摘要：環(huán)[R]的一個(gè)元素稱為nil-clean的，如果它可表為R中一個(gè)冪等元與一個(gè)冪零元之和；[R]的nil-clean圖是以集合[R]為頂點(diǎn)集的簡(jiǎn)單圖，圖中兩個(gè)不同的頂點(diǎn)[x]與[y]相鄰當(dāng)且僅當(dāng)[x+y]是nil-clean元。拓?fù)淝鎇Sk]是在2維球面上添加[k]個(gè)手柄所得到的封閉曲面。圖[G]的虧格是使得[G]嵌入拓?fù)淝鎇Sk]中的最小正整數(shù)[k]。首先確定了模n剩余類環(huán)[?n]中的nil-clean元；然后將[?n]的nil-clean圖分解成其局部的直積因子的nil-clean圖的張量積；接著證明兩個(gè)特征不為零的素域的直積的nil-clean圖是兩個(gè)非簡(jiǎn)單圖的張量積，且為平面圖；最后給出[?n]的nil-clean圖的虧格分別為0，1，2，3的完整分類。

關(guān)鍵詞：nil-clean圖；模n剩余類環(huán)；平面性；虧格；中國(guó)剩余定理

中圖分類號(hào)：O153.3；O157.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1" " 預(yù)備知識(shí)

環(huán)與圖是近二三十年來(lái)一個(gè)熱門的交叉研究領(lǐng)域。1988年Beck［1］引入交換環(huán)的零因子圖，研究了其著色數(shù)，進(jìn)而分類了一些環(huán)類。1999年Anderson等［2］簡(jiǎn)化了環(huán)的零因子圖，吸引了眾多學(xué)者對(duì)環(huán)的零因子圖進(jìn)行研究［3-6］。后來(lái)又陸續(xù)出現(xiàn)了環(huán)的各種圖結(jié)構(gòu)，如total圖［7］、單位圖［8］、單位Caylay圖［9］、余極大圖［10］等等。對(duì)環(huán)的這些圖結(jié)構(gòu)的研究大大豐富了環(huán)論的研究?jī)?nèi)容和方法。

下面先介紹圖論中的一些定義、記號(hào)和熟知結(jié)論。本文中的圖如無(wú)特別說(shuō)明均為簡(jiǎn)單圖（即無(wú)重邊和自環(huán)的圖）。設(shè)[G=（V， E）]是圖，其中[V]和E分別是G的頂點(diǎn)集和邊集，[x～y∈E]表示G的一條以x和y為端點(diǎn)的邊。[G]的頂點(diǎn)[v]的度是指[E]中與頂點(diǎn)[v]相關(guān)聯(lián)的邊數(shù)，記作[deg（v）]。如果[G]中各頂點(diǎn)的度均為k，則稱[G]為[k-]正則圖。記[δ（G）=min{deg（v） | v∈V}]。若G含有[n]個(gè)頂點(diǎn)，且其頂點(diǎn)的度均為[n-1]，則稱[G]為n階完全圖，記為[Kn]。完全[r]-部圖是一個(gè)簡(jiǎn)單圖，其頂點(diǎn)集[V]可拆分成[r]個(gè)不相交的部分[Vi （i=1， …， r）]，使得每個(gè)[Vi]中的任何兩個(gè)頂點(diǎn)都不相鄰，且對(duì)任意[1≤ ][i≠j][ ≤r]，[Vi]中的每個(gè)頂點(diǎn)與[Vj]中的每個(gè)頂點(diǎn)之間均有邊相連；若[|Vi|=mi]，則用[Km1， m2， … ， mr]表示該完全[r]-部圖。設(shè)[G=（V， E）]和[H=（V， E）]是兩個(gè)圖，如果[V?V]，[E?E]，則稱[H=（V， E）]是[G=（V， E）]的一個(gè)子圖。設(shè)[S]是[V]的一個(gè)非空真子集，以[S]為頂點(diǎn)集并以[E]中兩端點(diǎn)均在[S]中的邊為邊集的子圖稱為[G]中由[S]導(dǎo)出的子圖。如果[G]可畫在平面上，使得G的任意兩條邊都不相交，則稱[G]為平面圖。拓?fù)淝鍿k是指在2維球面上添加[k]個(gè)手柄所得到的曲面，例如[S0]是球面，[S1]是環(huán)面，[S2]是雙環(huán)面。使得[G]可嵌入[Sk]的最小正整數(shù)[k]稱為[G]的虧格，記作[γ（G）]。特別地，平面圖的虧格是0。圖[G]中連接頂點(diǎn)[x]與[y]的一條鏈表示為頂點(diǎn)序列[（a0， a1， … ， an-1， an）]，其中[a0=x]，[ an=y]， [ai～ai+1∈E]，[ i=0， 1， … ， n-1]；該鏈的長(zhǎng)度為n-1；稱[a0]和[an]為該鏈的端點(diǎn)；特別地，若[a0=an]，則稱該鏈?zhǔn)情]的。如果頂點(diǎn)[a0， a1， … ， an-1， an]互不相同，則稱鏈[（a0， a1， … ， an-1， an）]是一條路；閉的路稱為圈。圖[G1=（V1， E1）]與[G2=（V2， E2）]的張量積，記作[G1?G2]，是以[V1 × V2]為頂點(diǎn)集的圖，圖中頂點(diǎn)[（x1， x2）]與[（y1， y2）]相鄰當(dāng)且僅當(dāng)[x1與y1在G1]中相鄰且[x2與y2在G2]中相鄰。

對(duì)于環(huán)[R]，記[Id（R）]和[Nil（R）]分別為[R]中的冪等元的全體和R中的冪零元的全體。R中的一個(gè)元素[r]稱為nil-clean的，如果[r]可表成[R]中一個(gè)冪等元與一個(gè)冪零元之和。記[NC（R）]為[R]中的nil-clean元的全體。如果[R]中的每個(gè)元素都是nil-clean元，則稱[R]是nil-clean環(huán)。 關(guān)于nil-clean環(huán)的研究可見(jiàn)文獻(xiàn)［11-14］。本文主要研究對(duì)象是[?n]。設(shè)p是素?cái)?shù)，則[?pα]是交換局部環(huán)，故它只有平凡的冪等元，同時(shí)其唯一的極大理想恰為[Nil（?pα）= p]，故[NC（?pα）][ = ][p?（1+p）]。

設(shè)正整數(shù)n有標(biāo)準(zhǔn)分解[n=pα11pα22…pαss]，則由中國(guó)剩余定理，存在環(huán)同構(gòu)[?n??p1α1× ?p2α2× … × ?psαs]。

命題1.1" " 設(shè)[x=（x1， … ， xs）][ ∈?p1α1× ?p2α2× … × ?psαs]，則x是nil-clean元當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)[i=1， … ， s]，[xi]都是[?piαi]中的nil-clean元。進(jìn)而[?p1α1× ?p2α2× … × ?psαs]有[2spα1-11pα2-12…pαs-1s]個(gè)nil-clean元。

證明 設(shè)[x=（x1， … ， xs） ]∈[ ?p1α1× ?p2α2× … × ?psαs]。若x是nil-clean的，則存在[?p1α1× ?p2α2× … × ?psαs]中的冪等元[y=（y1， … ， ys）]和冪零元[z=（z1， … ， zs）]，使得[x=y+z]。注意到對(duì)每個(gè)[i=1，… ， s]，[yi]是[?piαi]中的冪等元，[zi]是[?piαi]中的冪零元，故[xi]是[?piαi]中的nil-clean元。

另一方面，設(shè)[xi]是[?piαi]中的nil-clean元，[i=1， … ， s]，則存在[?piαi]中的冪等元[yi]和冪零元[zi]使得[xi=yi+zi]。注意到[y?（y1， … ， ys）]和[z?（z1， … ， zs）]分別是[?p1α1× ?p2α2× … × ?psαs]中的冪等元和冪零元，故由[x=y+z]知[x]是[?p1α1× ?p2α2× … × ?psαs]中的nil-clean元。

最后由等式[NC（?pα）=p?（1+p）]可得結(jié)論。

定義1.2［15］482 環(huán)[R]的nil-clean圖，記作[GNC（R）]，是以[R]為頂點(diǎn)集的簡(jiǎn)單圖，圖中兩個(gè)不同的頂點(diǎn)[x]與[y]相鄰當(dāng)且僅當(dāng)[x+y]是nil-clean元。

引理1.3［15］483 設(shè)[GNC（R）]是環(huán)[R]的nil-clean圖，[x∈R]，則

[deg（x）= ][NC（R）-1，若2x是nil-clean元；NC（R），若2x不是nil-clean元。]

環(huán)的nil-clean圖一般未必是平面圖，例如[?8]的nil-clean圖是完全圖K8，其虧格是2。確定一個(gè)環(huán)的nil-clean圖的虧格是有意義且具有挑戰(zhàn)性的工作。Thomassen［16］指出求解圖的虧格是一個(gè)NP-問(wèn)題。利用虧格來(lái)分類有限交換環(huán)一直是環(huán)與圖這個(gè)交叉研究領(lǐng)域的熱門問(wèn)題。文獻(xiàn)［17］確定了單位圖的虧格分別為0，1，2，3的有限交換環(huán)。文獻(xiàn)［18］確定了單位Caylay圖的虧格分別為1，2，3的有限交換環(huán)。本文研究圖[GNC（?n）]的平面性問(wèn)題，確定了使得[GNC（?n）]的虧格分別為0，1，2，3的[n]的值。

2" " 一些引理

為證明主要結(jié)果，本節(jié)先給出一些必要的引理。對(duì)于實(shí)數(shù)x，以[x]表示不小于[x]的最小正整數(shù)。

引理2.1［19］68 對(duì)m，n[ ≥2]，有[γ（Kn，m）=（n-2）（m-2）4]。

引理2.2［19］68 對(duì)[n≥3]，有[γ（Kn）=（n-3）（n-4）12]。

引理2.3［20］ 對(duì)[m]，[n≥ 1]，有[γ（Kmn，n，n）=（mn-2）（n-1）2]。

引理2.4［21］ 設(shè)[G]是圖，則[δ（G）≤6+12（γ（G）-1）V]。

引理2.5［19］62 對(duì)任意圖[G=（V， E）]，有[γ（G）≥E6-V2+1]。

引理2.6 設(shè)[R]是有限環(huán)，若[γ（GNC（R））gt;0]，則要么[NC（R）≤7]，要么[R≤12（γ（GNC（R））-1）]。

證明 設(shè)[NC（R）gt;7]，則由引理1.3有[δ（GNC（R））][ ≥NC（R）-1gt;6]，而由引理2.4得

[1≤δ（GNC（R））-6≤12（γ（GNC（R））-1）V]，

故[R=V≤12（γ（GNC（R））-1）]。

注2.7 由引理2.1可知[γ（K3，6）=1]。設(shè)[K3，6]是[K3，6]在[S1]上的嵌入，則由歐拉多面體公式[v-e+f=2-2γ]可知[K3，6]有9個(gè)面。注意到[K3，6]的每個(gè)面的邊界都至少有4條邊，而平均每個(gè)面有[（2×18）/9=4]條邊，因此這9個(gè)面的邊界都是四邊形。由[K3，6]的6度點(diǎn)的置換對(duì)稱性，每個(gè)6度點(diǎn)的周圍都有6個(gè)四邊形；由[K3，6]的3度點(diǎn)的置換對(duì)稱性，每個(gè)3度點(diǎn)的周圍都有3個(gè)四邊形。對(duì)于[K3，6]中的兩個(gè)3度點(diǎn)，能在它們之間添加一條邊而不與原有的邊交叉當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)3度點(diǎn)位于同一個(gè)四邊形的對(duì)角。如果添加若干條邊連接若干個(gè)3度點(diǎn)以使它們構(gòu)成圈，那么這個(gè)圈不能連續(xù)地收縮為[S1]上的一個(gè)點(diǎn)。

引理2.8" [γ（GNC（?9））=2]。

證明 由于[K3，6]是圖[GNC（?9）]的一個(gè)子圖，因此[γ（GNC（?9））≥γ（K3，6）=1]。假設(shè)[GNC（?9）]的虧格是1，固定一個(gè)[GNC（?9）]在[S1]上的表示[GNC（?9）]。由注2.7可知，圈（3，6，0）與圈（2，5，8）不能連續(xù)地收縮到[S1]上的一個(gè)點(diǎn)。 將[S1]沿著圈（3，6，0）與圈（2，5，8）剪開(kāi)，在同胚意義下得到兩個(gè)有限長(zhǎng)度的圓柱表面[S0]和[S1]，如圖1所示。

由鴿籠原理，S0和S1中至少有一個(gè)包含[GNC（?9）]的兩個(gè)6度點(diǎn)。不妨設(shè)[S0]包含[GNC（?9）]的6度點(diǎn)1和4。由于對(duì)稱性，曲面[S1]上也可以添加一個(gè)6度點(diǎn)與頂點(diǎn)3，6，0，2，5，8均相鄰。這導(dǎo)致[K4，6]可嵌入曲面[S1]，于是[γ（K4，6）≤1]，與引理2.1矛盾。所以[γ（GNC（?9））][ ≥2]。注意到[GNC（?9）]可嵌入[S2]（如圖2），故[γ（GNC（?9））= 2]。證畢。

設(shè)G和H均為簡(jiǎn)單圖。1977年Farzan等［22］證明，當(dāng)G和H均為路時(shí)[G?H]是平面圖。對(duì)于素?cái)?shù)p，環(huán)[?p]的nil-clean圖[GNC（?p）]是含有p個(gè)頂點(diǎn)的路。圖[GNC（?p）]是在圖[GNC（?p）]的兩個(gè)端點(diǎn)分別添加一條自環(huán)的非簡(jiǎn)單圖。[GNC（?pq）]同構(gòu)于[GNC（?p）?GNC（?q）]。為了討論[GNC（?pq）]的平面性，我們需要進(jìn)一步討論[GNC（?p）?GNC（?q）]的連通分支數(shù)與邊界。記[Pn]為含有n個(gè)頂點(diǎn)的路，即[Pn=（x1， x2， …， xn）]。

若圖[G]中任意兩點(diǎn)均連通，即有一條路以這兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)，則稱[G]是連通圖。無(wú)向圖的一個(gè)極大連通子圖稱為連通分支。圖[G]的連通分支數(shù)記為[ω（G）]。

引理2.9 對(duì)任意n， m [≥2]，都有[ω（Pn?Pm）=2]。

證明 設(shè)[Pn=（x1， x2， …， xn）]，[Pm=（y1， y2， … ， ym）]?？紤]集合[V（Pn?Pm）]上的等價(jià)關(guān)系：稱頂點(diǎn)[（xi， yj）]與[（xk， yl）]是等價(jià)的，如果[i+k與 j+l ]同奇偶。該等價(jià)關(guān)系給出劃分[V（Pn?Pm）= Q0?][ Q1]，其中[Q0（Q1）]中的任兩個(gè)頂點(diǎn)[（xi， yj）]，[（xk， yl）]都滿足[i+j]與[k+l]均為偶數(shù)（奇數(shù)）。對(duì)于[Q0]中的兩個(gè)頂點(diǎn)[（xi， yj）]，[（xk， yl）]，設(shè)[i+2a=k]，[j+2b=l]，其中[a≤b]，則[（（xi， yj）， ][（xi-1， yj+1）， （xi， yj+2）， … ， ][（xi， yj+（2b-2a））， （xi+1， yj+（2b-2a）+1）， … ， （xk， yl））]是一條以[（xi， yj）]和[（xk， yl）]為端點(diǎn)的路。這表明[Q0]是連通的。同理可證[Q1]也是連通的。由[Pn?Pm]及上述等價(jià)關(guān)系的定義可知，不存在[Pn?Pm]中一條路徑連接[Q0]中的頂點(diǎn)與[Q1]中的頂點(diǎn)。由此可得結(jié)論。

由頂點(diǎn)集[Q0]，[Q1]導(dǎo)出的子圖（仍分別記為[Q0]，[Q1]）均為平面圖。一個(gè)圖G可嵌入球面當(dāng)且僅當(dāng)圖G可嵌入平面，當(dāng)且僅當(dāng)圖G可嵌入半球面。記[P*n]是在[Pn]的兩個(gè)端點(diǎn)分別添加一條自環(huán)的圖。為了說(shuō)明圖[P*n?P*m]的平面性，我們需要討論圖[Pn?Pm]的邊界點(diǎn)。

引理2.10 設(shè)平面圖[Qi]的定義如上，則存在[Qi]的一個(gè)平面表示[Qi]，使得[Qi]的1度點(diǎn)和2度點(diǎn)都在[Qi]的外部面的邊界上，其中[i=0]，1。

證明 由圖的張量積的定義，當(dāng)[x≠1， 2， n， n-1]且[y≠1， 2， m， m-1]時(shí)，頂點(diǎn)[（x， y）]與[（x+2， y+2）]，[（x-2， y+2）]，[（x+2， y-2）]，[（x-2， y-2）]相鄰。由引理2.9可知，[（x， y）∈Q0]且[deg （x， y）≤2]當(dāng)且僅當(dāng)[x=1， n]或[y=1， m]，[（x， y）∈Q1]且[deg （x， y）≤2]當(dāng)且僅當(dāng)[x=2， n-1]或[y=2， m-1]。取定[Qi]的一個(gè)4度點(diǎn)作為平面的原點(diǎn)并將每條邊的長(zhǎng)度限制為1，這樣定義[Qi]的平面表示記為[Qi]，則[Qi]的頂點(diǎn)均在平面上的一個(gè)半徑為[mn]的圓內(nèi)，且[Qi]的1度點(diǎn)和2度點(diǎn)均在[Qi]的外部面的邊界上。

計(jì)算可知[P*n?P*m]中存在長(zhǎng)度為[2m+2（n-2）-1]的圈

[Cα=（ （1， 1）， （1， 2）， … ， （1， m）， （2， m）， … ， （n， m）， （n-1， m）， … ， （1， m）， … ， （1， 1） ）]，

故[P*n?P*m]是連通的。有了上述準(zhǔn)備，可以證明如下結(jié)果。

引理2.11 [GNC（?pq）]是平面圖，其中[p]和[q]是不同的素?cái)?shù)。

證明 將[GNC（?pq）]表為[Q0?Q1?Cα]，其中[Q0]和[Q1]均為平面圖。將[Q0]嵌入單位半球面[A0]，同時(shí)將[Q1]嵌入單位半球面[A1]。根據(jù)引理2.10，在同胚意義下可使得[Qi]的1度點(diǎn)和2度點(diǎn)都在[Ai]的赤道上。在將半球面[A0]，[A1]適當(dāng)旋轉(zhuǎn)后，可將[A0]與[A1]粘合成單位球面[S1]，且[Cα]位于[A0]與[A1]的粘合處。由此得到[GNC（?pq）]的一個(gè)球面嵌入，故[GNC（?pq）]是平面圖。

例2.12 [GNC（?15）]是[P*3]與[P*5]的張量積，其中[P*5]如圖3所示。

由圖張量積的定義可得[GNC（?15）]的坐標(biāo)表示，如圖4所示。

由引理2.11可得[GNC（?15）]的球面嵌入，如圖5所示。

注2.13 由引理2.1可知[γ（K4，8）=3]，設(shè)[K4，8]是[K4，8]在[S3]上的嵌入，則由歐拉多面體公式[v-e+f=2-2g]可知[K4，8]有16個(gè)面。注意到[K4，8]的每個(gè)面的邊界都至少有4條邊，而平均每個(gè)面有[（2×32）/16=4]條邊，因此這16個(gè)面的邊界都是四邊形。由[K4，8]的8度點(diǎn)的置換對(duì)稱性，它的每個(gè)8度點(diǎn)的周圍都有8個(gè)四邊形；由[K4，8]的4度點(diǎn)的置換對(duì)稱性，它的每個(gè)4度點(diǎn)的周圍都有4個(gè)四邊形。對(duì)于[K4，8]中的兩個(gè)4度點(diǎn)，能在它們之間添加一條邊而不與原有的邊交叉當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)4度點(diǎn)位于同一個(gè)四邊形的對(duì)角。連接所有的四邊形的對(duì)角的4度點(diǎn)，可得到[K4，4，4]在[S3]上的嵌入。如果添加若干條邊連接若干個(gè)4度點(diǎn)以使它們構(gòu)成圈，那么這個(gè)圈不能夠連續(xù)地收縮為[S3]上的一個(gè)點(diǎn)。

引理2.14 [γ（GNC（?12））≥4]。

證明 注意到[GNC（?12）]含有子圖[K4，8]，故[γ（GNC（?12））≥γ（K4，8）=3]。假設(shè)[γ（GNC（?12））=3]。固定[GNC（?12）]在[S3]上的一個(gè)嵌入[GNC（?12）]，將[GNC（?12）]中的邊[3～6]，[3～9]，[3～0]，[6～9]，[6～0]，[9～0]，[2～5]，[2～8]，[2～11]，[5～8]，[5～11]，[8～11]移除后，可得到[K4，8]在[S3]上的嵌入。由注2.13可知，所移除的12條邊分別是[GNC（?12）]的12個(gè)不同的四邊形的對(duì)角。由引理2.3知[γ（K4，4，4）=3]，連接[GNC（?12）]剩下的4個(gè)四邊形的對(duì)角的4度點(diǎn)，得到[K4，4，4]在[S3]上的嵌入。換句話說(shuō)，[γ（GNC（?12））=3]將導(dǎo)致[GNC（?12）]是[K4，4，4]的一個(gè)子圖，矛盾。

3" " 主要結(jié)果

設(shè)正整數(shù)n有標(biāo)準(zhǔn)分解[n=pα11pα22…pαss]。當(dāng)s = 1時(shí)有[NC（?n）=2pα1-11]。當(dāng)s = 2時(shí)有[NC（?n）=4pα1-11pα2-12]。當(dāng)[s≥3]時(shí)，有[?n=n≥30]，同時(shí)由命題1.1知[NC（?n）≥8]，再由引理2.5得

[γ（GNC（?n））≥n（NC（?n）-1）-6n12+1]，

故[γ（GNC（?n））≥4]。

引理3.1 設(shè)[n]是素?cái)?shù)冪，若[GNC（?n）]是平面圖，則[n=4]。

證明 設(shè)[n=pα]，其中p是素?cái)?shù)，[αgt;1]。注意到由集合[p??n]導(dǎo)出的子圖是完全圖[Kpα-1]，故有[γ（GNC（?n））≥γ（Kpα-1）]。若[ngt;4]，則[γ（GNC（?n））gt;0]，此時(shí)[GNC（?n）]不是平面圖。

引理3.2 設(shè)[n]是素?cái)?shù)冪，若[0lt;γ（GNC（?n））≤3]，則[n=8]或9。

證明 設(shè)[n=pα]，其中p是素?cái)?shù)，則由命題1.1可知[NC（?n）=2pα-1]。再由引理2.6可知[2pα-1≤7]或者[pα≤24]。因此可知n = 4，8，16，9。而[γ（GNC（?4））=0]，[γ（GNC（?8））=2]，[γ（GNC（?16））=15]。由引理2.8可知[γ（GNC（?9））=2]。

引理3.3 設(shè)[n=pα11pα22]，其中p1，p2是不同的素?cái)?shù)，若[GNC（?n）]是平面圖，則[α1=α2=1]。

證明 若[α1gt;1]，則[NC（?n）=4pα1-11pα2-12gt;7]，進(jìn)而由引理2.6得[nlt;0]，不可能。

引理3.4 設(shè)[n=pα11pα22]，其中p1，p2是不同的素?cái)?shù)，且[α1和 α2]中至少有一個(gè)大于1，則[（γ（GNC（?n））][≥4]。

證明 因[NC（?n）=4pα1-11pα2-12gt;7]，故由引理2.6有[n≤12（γ（GNC（?n））-1）]。若[γ（GNC（?n））lt;4]，則有[nlt; 36]，于是n只能取12，18，20或24。由引理2.14知[γ（GNC（?12））≥4]。注意到[GNC（?18）]含有子圖[K6，12]，故[γ（GNC（?18））≥γ（K6，12）=10]。[GNC（?20）]含有20個(gè)頂點(diǎn)和76條邊，[GNC（?24）]含有24個(gè)頂點(diǎn)和184條邊，故由引理2.5知它們的虧格都[≥4]。

下面是本文的主要結(jié)果。

定理3.5 設(shè)[γ（GNC（?n）） ][= ][g]，則有：

（1）[ g=0]當(dāng)且僅當(dāng)[n=4]，[p]，[pq]，其中p和q是不同的素?cái)?shù)。

（2）[ g=2]當(dāng)且僅當(dāng)[n=8]，9。

（3） 不存在正整數(shù)[n]，使得[g= ]1，3。

證明 當(dāng)[n]有3個(gè)不同的素因子時(shí)有[g≥4]。

當(dāng)n是素?cái)?shù)冪時(shí)，由引理3.1知[GNC（?n）]是平面圖當(dāng)且僅當(dāng)[n=4]或[n]是素?cái)?shù)；根據(jù)引理3.2，[GNC（?n）]是虧格小于4的非平面圖當(dāng)且僅當(dāng)[n=8]，9（此時(shí)[g=2]）。

當(dāng)[n]有2個(gè)不同的素因子時(shí)，由引理3.3知[GNC（?n）]是平面圖當(dāng)且僅當(dāng)[n]形如[pq]（[p]，[q]均為素?cái)?shù)）；根據(jù)引理3.4，不存在正整數(shù)[n]，使得[GNC（?n）]是虧格小于4的非平面圖。

參考文獻(xiàn)：

［1］ BECK I.Coloring of commutative rings［J］. Journal of algebra，1988，116（1）：208-226.

［2］ ANDERSON D F，LIVINGSTON P S.The zero-divisor graph of a commutative ring［J］. Journal of algebra，1999，217（2）：434-447.

［3］ AKBARI S，MAIMANI H R，YASSEMI S.When a zero-divisor graph is planar or a complete r-partite graph［J］. Journal of algebra，2003，270（1）：169-180.

［4］ Wickham C.Rings whose zero-divisor graphs have positive genus［J］. Journal of algebra，2008，321（2）：377-383.

［5］ AKBARI S，Mohammadian A.On zero-divisor graphs of finite rings［J］. Journal of algebra，2007，314（1）：168-184.

［6］ BELSHOFF R，CHAPMAN J.Planar zero-divisor graphs［J］. Journal of algebra，2007，316（1）：471-480.

［7］ ANDERSON D F，BADAWI A.The total graph of a commutative ring［J］. Journal of algebra，2008，320（7）：2706-2719.

［8］ ASHRAFI N，MAIMANI H R，POURNAKI M R，et al.Unit graphs associated with rings［J］. Communications in algebra，2010，38（8）：2851-2871.

［9］ KIANI D，MOLLAHAJIAGHAEI M.On the unitary Cayley graphs of matrix algebras［J］. Linear algebra and its applications，2015，466：421-428.

［10］ Maimani H R，Salimi M，Sattari A，et al.Comaximal graph of commutative rings［J］. Journal of algebra，2008，319（4）：1801-1808.

［11］ DIESL A J.Nil clean rings［J］.Journal of Algebra，2013，383（1）：197-211.

［12］ KOSAN T，WANG Z，ZHOU Y Q.Nil-clean and strongly nil-clean rings［J］. Journal of pure and applied algebra，2016，220（2）：633-646.

［13］ BEREAZ S，C?LUG?REANU G，DANCHEV P，et al.Nil-clean matrix rings［J］. Linear algebra and its applications，2013，439（10）：3115-3119.

［14］ DIESL A J.Nil-clean companion matrices［J］. Linear algebra and its applications，2016，489：50-60.

［15］ BASNET D K，BHATTACHARYYA J.Nil clean graphs of rings［J］. Algebra colloquium，2017，24（3）.

［16］ THOMASSEN C.The graph genus problem is NP-complete［J］. Journal of algorithms，1989，10：568-576.

［17］ SU H D，NOGUCHI K，ZHOU Y Q.Finite commutative rings with higher genus unit graphs［J］. Journal of algebra and Its applications，2015，14（1）：1550002.

［18］ SU H D，ZHOU Y Q.Finite commutative rings whose unitary Cayley graphs have positive genus［J］. Journal of commutative algebra，2018，10：275-293.

［19］ WHITE A T.Graphs，groups and surfaces［M］. Amsterdam：North-Holland Publishing Company，1984：62-68.

［20］ WHITE A T.The genus of the complete tripartite graph [Kmn，n，n]［J］. Journal of combinatorial theory，1969，7（3）：283-285.

［21］ WICKHAM C.Classification of rings with genus one zero-divisor graphs［J］. Communications in algebra，2008，36（2）：325-345.

［22］ FARZAN M，WALLER D A.Kronecker products and local joins of graphs［J］. Canadian journal of mathematics，1977，29（2）：255-259.

［責(zé)任編輯：彭喻振］

收稿日期：2024-04-27

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金地區(qū)基金項(xiàng)目 “環(huán)的加性圖與環(huán)的nil-clean性的幾個(gè)公開(kāi)問(wèn)題的研究”（12261001）；廣西自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“環(huán)的nil-clean圖及其推廣的研究”（2021GXNSFAA220043）；北部灣大學(xué)高層次人才科研啟動(dòng)項(xiàng)目“環(huán)的圖結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用研究”（2020KYQD07）

通信作者：蘇華東，博士，北部灣大學(xué)教授，博士研究生導(dǎo)師，電子郵箱為huadong.su@163.com。