【摘 要】解決問題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分。教師以關(guān)鍵信息為抓手，從解決問題需探究真實情境中蘊含的關(guān)系出發(fā)，提出關(guān)鍵信息是構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的核心要素，強調(diào)通過關(guān)鍵信息的表征構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建由關(guān)鍵信息到數(shù)量關(guān)系的解決問題學(xué)習(xí)路徑。

【關(guān)鍵詞】解決問題；數(shù)量關(guān)系；關(guān)鍵信息

解決問題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是公認(rèn)的教學(xué)難度大、學(xué)生出錯多的內(nèi)容之一。教師就如何在引導(dǎo)學(xué)生理解問題、構(gòu)建解決問題的方法和策略感到困惑。因此，亟須突破這一教學(xué)困境，以提升教師的教學(xué)能力以及學(xué)生解決問題的能力。

一、解決問題需探究真實情境中蘊含的關(guān)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）強調(diào)，解決問題要“探索真實情境所蘊含的關(guān)系”。真實情境所蘊含的關(guān)系，實際上指隱藏在各類信息背后的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，對關(guān)系的理解即是對問題的理解。

在人教版教材一年級上冊“6～10的認(rèn)識和加減法”單元中，教材編排了“用加法解決實際問題”（如圖1），這是學(xué)生首次接觸解決問題的教學(xué)內(nèi)容，旨在引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)關(guān)系，自主構(gòu)建基于數(shù)量關(guān)系的解決問題模式。

教材呈現(xiàn)的是由一幅圖和一個問號組成的情境，讓學(xué)生觀察情境，發(fā)現(xiàn)隱含在其中的數(shù)量之間的關(guān)系，并運用這些關(guān)系來描述和表達(dá)一個數(shù)學(xué)故事。這個故事其實就是一個應(yīng)用問題：左邊有4只兔子，右邊有2只兔子，一共有幾只兔子？

將左邊的4只兔子和右邊的2只兔子合并，即可得出所要求的總數(shù)。這種合并關(guān)系在數(shù)學(xué)上被描述為加法，表述為4＋2＝6。這就是2022年版課標(biāo)指出的“數(shù)量關(guān)系主要是用符號（包括數(shù)）或含有符號的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律”。同時，它還強調(diào)“要在理解四則運算意義的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生理解現(xiàn)實問題中的加法模型是表示總量等于各分量之和”。

解決問題是一個以算式為工具、數(shù)學(xué)思維為核心的過程，涉及數(shù)學(xué)推理。上述案例中，從數(shù)量關(guān)系的視角審視情境，能清晰地揭示數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)，也就是教材呈現(xiàn)的由2個信息（條件）和1個問題組成的數(shù)學(xué)故事。

因此，在解決問題的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究真實情境中蘊含的關(guān)系，通過關(guān)系把握問題的結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學(xué)故事的內(nèi)涵。這有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而用數(shù)學(xué)思維去思考，用推理和運算解決問題。

二、關(guān)鍵信息是構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的核心要素

在引導(dǎo)學(xué)生探究真實情境所蘊含的關(guān)系，并把握問題結(jié)構(gòu)的過程中，關(guān)鍵信息起到至關(guān)重要的作用。關(guān)鍵信息不僅是構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的核心要素，還是學(xué)生探索問題、理解結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵所在。

關(guān)鍵信息指的是在真實情境中，對問題解決或決策制定產(chǎn)生重大影響的主要因素或條件，包括真實情境中的概念、規(guī)則或事件等。關(guān)鍵信息直接關(guān)聯(lián)著數(shù)量關(guān)系，對其的理解和把握，實際上就是對真實情境中數(shù)量關(guān)系的深化理解。

在人教版教材三年級上冊“歸總問題”中，例題為“6元一個的碗，媽媽買了6個。用這些錢買9元一個的碗，可以買幾個？”這一應(yīng)用問題中“用這些錢”就是關(guān)鍵信息。它揭示了問題背后的數(shù)量關(guān)系，即總價與數(shù)量之間的關(guān)系。真實情境描述了兩個數(shù)學(xué)事件，從邏輯層面分析，“這些錢”不僅表示第一個事件描述的“6元一個的碗，媽媽買了6個”的總價，同時也構(gòu)成了第二個事件“9元一個的碗可以買幾個ni9IS8NpjRbbymoZK9+lduoOzysjU6lXRIbFrx36BUQ=”的總價。這里的“這些錢”既是前一個事件的總價，也是后一個事件的總價。正是基于“這些錢”的同一性，兩個事件之間建立了數(shù)量關(guān)系：6×6＝36＝9×（ ）。因此，對于“這些錢”的把握和理解是解決問題的核心所在。只有理解了“這些錢”所蘊含的數(shù)量關(guān)系，才能用乘法和除法的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律，進(jìn)行推理和運算。

教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生深入理解和表征這些關(guān)鍵信息，運用數(shù)學(xué)方法分析問題，進(jìn)而自主構(gòu)建基于數(shù)量關(guān)系的問題解決模型。從真實情境中提煉與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，并確定解決問題的關(guān)鍵信息，是提升學(xué)生解決問題能力的重要途徑。

為尋找和確定真實情境中的關(guān)鍵信息，學(xué)生需要明確情境中蘊含的關(guān)系，認(rèn)識這些關(guān)系在構(gòu)建數(shù)量關(guān)系中的價值。例如，在解決“美術(shù)興趣小組中，女生有24人，女生人數(shù)比男生人數(shù)多[13]，男生有多少人？” 這類稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法問題時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生理解“多[13]”這一關(guān)鍵信息的含義，即“女生比男生多的人數(shù)是男生的[13]”。明確“多”的是什么，以及“多”的是誰的[13]，可幫助學(xué)生清晰地構(gòu)建女生和男生人數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，并據(jù)此建立乘法模型。學(xué)生只有基于這樣的理解，才能準(zhǔn)確建立兩個數(shù)量之間的關(guān)系，進(jìn)而利用數(shù)量關(guān)系解決問題。

三、通過關(guān)鍵信息的表征構(gòu)建數(shù)量關(guān)系

教師要精心設(shè)計學(xué)習(xí)活動，利用關(guān)鍵信息進(jìn)行表征，撬動學(xué)生數(shù)學(xué)思維的支點。學(xué)生只有對關(guān)鍵信息有了深刻的理解，才能將其轉(zhuǎn)化為解決問題的有效工具。

例如，在人教版教材五年級上冊“相遇問題”中，例題為“小云家和小林家相距4.5千米。周日早上9：00兩人分別從家里出發(fā)，騎自行車相向而行，小云每分鐘騎200米，小林每分鐘騎250米，兩人何時相遇？”這一應(yīng)用問題的“關(guān)鍵信息”在于理解相向而行中“相遇”的數(shù)學(xué)含義?！跋嘤觥敝傅氖切≡坪托×謨扇怂T行的路程之和等于全程4.5千米。為了幫助學(xué)生直觀理解這一關(guān)系，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生通過畫線段圖的方式，將兩人從開始騎行到相遇的全程展現(xiàn)出來。畫線段圖的目的在于清晰地展示兩人騎行路程與全程之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生可以通過數(shù)學(xué)算式或方程來表達(dá)這一數(shù)量關(guān)系，即小云騎行的路程+小林騎行的路程=4.5千米（如圖2）。

這種數(shù)量關(guān)系的清晰描述為學(xué)生提供了解決問題的依據(jù)。當(dāng)學(xué)生能夠基于關(guān)鍵信息對其進(jìn)行個性化的解讀和表征，通過探索、操作和交流，構(gòu)建出兩人騎行路程和全程之間的關(guān)系時，他們便找到了解決問題的關(guān)鍵。對這種“相遇問題”的解析可以應(yīng)用至其他類似的實際問題中，如兩人共同完成一項工程、兩人一起完成1000個字的打字任務(wù)或兩人一起運完一批貨等。這些現(xiàn)象都具有相同的結(jié)構(gòu)和含義，即兩人共同完成某項任務(wù)。從把握關(guān)鍵信息的本質(zhì)含義出發(fā)，并以“相遇問題”為例理解類似實際問題的內(nèi)在一致性，學(xué)生可以更有效地構(gòu)建解決問題的模型，實現(xiàn)從一道題到一類題的跨越。

四、構(gòu)建由關(guān)鍵信息到數(shù)量關(guān)系的解決問題學(xué)習(xí)路徑

從關(guān)鍵信息出發(fā)，直至解決問題，是一個呈現(xiàn)現(xiàn)實情境，從現(xiàn)實情境蘊含的豐富信息中提煉與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，識別并確定關(guān)鍵信息，運用數(shù)學(xué)方法對其進(jìn)行分析和表征，進(jìn)而利用數(shù)量關(guān)系達(dá)成目的的過程。

（一）發(fā)現(xiàn)問題，確定關(guān)鍵信息

從現(xiàn)實情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)一步探尋和確定關(guān)鍵信息，這體現(xiàn)了“發(fā)現(xiàn)問題”的能力。例如，在人教版教材三年級上冊“用估算解決問題”（如圖3）的教學(xué)中，其教學(xué)目標(biāo)在于使學(xué)生理解估算的價值，掌握用估算解決問題的基本策略，并能根據(jù)具體情境靈活應(yīng)用這些策略。

在問題情境中，“帶250元買門票夠嗎”揭示了所帶的錢和買門票所花的錢的關(guān)系，它是解決問題的關(guān)鍵信息。只有清晰理解和明確關(guān)鍵信息，才能進(jìn)一步解決問題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：“你們覺得這道題中最重要的信息是什么？”學(xué)生回答：“帶250元買門票夠嗎？”教師提問：“如何理解‘夠嗎’？”在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考：“你們認(rèn)為‘帶250元買門票夠嗎？’這一表述揭示了怎樣的數(shù)量關(guān)系？”

（二）分析問題，對關(guān)鍵信息進(jìn)行表征

分析問題，即深入分析關(guān)鍵信息的本質(zhì)、背景及其影響因素。準(zhǔn)確把握關(guān)鍵信息的含義與蘊含的關(guān)系，找出解決問題中的數(shù)量關(guān)系。對于關(guān)鍵信息 “帶250元買門票夠嗎”，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入剖析，采用畫示意圖、文字描述、算式符號等方式進(jìn)行表征，明確所帶的錢和應(yīng)花的錢的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，為解決問題提供有力的支持。教師可以設(shè)計如下學(xué)習(xí)活動。

（1）學(xué)習(xí)活動：表征關(guān)鍵信息

教師引導(dǎo)：你們能否用自己喜歡的方式（如畫線段圖、列表等）清晰地表達(dá)這一關(guān)系？并提示學(xué)生，完成表征后，可以輕聲與同桌交流，分享自己的表達(dá)方式和對關(guān)鍵信息的理解。

（2）作品分享：理解關(guān)鍵信息

教師引導(dǎo)：來看看同學(xué)們的作品，他們說清楚誰和誰的關(guān)系了嗎？（如表1）

教師進(jìn)一步引導(dǎo)：觀察這些作品，你們發(fā)現(xiàn)了什么共同點？（都是把實際的價格和250元進(jìn)行比較）

這種數(shù)量關(guān)系的可視化處理，實際上是將兩個量的大小進(jìn)行直接的比較。通過這一學(xué)習(xí)活動，學(xué)生對關(guān)鍵信息進(jìn)行個性化的表達(dá)和描述，為解決問題奠定了堅實的基礎(chǔ)。

（三）解決問題，應(yīng)用關(guān)鍵信息

學(xué)生通過對關(guān)鍵信息的解讀和表征，構(gòu)建了要帶的錢和要花的錢的關(guān)系，即本題的數(shù)量關(guān)系。運用數(shù)量關(guān)系使問題得以解決。

【教學(xué)片段1】

師：同學(xué)們在對實際的價格和250元進(jìn)行比較時，發(fā)現(xiàn)這個實際的價格很重要。那么，我們該用什么方法來計算實際的價格呢？請你們在學(xué)習(xí)單的空白處列出算式。

（學(xué)生獨立進(jìn)行列式計算）

師：說一說，你們是怎么利用這個關(guān)系來列算式的？

展示方法1：29×8=232（元）。

展示方法2：30×8=240（元）。

師：兩種方法有什么區(qū)別？為什么把29估成30也能解決問題呢？

生：因為按30人算，買門票需要240元，所以29人買門票250元肯定夠。

生：因為 29小于30，30×8=240，29×8小于240，所以29×8小于250 。

師：也對，30人買門票需要240元，所以29人買門票250元肯定夠。不管是估算還是精算，都能解決問題。那你更喜歡哪種方法？

生：我喜歡用估算的方法。

師：看來大家都很喜歡估算，為什么呢？

師生總結(jié)：如果想知道夠不夠，用30×8這樣的估算方法就能判斷出來。生活中遇到類似的問題，用估算就能解決問題。

對數(shù)量關(guān)系的明確描述和直觀表達(dá)，是解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。學(xué)生所展示的各類算式，都是基于數(shù)量關(guān)系進(jìn)行的數(shù)學(xué)表達(dá)。有了這一數(shù)量關(guān)系模型，就擁有了解決問題的依據(jù)。

（四）拓展問題，強化關(guān)鍵信息

學(xué)生通過對問題情境中關(guān)鍵信息的解讀和表征，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，并據(jù)此進(jìn)行運算和推理。那iBsKzrrJx6poxPgMvWd8Hw==么，在面對其他的問題情境時，學(xué)生應(yīng)如何有效解決問題呢？教師需通過拓展問題情境，進(jìn)一步強化學(xué)生對關(guān)鍵信息的表征和應(yīng)用，提升他們基于關(guān)鍵信息解決問題的能力。

【教學(xué)片段2】

師：回顧剛才的學(xué)習(xí)過程，我們是怎么解決問題的？

生：通過讀題找到關(guān)鍵信息。

生：先運用畫圖、文字描述來表示數(shù)量關(guān)系，再借助數(shù)量關(guān)系列算式計算。

（教師出示生活中的問題，如圖4所示）

師：看看這三道生活中的問題，仔細(xì)讀一讀，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：三道題都是比較關(guān)系的。

師：你們能用已掌握的方法來解決這些問題嗎？請你們?nèi)我膺x一道題，先想想數(shù)量之間的關(guān)系，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系解決問題。

（先讓學(xué)生獨立思考，再全班進(jìn)行交流反饋）

拓展和遷移問題情境，有助于學(xué)生思維的發(fā)展，幫助他們深化對這類問題的結(jié)構(gòu)化理解，形成基于關(guān)鍵信息的思考路徑，構(gòu)建解決問題的應(yīng)用模型。

綜上所述，在教學(xué)實踐中將關(guān)鍵信息作為構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的核心，通過明確關(guān)鍵信息，將其作為激發(fā)學(xué)生思維的觸發(fā)點，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中深入理解和表征關(guān)鍵信息，確定其中蘊含的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生更好地基于數(shù)量關(guān)系分析問題和解決問題，進(jìn)一步發(fā)展“四能”，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］周曉林.關(guān)鍵問題：一節(jié)課里的種子［M］. 南昌：江西教育出版社，2021.

［2］曹培英，張曉蕓.跨越斷層，走出誤區(qū)：小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)研究［M］. 上海：上海教育出版社，2021.

（浙江省溫州市鹿城區(qū)教育研究院）

*本文系2024年浙江省教研規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)建構(gòu)合理問題課堂教學(xué)模式的區(qū)域?qū)嵺`樣本”（課題編號：G202422）的研究成果。