【摘 要】乘法分配律是小學四年級數(shù)學課程的重要內(nèi)容，是小學數(shù)學的教學難點?；谧C據(jù)進行教學設(shè)計，可以有效提高教學的科學性。故按照循證教學設(shè)計模式，收集與整理乘法分配律教學設(shè)計的理論和實踐證據(jù)，對乘法分配律進行基于證據(jù)的教學過程設(shè)計。

【關(guān)鍵詞】乘法分配律；循證教學；教學設(shè)計

乘法分配律既是小學數(shù)學中多位數(shù)乘法、簡便運算等內(nèi)容的算理依據(jù)，也是中學數(shù)學中合并同類項、提取公因式等內(nèi)容的知識基礎(chǔ)，還是高等數(shù)學中推導矩陣性質(zhì)等內(nèi)容的指導性原理。乘法分配律是小學數(shù)學中的教學難點。有調(diào)查表明，將近95%的學生認為乘法分配律是運算律中最難學的。［1］127同時，部分教師也認為，乘法分配律比較難教。［2］91基于證據(jù)進行教學決策和實施教學行為，可使教學更有科學性。這里的“證據(jù)”是指經(jīng)教育教學研究證實的，能夠有效促進教學或規(guī)避教學問題的憑據(jù)。采用循證教學設(shè)計，對乘法分配律的教學進行深入探索，有助于師生雙方共同突破這一教學難點。

一、乘法分配律循證教學設(shè)計的理論和實踐證據(jù)

為了基于證據(jù)進行教學設(shè)計，需要深入探究教學理論證據(jù)和教學實踐證據(jù)。教學理論證據(jù)為教學實踐證據(jù)的搜集與整理提供了明確的方向，而教學實踐證據(jù)中所揭示的特定教學實踐困境，反過來又能指引教學理論證據(jù)的再找尋。如此，形成了以證據(jù)為導向，教學理論證據(jù)和教學實踐證據(jù)相互作用，共同指向教學過程的循證教學設(shè)計模式（如圖1）。下面結(jié)合循證教學設(shè)計模式，對乘法分配律循證教學設(shè)計的理論和實踐證據(jù)予以說明。

（一）乘法分配律教學設(shè)計的理論證據(jù)

加涅根據(jù)信息加工理論構(gòu)建了學習過程的基本模式，并強調(diào)教學需要通過合理安排可靠的外部條件來支持、激活和促進學習的內(nèi)部機制。［3］教學設(shè)計屬于學習的外部條件。依據(jù)加涅提出的教學事件與內(nèi)部學習過程的對應關(guān)系，筆者設(shè)置了指引乘法分配律教學設(shè)計理論證據(jù)搜集的問題鏈：①如何設(shè)計教學情境以更好地吸引學生的注意力？②如何確立學習目標以激發(fā)學生的學習熱情？③學生需要從長時記憶中提取哪些與乘法分配律相關(guān)的知識經(jīng)驗？④學生應從情境中提取哪些關(guān)鍵信息？⑤在理解乘法分配律時，學生可能會遇到哪些認知障礙？⑥在運用乘法分配律時，學生可能會遭遇哪些困難？⑦如何幫助學生更好地鞏固乘法分配律？⑧如何引導學生遷移應用乘法分配律解決實際問題？

（二）乘法分配律教學設(shè)計的實踐證據(jù)

以“乘法分配律”為主題和關(guān)鍵詞，對公開發(fā)表的教學設(shè)計（實錄）和教材比較等文獻進行篩選，以此作為乘法分配律教學設(shè)計實踐證據(jù)的重要來源。這一證據(jù)庫匯聚了來自全國各地的豐富教學資源和教材分析，為乘法分配律的教學設(shè)計提供了全面的視角。結(jié)合理論證據(jù)提出的問題鏈，筆者對這些實踐證據(jù)進行了系統(tǒng)整理，總結(jié)出促進有效學習的經(jīng)驗和可能干擾學習的教學問題。同時，也為進一步完善乘法分配律教學設(shè)計的理論支撐提供重要的參考。具體的乘法分配律教學設(shè)計理論和實踐證據(jù)，詳見下文的循證教學過程設(shè)計。

二、乘法分配律的循證教學過程設(shè)計

本研究以人教版教材四年級下冊“乘法分配律”為教學內(nèi)容，通過深入剖析乘法分配律與核心素養(yǎng)（推理意識、模型意識、符號意識、創(chuàng)新意識等）之間的內(nèi)在聯(lián)系，制定明確的教學目標。在此基礎(chǔ)上，圍繞“情境引入—探究新知—課堂練習—課堂小結(jié)—拓展思考”的流程設(shè)計教學，并在每個環(huán)節(jié)，結(jié)合具體的教學內(nèi)容闡明這樣設(shè)計的理論和實踐證據(jù)。

（一）情境引入

實踐證據(jù)表明，由于缺乏相關(guān)的生活經(jīng)驗，尤其是對挖坑、種樹、抬水、澆樹等植樹的分工缺乏了解，學生普遍對教材中關(guān)于植樹的情境感到陌生，因而無法產(chǎn)生探究的欲望。［4］45同時，學生容易誤解情境信息（如把“4人負責挖坑、種樹”理解為“4個人挖坑，4個人種樹”），導致列出錯誤的算式。［5］15因此，教師需要對教材中的情境進行適當?shù)恼{(diào)整。

問題1：請用綜合算式，呈現(xiàn)以下三道題目的計算過程（如圖2）。

通過學生的嘗試和教師的引導，可得出以下三個綜合算式（等式）：

14×（2+10）=14×2+14×10

（6+3）×3=6×3+3×3

175×4+125×4=（175+125）×4

【設(shè)計意圖】在學生學習乘法分配律之前，教材已多次通過實際例子展示了乘法分配律的應用，幫助學生初步建立了分配意識。這些例子分別為二年級上冊的乘加、乘減，三年級上冊的多位數(shù)乘一位數(shù)，三年級下冊的兩位數(shù)乘兩位數(shù)、長正方形組合求面積，以及四年級上冊的三位數(shù)乘兩位數(shù)、行程中的相遇問題，等等。為了幫助學生更好地理解和應用乘法分配律，筆者對這些已學過的數(shù)學知識進行歸類，設(shè)計了上述三種學生熟悉的舊知情境引入教學，引導學生感知學習乘法分配律能幫助他們更加系統(tǒng)地理解這些“先行應用”的知識，從而使學生形成學習期待。而要求學生列出綜合算式，則是為了防止學生過分依賴分步計算，從而使其更易于發(fā)現(xiàn)和理解乘法分配律的規(guī)律。

（二）探究新知

1.發(fā)現(xiàn)乘法分配律的規(guī)律

實踐證據(jù)表明，直接告知學生乘法分配律的教學方式，其效果普遍不佳。通過單一等式來揭示一個共性規(guī)律，對學生來說不容易理解。［4］45基于發(fā)現(xiàn)學習理論，教師應設(shè)計相應的學習活動，讓學生親自經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)過程。［6］113因此，教師應提供相應的學習材料，讓學生通過觀察發(fā)現(xiàn)乘法分配律的規(guī)律。

問題2：仔細觀察三個等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

14×（2+10）=14×2+14×10

（6+3）×3=6×3+3×3

175×4+125×4=（175+125）×4

教師應引導學生關(guān)注“兩個數(shù)的和”與“一個數(shù)”之間的乘積關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)其背后的規(guī)律，即兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加。

【設(shè)計意圖】三個等式分別囊括乘法分配律的左右分配律及其逆運算。通過對這三個綜合算式的比較，學生可以發(fā)現(xiàn)三個綜合算式的數(shù)學結(jié)構(gòu)，即“兩個數(shù)的和”與“一個數(shù)”之間的乘積關(guān)系。

2.理解乘法分配律及其成因

實踐證據(jù)表明，學生無法較好地理解乘法分配律的意義。［2］92根據(jù)探究學習理論，知識不應被當作絕對真理教給學生，而應作為有證據(jù)的結(jié)論。［6］135因此，教師可鼓勵學生自主舉例子進行論證，以深化對乘法分配律及其成因（即是什么和為什么）的理解。

問題3：你能再舉幾個類似的例子嗎？并說明為什么等式兩邊相等。

教師可以引導學生通過計算驗證、“幾個幾”的算理驗證、點子圖的數(shù)數(shù)驗證和幾何圖形的面積驗證等多種方式說明等式左右兩邊相等。

【設(shè)計意圖】論證說明所舉等式兩邊相等的過程，不僅有助于學生建構(gòu)數(shù)學模型，還能培養(yǎng)他們因果推斷的意識。

3.乘法分配律的表示方法

乘法分配律的文字定義：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加，這叫作乘法分配律。基于此，教材用字母a、b、c表示乘法分配律，引導學生感悟乘法分配律模型的普適性，從而培養(yǎng)學生的模型意識，使他們認識到符號表達運算規(guī)律具有一般性，滲透符號意識。然而，實踐證據(jù)表明，由于字母a、b、c較為抽象，學生在使用公式進行計算時，容易混淆乘法分配律與乘法結(jié)合律［1］127，這與使用相似的字母a、b、c，導致二者區(qū)分度較低有一定的關(guān)系。為此，教師需要引導學生對教材的表示方法進行調(diào)整。

問題4：用字母怎么表示乘法分配律？

教師應引導學生將教材中的字母a、b、c更換為字母m、a、b，并用字母m表示“一個數(shù)”，用字母a+b表示“兩個數(shù)的和”，從而區(qū)分乘法分配律與乘法結(jié)合律以及“一個數(shù)”與“兩個數(shù)的和”。

據(jù)此，乘法分配律可以表示為：m×（a+b）=m×a+m×b或（a+b）×m=a×m+b×m。

【設(shè)計意圖】通過字母a、b的緊密性，確?！皟蓚€數(shù)的和”作為一個整體思想得以延續(xù)。同時，m在公式中的不變性使分配過程具象化，即m穿透括號分別與a、b作用。［7］這種方法降低了學生的認知負荷，突破了將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言表述乘法分配律的實踐難題。

（三）課堂練習

涉及乘法分配律的變式應用具有高度的靈活性，往往會給學生帶來運用上的困難。因此，筆者結(jié)合實踐證據(jù)，設(shè)計了一系列需要對比辨析的練習題，幫助學生突破易錯點和易混淆點。

問題5：（1）下面哪些算式是正確的？正確的畫“√”，錯誤的畫“×”，并說明理由。

56×（19+28）=56×19+28 （ ）

32×（7×3）=32×7+32×3 （ ）

（2）計算題。

計算99×101。

計算99×57+99。

【設(shè)計意圖】設(shè)計上述練習題旨在解決乘法分配律應用中以下幾類易錯點和易混淆點：①正向應用乘法分配律公式的易錯點，即a×（b+c）=a×b+c［8］；②與乘法結(jié)合律混淆的易錯點；③需靈活拆分數(shù)的乘法分配律簡便運算難點［2］92；④需識別省略或補上乘數(shù)1的乘法分配律逆運算難點［1］127。

（四）課堂小結(jié)

實踐證據(jù)表明，學生課后遺忘乘法分配律的速度較快。［4］45本研究采取結(jié)構(gòu)化整合的教學策略，引導學生沿著“數(shù)學思維—數(shù)學結(jié)論—數(shù)學價值觀念”的結(jié)構(gòu)化整合路徑，對乘法分配律的學習進行回顧與反思，旨在幫助學生構(gòu)建緊密關(guān)聯(lián)且可持續(xù)發(fā)展的乘法分配律圖式。

問題6：本節(jié)課經(jīng)歷了怎樣的探究過程？得到了什么數(shù)學結(jié)論？運用了哪些數(shù)學思想方法？體會到了哪些數(shù)學價值觀念？

【設(shè)計意圖】通過一系列問題，在幫助學生鞏固乘法分配律相關(guān)知識的同時，讓學生反思乘法分配律的發(fā)現(xiàn)過程及其中蘊含的思想方法，從而感悟數(shù)學的思維訓練價值、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新價值和學科育人價值。

（五）拓展思考

學生在掌握乘法分配律后，會產(chǎn)生“有除法分配律嗎？有三個數(shù)的和與一個數(shù)相乘的規(guī)律嗎？”［5］15等疑問。為了滿足學生對未知的探索需求，并借此機會提供強化練習，特設(shè)計以下拓展思考內(nèi)容。

問題7：（1）在（ ）里填上適當?shù)臄?shù)。

167×2+167×3+167×5=167×（ ）

28×225?2×225?6×225=（ ）×225

39×8+6×39?39×4=（ ）×（ ）

*（2）如果m、a、b代表任何數(shù)字，符號□和■代表+、?、×、÷中的任何一個，等式m□（a■b）=m□a■m□b什么時候成立？

總是（ ） 從不（ ） 有時當（ ）。

原因： 。

【設(shè)計意圖】選擇教材中的※號題，適度拓展乘法分配律的應用范圍，編制一些更具推廣意義的一般性思考題。鼓勵學生勇于探索一些開放性、非常規(guī)的數(shù)學問題，這有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和數(shù)學素養(yǎng)。

雖然基于證據(jù)的教學設(shè)計從理論層面確保了教學決策的科學性，但是其實際教學效果仍需經(jīng)過實踐的檢驗。期望廣大一線教師能夠積極踐行循證教學理念，并通過教學反思與再實踐，不斷充實和完善教學證據(jù)庫。

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（1.上海師范大學教育學院

2.內(nèi)江師范學院教學科學研究院）

*本文系2020年四川省教育科研資助金項目重點課題“差錯診斷與差錯控制——數(shù)學教與學解困新路探究”（課題編號：SCJG20A049）的研究成果。趙思林為本文的通訊作者。