【摘 要】?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)的筆算實(shí)現(xiàn)了乘法豎式從“一層”到“兩層”的跨越。通過(guò)對(duì)前后測(cè)結(jié)果的分析發(fā)現(xiàn)，要想實(shí)現(xiàn)突破，需要理解運(yùn)算中乘的次數(shù)和積的位值，需要在多樣的算法中理解算理。教師通過(guò)解讀數(shù)學(xué)史，明確了要在學(xué)生的已有認(rèn)知與標(biāo)準(zhǔn)豎式間引入其他豎式以拉長(zhǎng)乘法豎式的建構(gòu)過(guò)程?；诖?，重新劃分了教學(xué)內(nèi)容、定位了教學(xué)目標(biāo)，從數(shù)數(shù)開(kāi)始，引入長(zhǎng)豎式，在借助表征理解算理的同時(shí)，充分展示豎式形成、壓縮與簡(jiǎn)化的過(guò)程，真正實(shí)現(xiàn)了豎式、算法和算理三者的融通，促進(jìn)乘法豎式的自然進(jìn)階。

【關(guān)鍵詞】從數(shù)到算；長(zhǎng)豎式；算理與算法；豎式進(jìn)階

對(duì)于乘法豎式的理解，學(xué)生需要經(jīng)歷兩個(gè)基本階段：一是乘法豎式的引入，二是乘法豎式的分層書(shū)寫(xiě)。在人教版教材中，這兩個(gè)階段的內(nèi)容被分別安排在三年級(jí)上冊(cè)的“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元與三年級(jí)下冊(cè)的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元。

乘法豎式作為一種傳統(tǒng)的筆算形式，其特定的書(shū)寫(xiě)形式和規(guī)則是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)實(shí)踐中逐漸完善的。以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，豎式書(shū)寫(xiě)的結(jié)構(gòu)由單層擴(kuò)展至兩層。這一變化常使學(xué)生感到困惑，對(duì)計(jì)算的原理（算理）與書(shū)寫(xiě)方式（算法）感到不解。那么，乘法豎式分層書(shū)寫(xiě)背后的“理”究竟是什么？如何展開(kāi)探究？對(duì)此，本文進(jìn)行了深入探討。

一、明晰學(xué)生認(rèn)知，確定教學(xué)重點(diǎn)

（一）學(xué)生會(huì)怎么計(jì)算

豎式是對(duì)計(jì)算過(guò)程的合理呈現(xiàn)。為了解學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，筆者對(duì)杭州市某區(qū)212名三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。前測(cè)內(nèi)容為：列豎式計(jì)算17×13。

前測(cè)結(jié)果顯示，僅有約12.26%的學(xué)生能夠正確計(jì)算，其中20名學(xué)生用三個(gè)豎式分步計(jì)算得到正確結(jié)果（如圖1），只有6名學(xué)生采用如教材中的標(biāo)準(zhǔn)豎式計(jì)算。此結(jié)果表明三年級(jí)學(xué)生難以憑借已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)算出17×13的積，更無(wú)法用兩層形式書(shū)寫(xiě)乘法豎式。

約有87.74%的學(xué)生在運(yùn)算中未能得出正確結(jié)果。進(jìn)一步分析錯(cuò)誤的情況，發(fā)現(xiàn)其中86名學(xué)生得出運(yùn)算結(jié)果為“121”（如圖2），另有38名學(xué)生得出運(yùn)算結(jié)果為“31”（如圖3）。這些錯(cuò)誤主要源于學(xué)生對(duì)整數(shù)加減法中的“相同數(shù)位上的數(shù)相加減”算法的過(guò)度依賴，即在乘法運(yùn)算中錯(cuò)誤地將相同數(shù)位上的數(shù)字直接相乘，然后將結(jié)果分別寫(xiě)在相應(yīng)的數(shù)位上。這些錯(cuò)誤體現(xiàn)了乘法運(yùn)算受加法運(yùn)算的負(fù)遷移影響，與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的正確運(yùn)算方法存在顯著偏差。

因此，在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)從乘法運(yùn)算的意義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生理解“一個(gè)兩位數(shù)的每一位都應(yīng)與另一個(gè)兩位數(shù)的每一位相乘”的重要性。同時(shí)，從圖2的計(jì)算過(guò)程發(fā)現(xiàn)，雖然部分學(xué)生能理解乘數(shù)中兩個(gè)十位上的“1”相乘會(huì)產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位“百”，但仍有部分學(xué)生受加法運(yùn)算“1個(gè)十加1個(gè)十得到2個(gè)十”的影響，錯(cuò)誤地推斷出“1個(gè)十乘1個(gè)十得到1個(gè)十”的結(jié)論。由此可見(jiàn)，在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)理解“新計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生”。這是一個(gè)重要的教學(xué)任務(wù)。

（二）學(xué)生如理解乘法豎式的分層書(shū)寫(xiě)

理解算理是運(yùn)算教學(xué)的重難點(diǎn)。為了解學(xué)生對(duì)整數(shù)乘法算理的認(rèn)知情況，筆者對(duì)杭州市某區(qū)176名已學(xué)過(guò)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。調(diào)查主要聚焦于他們對(duì)乘法豎式結(jié)構(gòu)的分析和解讀（如圖4），旨在判斷學(xué)生“理解算理、掌握算法”的學(xué)習(xí)情況。

調(diào)查結(jié)果顯示，約90%的學(xué)生認(rèn)為“看得懂”圖中的豎式，約51.14%的學(xué)生認(rèn)為圖4中的計(jì)算過(guò)程是錯(cuò)誤的。他們給出的主要理由是：圖4中的計(jì)算過(guò)程與他們所熟悉的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法存在差異，他們堅(jiān)持認(rèn)為兩位數(shù)乘兩位數(shù)必須拆分第二個(gè)乘數(shù)，并從低位開(kāi)始計(jì)算。進(jìn)一步分析86名（約占調(diào)查總?cè)藬?shù)的48.86%）認(rèn)為計(jì)算過(guò)程正確的學(xué)生的前測(cè)結(jié)果，其中：有38名學(xué)生能夠從算理的角度出發(fā)，將“27×23”轉(zhuǎn)化為“7個(gè)23與20個(gè)23的和”進(jìn)行計(jì)算；有48名學(xué)生是先利用教材中的計(jì)算方法算出結(jié)果，再與圖4的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果相等，從而作出“計(jì)算過(guò)程正確”的判斷。

由此可見(jiàn)，在參與此次調(diào)查的學(xué)生中，接近八成的學(xué)生已經(jīng)將“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算方法視為一種固定程序，他們認(rèn)為乘法豎式的格式是唯一的，難以從算理角度對(duì)算法進(jìn)行深入理解。因此，為加深學(xué)生對(duì)乘法運(yùn)算算理的理解，有必要引導(dǎo)他們接觸多樣化的算法，并在算法對(duì)比中深化對(duì)算理的認(rèn)識(shí)。

二、研讀數(shù)學(xué)史料，重構(gòu)單元結(jié)構(gòu)

實(shí)際上，圖4中所示的計(jì)算方法是歷史上的一種算法。數(shù)學(xué)史不僅為教學(xué)、學(xué)習(xí)和評(píng)價(jià)提供了豐富的資源，還為教學(xué)活動(dòng)帶來(lái)了深刻的啟示。筆者通過(guò)研讀幾大文明古國(guó)與阿拉伯的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作中與乘法相關(guān)的數(shù)學(xué)史，分析乘法的發(fā)展歷史、乘法筆算的演變過(guò)程以及乘法豎式的逐步成型過(guò)程，從而發(fā)現(xiàn)乘法運(yùn)算的原理性知識(shí)，如位值原理、運(yùn)算律、數(shù)的分解與組成、運(yùn)算的意義等，這些原理在不同時(shí)期、不同地區(qū)均呈現(xiàn)出相似性。然而，運(yùn)算的規(guī)則性知識(shí)，如計(jì)算的步驟、豎式的書(shū)寫(xiě)等，呈現(xiàn)出多樣化的特點(diǎn)，并沒(méi)有統(tǒng)一的形式。

豎式作為筆算的一種形式，其主要功能在于記錄計(jì)算過(guò)程，以減輕學(xué)生的思維負(fù)擔(dān)。它具有嚴(yán)格、固定的順序和明確的運(yùn)算法則，這些都是基于人的某種習(xí)慣或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要而設(shè)定的“人為規(guī)定”。教材中呈現(xiàn)的“標(biāo)準(zhǔn)豎式”只是歷史傳承下來(lái)的眾多“算法”之一，它是在人們追求步驟壓縮和過(guò)程保留之間形成的平衡。但這種簡(jiǎn)捷而規(guī)范的豎式往往不是學(xué)生最易于理解的形式。因此，在教學(xué)中，教師有必要在學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)與標(biāo)準(zhǔn)豎式之間引入其他豎式形式，充分展示豎式形成、壓縮與簡(jiǎn)化的過(guò)程，確保豎式算理和算法之間的融通。

現(xiàn)行人教版教材在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算部分編排了兩個(gè)例題，例1創(chuàng)設(shè)“買書(shū)”的情境，計(jì)算14×12，例2創(chuàng)設(shè)“分酸奶”的情境，計(jì)算37×48，以乘法運(yùn)算中的“不進(jìn)位”與“進(jìn)位”區(qū)分了計(jì)算的難度。然而，運(yùn)算過(guò)程中的“是否進(jìn)位”跟算理的理解、算法的建構(gòu)以及豎式的分層書(shū)寫(xiě)并無(wú)本質(zhì)的聯(lián)系。

基于上述分析，本文對(duì)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算的課時(shí)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了重新定位與劃分。第1課時(shí)著重于算理的理解，通過(guò)數(shù)數(shù)引入，引導(dǎo)學(xué)生將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的每個(gè)乘數(shù)按照計(jì)數(shù)單位進(jìn)行拆分，并分別與另一個(gè)乘數(shù)拆分后的兩個(gè)數(shù)相乘，理解每次相乘的實(shí)際意義。同時(shí)，利用長(zhǎng)豎式呈現(xiàn)計(jì)算過(guò)程，了解豎式分層書(shū)寫(xiě)的原理，明確每個(gè)積的位值，并嘗試將長(zhǎng)豎式簡(jiǎn)化為短豎式。第2課時(shí)則側(cè)重于教材豎式的講解，引導(dǎo)學(xué)生逐步規(guī)范乘法豎式，感受情境意義、計(jì)算過(guò)程與豎式記錄的關(guān)聯(lián)，理解豎式中每一層計(jì)算步驟所表示的意義，形成算法，實(shí)現(xiàn)算理與算法的并重，以算理理解促進(jìn)算法建構(gòu)。下面以第1課時(shí)的教學(xué)實(shí)踐為例進(jìn)行探討。

三、聯(lián)結(jié)多元表征，融通算理算法

（一）算理的理解：基于運(yùn)算的本質(zhì)——數(shù)數(shù)

數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算在本質(zhì)上具有一致性，都是基于“對(duì)計(jì)數(shù)單位的操作”。數(shù)，是數(shù)出來(lái)的，是對(duì)數(shù)量的抽象。數(shù)的表達(dá)方式具有一致性，都是用“數(shù)字+計(jì)數(shù)單位”的方式表示。小學(xué)階段的運(yùn)算的對(duì)象都是數(shù)（整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)），都與數(shù)的計(jì)數(shù)單位相關(guān)，如整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加法都是計(jì)數(shù)單位的累加。因此，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，筆者將其回歸到數(shù)學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)——“數(shù)數(shù)”。

在教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)“進(jìn)行廣播操表演的學(xué)生一共有多少人”的問(wèn)題情境，借助直觀的點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“數(shù)一數(shù)”“圈一圈”的方式，自主將點(diǎn)子圖結(jié)構(gòu)化，直觀呈現(xiàn)幾個(gè)百、幾個(gè)十和幾個(gè)一。整個(gè)“數(shù)數(shù)”過(guò)程中，學(xué)生基于計(jì)數(shù)單位拆解兩位數(shù)乘兩位數(shù)，理解“一個(gè)因數(shù)的每一位都要與另一個(gè)因數(shù)的每一位”相乘的原理，以及每次乘得的積所表示的意義，為后續(xù)理解豎式中每個(gè)數(shù)的數(shù)值奠定基礎(chǔ)。

1.情境導(dǎo)入，明確任務(wù)

師：運(yùn)動(dòng)會(huì)中，同學(xué)們正在進(jìn)行廣播操表演，你們能數(shù)出一共有多少人嗎？

生：可以先數(shù)出每一行有多少人，再數(shù)出有幾行，最后使用乘法計(jì)算。

（數(shù)出每行有17人，共有13行，列出乘法算式：17×13）

2.嘗試計(jì)算，了解起點(diǎn)

師：兩位數(shù)乘兩位數(shù)，你們會(huì)算嗎？請(qǐng)嘗試計(jì)算。

（反饋學(xué)生的不同答案，如31、68、121、510、81、221等）

3.借助數(shù)數(shù)，深入理解算理

師：這么多答案，其中肯定有錯(cuò)誤的，你們覺(jué)得哪些答案一定是錯(cuò)的？

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由于每行和行數(shù)都超過(guò)10，小于100的得數(shù)必然是錯(cuò)誤的）

師：在判斷時(shí)，你們想到了100這個(gè)數(shù)。能否在圖上圈出100，并說(shuō)一說(shuō)你們是怎么想的？

生：每行有10人，這樣的10行就是100人。10個(gè)十就是1個(gè)百（如圖5）。

師：在數(shù)數(shù)時(shí)，我們先用“百”這個(gè)計(jì)數(shù)單位，接下來(lái)用“十”去數(shù)。你們能在紙上繼續(xù)圈出幾個(gè)十嗎？

（師生合作發(fā)現(xiàn)：圖5右上角一列有1個(gè)十，7列就有7個(gè)十；左下角一行有1個(gè)十，這樣的3行就是3個(gè)十）

生：最后剩下的每行有7人，共有3行，即3個(gè)7，也就是21個(gè)一。

師：在數(shù)數(shù)過(guò)程中，我們先用大的計(jì)數(shù)單位“百”去數(shù)，數(shù)出1個(gè)百；接著用“十”去數(shù)，數(shù)出7個(gè)十和3個(gè)十；最后用最小的計(jì)數(shù)單位“一”去數(shù)，數(shù)出21個(gè)一。將這四部分人數(shù)相加，得到總?cè)藬?shù)為221。

（二）算法的建構(gòu)：基于數(shù)數(shù)過(guò)程——長(zhǎng)豎式

相較于“兩位數(shù)加兩位數(shù)”只需相同數(shù)位上的數(shù)相加，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”涉及的思考更為復(fù)雜。核心問(wèn)題主要集中在以下兩點(diǎn)：①求 17×13 的積需要進(jìn)行幾步乘法操作？②每步乘法操作所得到的結(jié)果表示什么意義？在本教學(xué)內(nèi)容中，通過(guò)數(shù)數(shù)的方式得出了17×13的結(jié)果，并基于具體的情境和學(xué)生分步數(shù)數(shù)的思維模式，將數(shù)數(shù)的四個(gè)關(guān)鍵步驟記錄在長(zhǎng)豎式中。整個(gè)過(guò)程中，教師利用點(diǎn)子圖直觀地展示了思維的過(guò)程，凸顯了長(zhǎng)豎式記錄計(jì)算過(guò)程的功能。

在理解算理、建構(gòu)算法的過(guò)程中應(yīng)注重各種表征（多元表征）之間的轉(zhuǎn)換。直觀的點(diǎn)子圖可以被視為圖像表征，對(duì)點(diǎn)子圖圈畫(huà)操作是操作表征，抽象的長(zhǎng)豎式是符號(hào)表征，計(jì)算時(shí)的乘法口訣則是形式化表征。在豎式算理算法的教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)了多層次的表征轉(zhuǎn)換，旨在深化學(xué)生對(duì)算理的理解。具體包括：第一層次，探究了長(zhǎng)豎式中四個(gè)乘積的具體意義，并在點(diǎn)子圖和兩個(gè)乘數(shù)中標(biāo)記出來(lái)，實(shí)現(xiàn)了從符號(hào)表征到圖像表征、操作表征和形式化表征的轉(zhuǎn)換。第二層次，教師在兩個(gè)乘數(shù)上標(biāo)記出四次乘積，學(xué)生則根據(jù)這些標(biāo)記說(shuō)出乘法口訣，找到長(zhǎng)豎式中的對(duì)應(yīng)乘積，并在點(diǎn)子圖中進(jìn)行圈畫(huà)，這是形式化表征向操作表征、圖像表征、語(yǔ)言表征和符號(hào)表征的轉(zhuǎn)換。第三層次，通過(guò)與加法運(yùn)算進(jìn)行對(duì)比，以及分析學(xué)生典型錯(cuò)誤中乘積為“121”的圖像表征，進(jìn)一步深化對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法的理解。

1.將數(shù)數(shù)過(guò)程記錄在長(zhǎng)豎式中

師：我們通過(guò)數(shù)數(shù)知道了17×13的結(jié)果為221。如果我們將221直接記錄在豎式上（如圖6），你們能看出計(jì)算過(guò)程嗎？

生：我覺(jué)得只能知道結(jié)果，不知道算的過(guò)程。

生：我認(rèn)為要將四個(gè)部分的數(shù)數(shù)結(jié)果都記錄在豎式上，并將這四個(gè)數(shù)相加得到221（如圖7）。

2.深入理解數(shù)、圖式與運(yùn)算之間的聯(lián)系

在師生共同探究中，學(xué)生明確了長(zhǎng)豎式中的100、70、30、21分別是由哪兩個(gè)數(shù)相乘得到的，并在點(diǎn)子圖上找到對(duì)應(yīng)的實(shí)際意義。

3.對(duì)比兩位數(shù)加兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法差異

教師出示17＋13的豎式。

師：請(qǐng)大家思考一下，兩位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)加兩位數(shù)在算法上有什么不同？

生：兩位數(shù)加兩位數(shù)時(shí)，只需將相同數(shù)位上的數(shù)相加；而兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，需要將一個(gè)兩位數(shù)的每一位與另一個(gè)兩位數(shù)的每一位“互乘”。

（三）豎式的確立：基于多元的簡(jiǎn)化——短豎式

將長(zhǎng)豎式簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)豎式的過(guò)程，實(shí)際上是鼓勵(lì)學(xué)生自主“再創(chuàng)造”豎式的過(guò)程。首先，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生討論“長(zhǎng)豎式中哪些步驟可以省略？”即思考省略四個(gè)乘積中的“0”的位值意義。其次，教師指導(dǎo)學(xué)生將四個(gè)乘積按計(jì)算順序，形成兩個(gè)簡(jiǎn)化的乘積，并在點(diǎn)子圖上尋找兩個(gè)乘積間的內(nèi)在聯(lián)系。利用點(diǎn)子圖將乘積的位值與乘法程序化過(guò)程可視化，從而實(shí)現(xiàn)算理與算法的完美融合，彰顯豎式計(jì)算的“個(gè)性化”“多樣化”和“規(guī)范化”。最后，展示歷史上的多種算法，以學(xué)生的理解方式進(jìn)行解讀，實(shí)現(xiàn)古今算法的交融。

1.精簡(jiǎn)長(zhǎng)豎式

師：數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程的記錄需清晰與簡(jiǎn)潔。如果要使長(zhǎng)豎式更精簡(jiǎn)，你認(rèn)為哪些部分可以省略？理由是什么？

生：我覺(jué)得可以省略“100”后面的兩個(gè)“0”。

師：那么，省略兩個(gè)“0”后，“1”表示什么？你知道它是豎式中哪兩個(gè)數(shù)的乘積嗎？

生：這個(gè)“1”是由兩個(gè)乘數(shù)十位的“1”相乘得到的，10個(gè)十也就是1個(gè)百，要寫(xiě)在百位上。

（通過(guò)討論，發(fā)現(xiàn)積中的“70”和“30”末尾的“0”同樣可以省略，得到如圖8所示的長(zhǎng)豎式）

2.優(yōu)化長(zhǎng)豎式

生：我覺(jué)得這個(gè)長(zhǎng)豎式還能再簡(jiǎn)單一點(diǎn)，把百位的“1”和十位的“7”合并，就是“17個(gè)十”。

師：你能把“17個(gè)十”記錄在豎式上嗎？點(diǎn)子圖里的它是由哪兩部分組成的？在豎式里又是由哪兩個(gè)數(shù)相乘得到的？

（通過(guò)學(xué)生的討論，得到如圖9所示的簡(jiǎn)化豎式）

師：通過(guò)合并四個(gè)乘積，長(zhǎng)豎式就變短了，除了這種合并方法，還有其他合并方法嗎？

生：還可以把豎式里的百位“1”和十位“3”合并，就是“13個(gè)十”，把十位的“7”和個(gè)位的“21”合并，就是“91個(gè)一”（如圖10）。

（引導(dǎo)學(xué)生比較兩種算法的相同點(diǎn)，感受乘法運(yùn)算就是將其中一個(gè)乘數(shù)拆分，分別去乘另一個(gè)乘數(shù)，再將乘得的積相加）

3.解讀歷史上不同乘法的計(jì)算過(guò)程

師：今天我們學(xué)習(xí)了什么？一開(kāi)始你是怎么計(jì)算的？現(xiàn)在你知道怎么計(jì)算了嗎？

師：短短40分鐘，我們經(jīng)歷了人類歷史上幾千年的發(fā)展過(guò)程，看看圖中兩種歷史上的計(jì)算方法，你能看懂嗎？（出示圖11）

整數(shù)乘法豎式的分層書(shū)寫(xiě)是基于乘法意義對(duì)乘數(shù)拆分后運(yùn)算過(guò)程的記錄。不同的乘數(shù)拆分方式對(duì)應(yīng)不同的分層記錄形式，這是整數(shù)乘法算法多樣化的根本原因，同時(shí)也揭示了乘法豎式分層書(shū)寫(xiě)形式的本質(zhì)。綜上所述，本研究立足于計(jì)數(shù)單位，從數(shù)與運(yùn)算的一致性出發(fā)，將學(xué)習(xí)內(nèi)容放在縱貫古今中外多種算法脈絡(luò)之中，綜合考慮了知識(shí)的邏輯與歷史順序，以及學(xué)生的思維特點(diǎn)，旨在還原和重現(xiàn)教材中未曾涉及的不同歷史時(shí)期豎式計(jì)算的多種方法。教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“數(shù)數(shù)”的方式進(jìn)行乘法運(yùn)算，進(jìn)而將數(shù)數(shù)的過(guò)程記錄下來(lái)，形成長(zhǎng)豎式，并依據(jù)“既保留步驟又力求簡(jiǎn)潔”的原則來(lái)“再創(chuàng)造”豎式書(shū)寫(xiě)方式，從而實(shí)現(xiàn)算理與算法的融通，推動(dòng)乘法豎式從“一層”到“兩層”的自然進(jìn)階。

參考文獻(xiàn)：

［1］鞏子坤，史寧中，張丹. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

［2］潘麗云.小學(xué)數(shù)學(xué)教師提升數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的意義與路徑：以“豎式乘法”教學(xué)為例［J］. 教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（6）：14-18.

［3］何晴，劉瑩.“豎式”的知識(shí)屬性［J］. 教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（1/2）：4-7.

（1.浙江省杭州市臨平區(qū)文正小學(xué)

2.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院）