第1節(jié)討論系統(tǒng)（1）的四個平衡點的存在性和穩(wěn)定性。第2節(jié)分別以兩個公司的調(diào)整速度作為分岔參數(shù)，利用中心流形定理和分岔理論，證明系統(tǒng)（1）在其唯一的正Nash平衡點發(fā)生Flip分岔并出現(xiàn)穩(wěn)定的倍周期軌。第3節(jié)通過最大Lyapunov指數(shù)圖、分岔圖、相圖和時間序列圖，詳細(xì)描繪系統(tǒng)（1）經(jīng)歷flip分岔并逐步進入混沌狀態(tài)的整個過程，并進一步分析系統(tǒng)（1）在一定的參數(shù)條件下，對公司的調(diào)整速度進行微小調(diào)整可能引發(fā)公司產(chǎn)量的大幅波動；第4節(jié)對全文內(nèi)容作出總結(jié)。

1" " 平衡點的存在性和穩(wěn)定性

本節(jié)將通過分析系統(tǒng)（1）的平衡點來判斷市場狀態(tài)。系統(tǒng)（1）的平凡平衡點表示兩家公司均破產(chǎn)并退出市場；邊界平衡點表示一家公司破產(chǎn)，另一家公司成為市場上唯一的寡頭壟斷；Nash平衡點表示兩家公司在博弈過程中達到暫時的平衡狀態(tài)。

通過計算可知系統(tǒng)（1）有4個平衡點：平凡平衡點[E0=（0， 0）]，邊界平衡點[E1=（0， a-c22）]和 [E2=（K2-b2， 0）]，Nash平衡點[E?=（x?， y?）]，其中

[x?=K2-b2]，[" "y?=2-b2a-c2-bK22-b2]。

于是系統(tǒng)（1）存在正Nash平衡點的條件為：[Kgt;0]，[2-b2a-c2-bKgt;0]。該條件等價于[a， b， c1， c2]屬于集合

[S1=a， b， c1， c2" "b2lt;a-c1a-c2lt;4-b22b]。

系統(tǒng)（1）在其任意平衡點[Ex， y]處的Jacobi矩陣分別為

[JE=1+θ1K-22-b2x0-bθ2y1+θ2a-c2-bx-4y]。

命題 1 系統(tǒng)（1）的平衡點[E0]，[E1]和[E2]的類型分別如下：

1） 若[-2θ1lt;Klt;0]，則[E0]是鞍點；若[Kgt;0]或[Klt;-2θ1]，則[E0]是源點；若[K=0]或[-2θ1]，則[E0]是非雙曲的。

2） 若[-2θ1lt;Klt;0]，[θ2lt;2a-c2]，則[E1]是匯點；若[Kgt;0]或[Klt;-2θ1]，[θ2gt;2a-c2]，則[E1]是源點；若[-2θ1lt;Klt;0]，[θ2gt;2a-c2]，則[E1]是鞍點；若[Kgt;0]或[Klt;-2θ1]，[θ2lt;2a-c2]，則[E1]是鞍點；若[K=0]或[K=-2θ1]或[θ2=2a-c2]，則[E1]是非雙曲的。

3） 若[0lt;Klt;a-c22-b2b]，[θ1lt;2K]，則[E2]是鞍點；若[0lt;Klt;a-c22-b2b]，[θ1gt;2K]，則[E2]是源點；若[a-c22-b2blt;K]，[Klt;2θ1lt;a-c22-b2b+22-b2bθ2]，則[E2]是匯點；若[K=0]或[K=2θ1]或[2-b2a-c2=bK]，則[E2]是非雙曲的。

系統(tǒng)（1）在其平衡點[E?]處的Jacobi矩陣為

[JE?=1-θ1K0-bθ2y?1+θ2bK-2-b2a-c22-b2]，

其特征值為[λ1=1-θ1K]，[λ2=1-θ22-b2a-c2-bK2-b2]。由正Nash平衡點存在的條件可知[2-b2a-c2-bKgt;0]，[Kgt;0]，那么關(guān)于唯一的正Nash平衡點[E?]的局部穩(wěn)定性有以下結(jié)論。

命題 2" 設(shè)[a， b， c1， c2∈S1]，則當(dāng)[θ1lt;2K]，[θ2lt;4-2b22-b2a-c2-bK]時，[E?]是匯點（即[E?]是局部漸進穩(wěn)定的）；當(dāng)[θ1gt;2K]，[θ2lt;4-2b22-b2a-c2-bK]時，[E?]是鞍點；當(dāng)[θ1lt;2K]，[θ2gt;4-2b22-b2a-c2-bK]時，[E?]是鞍點；當(dāng)[θ1gt;2K]，[θ2gt;4-2b22-b2a-c2-bK]時，[E?]是源點；當(dāng)[θ1=2K]或[θ2=4-2b22-b2a-c2-bK]時，[E?]是非雙曲的。

2" " Flip分岔

系統(tǒng)（1）在其唯一的Nash平衡點[E?（x?，y?）]處的特征值為

[λ1=1-θ1K]，" [λ2=1-θ22-b2a-c2-bK2-b2]。

本節(jié)研究系統(tǒng)（1）的Flip分岔，因而要求[λ1=-1]且[|λ2|≠1]，即

[θ1=2K]，" "[θ22-b2a-c2-bK2-b2≠2]。

令[S2=a， b， c1， c2， θ1， θ2" "θ1=2K ， θ2≠22-b22-b2a-c2-bK，]分析在系統(tǒng)參數(shù)滿足[S1?S2]時[E?]發(fā)生Flip分岔的情況。為避免混淆，將集合[S2]中的[θ1]標(biāo)記為[θ?1]。選取分岔參數(shù)[θ1=θ?1+δ]，[δδ?1]是一個小擾動參數(shù)。系統(tǒng)（1）加入擾動參數(shù)后變?yōu)?/p>

[xn+1=xn+θ?1+δxnK-（2-b2）xn，" " " " "yn+1=yn+θ2yna-c2-bxn-2yn。" ]" " " " " " " " " " " " " " " " "（2）

令[xn=xn-x?]，[yn=yn-y?]，將Nash平衡點[E?（x?，y?）]平移至原點，則系統(tǒng)（2）化為

[xn+1=1-θ?12-b2x?xn-2-b2x?xnδ-θ?12-b2xn2-2-b2xn2δ， yn+1=-bθ2y?xn+1-2θ2y?yn-2θ2yn2-bθ2xnyn。 ]" " " " " " " " " " " " （3）

令[A=1-θ?12-b2x?0-bθ2y?1-2θ2y?]，其特征值為

[λ1=-1]，" " "[λ2=1-2θ2y?]，

分別對應(yīng)特征向量

[2-2θ2y?， bθ2y?T]，" " "[ 0， 1T]。

因此，選取可逆矩陣[T1=2-2θ2y?0bθ2y?1]，作可逆變換[xnyn=T1unvn]，系統(tǒng)（3）可表為

[un+1vn+1=-100λ2unvn+f1un，vn，δg1un，vn，δ]，" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（4）

其中

[f1un， vn， δ=a13unδ+a14un2+a15un2δ]，

[g1un， vn， δ=b13unδ+b14un2+b15un2δ+b16vn2+b17unvn]，

[a13=-2-b2x?]， [ a14=-θ?12-b22-2θ2y?]， [a15=-2-b22-2θ2y?]，

[b13=2-b2bθ2x?y?]， [b14=bθ2y?2-b22-2θ2y?θ?1-2bθ2]，

[b15=2-b22-2θ2y?bθ2y?]， [b16=-2θ2]， [b17=-2bθ21+θ2y?]。

由中心流形定理［14］152，可通過中心流形降維后的單參數(shù)族映射來確定平衡點在[δ=0]附近的穩(wěn)定性。系統(tǒng)（4）的中心流形可以表示為

[Wc0， 0， 0=u， v， δ∈?3 v=m1u2+m2uδ+m3δ2+Ou+δ3]，

推導(dǎo)可得[m1=bθ2y?1+λ22-b2θ?1-2bθ21-λ2]，[m2=b2-2bθ2x?y?1+λ2]，[m3=0]。直接由式（4）可得限制在[Wc0， 0， 0]上的映射為

[F?-u-2-b2x?uδ-θ?12-b22-2θ2y?u2-" " " "2-b22-2θ2y?u2δ+Ou+δ4。]" " " " " " " " " " " " " " " " "（5）

根據(jù)文獻［14］中的Theorem 4.4，若映射（5）存在Flip分岔，則有：

[l1=?2F?u?δ0， 0=-2-b2x?≠0]，

[l2=14?2F?u22+16?3F?u30，0=θ?122-b222-2θ2y?2≠0]。

由上述分析可得如下定理。

定理 1 如果系統(tǒng)（1）的參數(shù)屬于[S1?S2]，則當(dāng)參數(shù)[θ?1]在[δ=0]的小鄰域內(nèi)變化時，系統(tǒng)（1）在正Nash平衡點[E?=（x?， y?）]處發(fā)生Flip分岔，且該Flip分岔是超臨界的，即系統(tǒng)（1）出現(xiàn)穩(wěn)定的倍周期軌。

同樣地，由系統(tǒng)（1）在[E?（x?，y?）]處的特征值，可以要求[|λ1|≠1]且[λ2=-1]，即

[θ1≠2K]， [ θ2=22-b22-b2a-c2-bK]。

令[S3=a， b， c1， c2， θ1， θ2" "θ1≠2K， θ2=22-b22-b2a-c2-bK]。考慮在系統(tǒng)（1）的參數(shù)屬于[S1?S3]且取分岔參數(shù)[θ2=θ?2+δ]時Nash平衡點[E?]發(fā)生Flip分岔的情況。為避免混淆，我們將集合[S3]中的[θ2]標(biāo)記為[θ?2]。系統(tǒng)（1）加入擾動參數(shù)[δδ?1]后，變?yōu)?/p>

[xn+1=xn+θ1xnK-（2-b2）xn，" " " "yn+1=yn+θ?2+δyna-c2-bxn-2yn。" "]" " " " " " " " " " " " " " " " "（6）

令[xn=xn-x?]，[yn=yn-y?]，將Nash平衡點[E?（x?， y?）]平移至原點，則系統(tǒng)（6）可轉(zhuǎn)化為

[xn+1=1-θ12-b2x?xn-θ12-b2xn2，" yn+1=-bθ?2y?xn+1-2θ?2y?yn-by?xnδ-2y?ynδ" " " " " -2θ?2yn2-2yn2δ-bθ?2xnyn-bxnynδ。]" " " " " " " " " " " " " " " " " " （7）

令[A'=1-θ12-b2x?0-bθ?2y?1-2θ?2y?]，其特征值為

[λ1=1-θ1K]，" " [λ2=1-2θ?2y?=-1]，

分別對應(yīng)特征向量

[1+λ1， -bθ?2y?T]，" " " " "[0， 1T]。

因此選取可逆矩陣[T2=1+λ10-bθ?2y?1]，作可逆變換[xnyn=T2unvn]，則系統(tǒng)（7）可表為

[un+1vn+1=λ100-1unvn+f2un， vn ， δg2un， vn， δ]，" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （8）

其中，

[f2un， vn， δ=-2-b2θ11+λ1un2]，

[g2un， vn， δ=c13unδ+c14vnδ+c15un2+c16vn2+c17unvn+c18un2δ+c19vn2δ+c20unvnδ，]

[c13=2θ?2y?-1-λ1by?]， [c14=-2y?]，

[c15=bθ?21+λ1-2-b2θ11+λ1-2bθ?22y?bθ?2y?]，" "[c16=-2θ?2]，

[c17=4θ?2y?-1-λ1bθ?2]，" "[c18=1+λ1-2θ?2y?b2θ?2y?]，" " [c19=-2]，

[c20=4θ?2y?-1-λ1b]。

系統(tǒng)（8）的中心流形可以表示為

[Wc0， 0， 0=u， v， δ∈?3 | u=n1v2+n2vδ+n3δ2+Ov+δ3]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " "（9）

推導(dǎo)可得[n1=n2=n3=0]，故限制在[Wc0， 0， 0]（9）上的映射為

[G?-v-2y?vδ-2θ?2v2-2v2δ+Ov+δ4]。" " " " " " " " " " " " " " " " （10）

根據(jù)文獻［14］中的Theorem 4.4，若映射（10）存在Flip分岔，則有：

[l1=?2G?v?δ0，0=-2y?≠0]，" "[l2=14?2G?v22+16?3G?v30，0=4θ?22≠0]。

同樣，由上述分析可得

定理 2 如果系統(tǒng)（1）的參數(shù)屬于[S1?S3]，則當(dāng)參數(shù)[θ?2]在[δ=0]的小鄰域內(nèi)變化時，系統(tǒng)（1）在正Nash平衡點[E?=（x?， y?）]處存在Flip分岔，且該Flip分岔是超臨界的，即系統(tǒng)（1）出現(xiàn)穩(wěn)定的倍周期軌。

3" " 數(shù)值模擬

本節(jié)采用數(shù)值模擬來驗證第2節(jié)的理論分析結(jié)果。我們將分別以公司1的調(diào)整速度[θ1]和公司2的調(diào)整速度[θ2]作為分岔參數(shù)，通過分岔圖、相圖和最大Lyapunov指數(shù)圖來驗證系統(tǒng)（1）的Flip分岔的存在性。

首先選擇公司1的調(diào)整速度[θ1]作為分岔參數(shù)，在集合[S1?S2]中選取參數(shù)值為[θ2=0.4]00 00，[b=0.1]，[a=10].0，[c1=4.5]，[c2=5.0]，初值為[x， y=2.6， 2.4]。此時系統(tǒng)（1）對應(yīng)的特征值為[λ1=-1]，[λ2=0.894]，兩個判別量為[l1=-5.25]0 0，[l2=0.459 8]，因此系統(tǒng)（1）發(fā)生Flip分岔。此外可計算出[θ1?=0.380 95]，圖1 （a）和（b）給出了以公司1的調(diào)整速度[θ1]為分岔參數(shù)的產(chǎn)量分岔圖，圖1 （c）給出了對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖，當(dāng)[θ1∈0.350 00， 0.380 95]時，兩家公司的生產(chǎn)會有序進行。當(dāng)[θ1]超過臨界值0.380 95時，系統(tǒng)（1）會存在周期2軌道。當(dāng)[θ1gt;0.490 0]0時，最大Lyapunov指數(shù)總體大于0，公司1和2的生產(chǎn)通過倍周期分岔轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)，當(dāng)[θ1∈0.490 00， 0.550 00]時，一些狹窄區(qū)間內(nèi)的最大Lyapunov指數(shù)小于0，說明混沌區(qū)域內(nèi)存在一些周期窗口，即當(dāng)[θ1]在混沌區(qū)域變化時，兩家公司的生產(chǎn)可能會經(jīng)歷短暫的周期行為。

進一步可得系統(tǒng)（1）在[θ1]的不同取值下的相圖。當(dāng)[θ1=0.380 95]時，由圖2 （c）可以看出，周期2軌道出現(xiàn)，對應(yīng)[xn]和[yn]的時間序列見圖2（a）和（b），此時市場處于兩個狀態(tài)的周期循環(huán)中。隨著[θ1]逐漸增大，系統(tǒng)（1）經(jīng)歷一系列倍周期分岔，對應(yīng)相見圖2（d）～（h），從周期2演化到周期4，再到周期8，周期16，最后進入混沌狀態(tài)。公司1的調(diào)整速度[θ1]逐漸增大，會使得兩家公司的生產(chǎn)出現(xiàn)混亂的生產(chǎn)決策，市場處于混沌和不可預(yù)測的狀態(tài)。如果適當(dāng)降低公司1的調(diào)整速度，則可以使市場長期穩(wěn)定。

同樣，可以選擇公司2的調(diào)整速度[θ2]作為分岔參數(shù)，在集合[S1?S3]中選取參數(shù)值為[θ1=0.200 00]，[b=0.1]，[a=10].0，[c1=4.5]，[c2=5.0]，初值為[x，y=2.60， 2.36]。此時系統(tǒng)（1）對應(yīng)的特征值為[λ2=-1]，[λ1=-0.05]，兩個判別量為[l1=-4.736 18]，[l2=0.713 28]，因此系統(tǒng)發(fā)生Flip分岔。此外可計算出[θ2?=0.422 28]。以公司2的調(diào)整速度[θ2]為分岔參數(shù)的產(chǎn)量分岔見圖3（a），對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)見圖3 （b）。當(dāng)[θ2gt;0.422 28]時，系統(tǒng)失去穩(wěn)定性發(fā)生Flip分岔，當(dāng)[θ2gt;0.543] 00時，最大Lyapunov指數(shù)總體大于0，一些狹窄區(qū)間內(nèi)的最大Lyapunov指數(shù)小于0，說明混沌區(qū)域內(nèi)存在一些周期窗口，即當(dāng)[θ2]在混沌區(qū)域變化時，公司2的生產(chǎn)可能會經(jīng)歷短暫的周期行為。

4" " 結(jié)論

本文研究了基于產(chǎn)品差異化和具有有限理性的Stackelberg雙寡頭博弈模型的余維1分岔，運用中心流形定理和分岔理論，從理論上證明了系統(tǒng)（1）存在Flip分岔，并給出了分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)圖和相圖來驗證理論結(jié)果，刻畫了系統(tǒng)（1）的復(fù)雜動力學(xué)現(xiàn)象。由圖2可見，隨著[θ1]逐漸增大，系統(tǒng)（1）的運動周期不斷增大，在經(jīng)過周期不斷加倍的Flip分岔后，系統(tǒng)（1）最終產(chǎn)生混沌。由定理1、定理2以及數(shù)值模擬圖可以發(fā)現(xiàn)，公司1和公司2的調(diào)整速度都會對博弈結(jié)果產(chǎn)生重大影響，調(diào)整速度的增大會使市場處于混沌和不可預(yù)測的狀態(tài)。當(dāng)市場處于混沌現(xiàn)象時，公司無法預(yù)測未來的產(chǎn)出和收益，從而無法制定合適的策略。因此，兩家公司應(yīng)選取較小的調(diào)整速度，以保證市場環(huán)境的長期穩(wěn)定，同時這也有助于公司作出決策。

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［責(zé)任編輯：彭喻振］

收稿日期：2024-02-28

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目“隨機微分系統(tǒng)的幾何理論與擬遍歷性研究”（12061049）；廣西自然科學(xué)基金項目“隨機微分系統(tǒng)的亞穩(wěn)態(tài)性與離出行為研究” （2023GXNSFAA026290）；廣西科技計劃項目“北部灣海洋資源開發(fā)中問題驅(qū)動的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法研究” （AD23023003）

通信作者：黃在堂，博士，南寧師范大學(xué)教授，博士研究生導(dǎo)師，電子郵箱為huangzaitang@126.com。