【摘 要】平行與相交既是表述兩條直線位置關(guān)系的兩個(gè)基本概念，又是描述圖形特征的關(guān)鍵要素。教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生通過觀察平行四邊形，從中分離出“平行”這一概念，進(jìn)一步經(jīng)歷找平行、畫平行、判斷平行，以及旋轉(zhuǎn)、平移與捆綁等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完善對平行的認(rèn)識，并在此基礎(chǔ)上，在生活中、平面圖形和立體圖形中分別尋找平行，體會平行多元的存在形態(tài)。

【關(guān)鍵詞】認(rèn)知規(guī)律；概念結(jié)構(gòu)；平行與相交；位置關(guān)系

平行與相交既是表述兩條直線位置關(guān)系的兩個(gè)基本概念，又是描述圖形特征的關(guān)鍵要素。在先前的學(xué)習(xí)中，通過識別長方形、正方形、三角形、平行四邊形等圖形，學(xué)生對線段間的位置關(guān)系有了初步的認(rèn)識。因此，學(xué)習(xí)平行與相交的概念，既是對已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，也為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形的特征打下了基礎(chǔ)?；谶@樣的認(rèn)識，在具體教學(xué)中，如何選擇合適的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生利用已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行觀察、比較和分析，以辨認(rèn)平行與相交？如何有層次地結(jié)合具體例子，給“平行”“平行線”和“互相平行”下定義？應(yīng)該設(shè)計(jì)哪些操作活動(dòng)，讓學(xué)生根據(jù)“平行線”的特征，運(yùn)用多種方法畫平行線？帶著這樣的思考，筆者進(jìn)行了如下教學(xué)實(shí)踐。

一、基于概念名稱，直觀感知平行

平行既是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，也常用于日常交流。從平行中的“平”字來看，它包含“平平的”的含義。在學(xué)生熟悉的平行四邊形這一概念中，便蘊(yùn)含了“平行”的元素。那么，學(xué)生是如何通過平行四邊形這一概念來理解平行的呢？筆者將以此為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生直觀地感知平行。

（一）通過名稱，感知平行現(xiàn)象

教師出示圖1，請學(xué)生觀察后回答：“你認(rèn)識這個(gè)圖形嗎？”在實(shí)際教學(xué)中，有學(xué)生指出這是一個(gè)四邊形，教師進(jìn)一步追問：“為什么這么說？”學(xué)生解釋因?yàn)樗伤臈l邊組成。有學(xué)生指出它是平行四邊形，教師特別強(qiáng)調(diào)“平行”這一部分，并追問：“為什么又叫‘平行——四邊形’？”學(xué)生解釋因?yàn)樗恰捌狡降摹保瓷舷聝蓷l邊是平行的。

通常，平行通過生活中的原型來引出，并用“……不相交”這樣的句式來概括。即先認(rèn)識“不相交”的現(xiàn)象，再將這種現(xiàn)象定義為“平行”。因此，筆者嘗試從學(xué)生已有的概念名稱——平行四邊形中的“平行”的解釋入手，引導(dǎo)學(xué)生感知平行的表象。

（二）借助工具，畫不同平行線

顯然，此時(shí)學(xué)生對平行的理解是基于“平行”的字面含義形成的直觀認(rèn)識。為了深入理解平行的本質(zhì)特征，教師需要借助工具，畫出不同的平行線。

教師出示一塊長方形模型（如圖2），引導(dǎo)學(xué)生觀察其上下兩條邊是否平行。學(xué)生確認(rèn)平行后，教師再將兩條邊用粉筆描到黑板上。接著，教師將長方形模型斜放，再次提問：“這兩條邊還平行嗎？”學(xué)生觀察后指出，即便傾斜，這兩條邊仍然平行。教師再次在黑板上用長方形模型畫出斜的一組平行線（如圖3）。

（三）結(jié)合反例，概括平行特征

結(jié)合圖2、圖3中的兩組平行線的例子，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察圖1中的平行四邊形。除了“平平的”一組平行線外，學(xué)生還指出存在一組“斜斜的”平行線。教師順勢讓學(xué)生用手勢分別演示“平平的”和“斜斜的”的平行線。

接著，教師在兩組平行線的旁邊畫出一組直線（如圖4），并請學(xué)生判斷它們是否平行。學(xué)生經(jīng)過比較，認(rèn)為它們不平行，并解釋如果將兩條直線延長，它們最終會相交。教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行驗(yàn)證，得到圖5。

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧，在平行四邊形中發(fā)現(xiàn)了兩組平行線，在黑板上也畫出了兩組平行線，并且還發(fā)現(xiàn)了像圖4中這樣的兩條直線最終會相交。啟發(fā)學(xué)生思考：我們這里說的平行在研究什么？怎樣叫作“平行”呢？

最后，組織學(xué)生進(jìn)行交流討論，形成圖6所示的板書，并總結(jié)：在研究兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，存在兩種情況，一種是相交，另一種是平行，平行即兩條直線不相交。在歸納出平行的特點(diǎn)后，再用字母分別表示平行中的兩條直線。

通過對平行四邊形中“平行”概念的多輪解釋，學(xué)生逐步概括出平行線的特點(diǎn)，認(rèn)識到平行是指兩條直線的位置關(guān)系。然而，目前得到的平行線概念尚不完善，需要通過更多有針對性的例子來進(jìn)一步完善。

二、結(jié)合操作活動(dòng)，完善平行概念

“不相交的兩條直線”就是平行線。顯然，這一定義需要補(bǔ)充一個(gè)前提條件——這兩條直線必須在同一平面內(nèi)。判斷兩條直線是否互相平行，除了延長直線的方法，還可以采用平移的方法進(jìn)行驗(yàn)證。為了利用平移驗(yàn)證平行線，教師引導(dǎo)學(xué)生使用捆綁鉛筆的方法來畫平行線。

（一）利用教具，明晰概念范疇

在從長方形模型中描出不同位置的平行線，并從中概括出平行的特點(diǎn)后，教師繼續(xù)操作教具，將表示其中一條直接的木條繞中間的連接點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，形成圖7中右側(cè)的樣子。然后引導(dǎo)學(xué)生判斷：此時(shí)兩條直線是否仍然平行？學(xué)生觀察后指出：“不平行?！苯處熥穯枺骸澳敲此鼈儠嘟粏?？”學(xué)生回答：“不會相交?！?/p>

教師根據(jù)學(xué)生的回答提出問題：“為什么這兩條直線既不相交，也不平行呢？”學(xué)生觀察后指出，因?yàn)檫@兩條直線的方向不同。也有學(xué)生進(jìn)一步指出，它們不在同一個(gè)平面內(nèi)。教師根據(jù)學(xué)生的回答，在圖6中補(bǔ)充了“在同一個(gè)平面內(nèi)”這一前提條件。

（二）驗(yàn)證平行，完善認(rèn)識結(jié)構(gòu)

教師請學(xué)生觀察圖1中的兩組平行線，并討論可以使用哪些方法來驗(yàn)證這兩組線段是平行線。學(xué)生指出可以通過延長線段來觀察是否相交，如果不相交就是平行。教師依據(jù)學(xué)生的回答，分別延長兩組線段，發(fā)現(xiàn)沒有相交（如圖8）。教師追問：“請仔細(xì)觀察，是否還有其他方法可以驗(yàn)證它們平行呢？”

在實(shí)際教學(xué)中，有學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)，可以將其中的一條直線平移，看是否可以與另一條直線重合。教師根據(jù)學(xué)生回答，將直線AB向下平移，與直線CD重合，并總結(jié)：直線AB平行于直線DC；然后將直線CD向上平移，與直線AB重合，并同樣總結(jié)：直線CD平行于直線AB。進(jìn)而綜合兩句話得出：直線AB與直線CD互相平行使學(xué)生直觀地認(rèn)識“互相”的含義。

（三）依據(jù)特征，創(chuàng)造工具畫平行

小學(xué)階段并未涉及使用平移三角板的方法畫平行線，但教師可以利用平行的特征，引導(dǎo)學(xué)生通過捆綁兩支鉛筆的方式畫平行線，這也是教材練習(xí)十第5題所倡導(dǎo)學(xué)生學(xué)會畫平行線的方法。在本教學(xué)環(huán)節(jié)，教師鼓勵(lì)學(xué)生自己創(chuàng)造出這種畫平行線的工具。

教師首先請學(xué)生回顧黑板上的兩組平行線是怎樣畫成的。學(xué)生指出，這些平行線是通過描出長方形模型的兩條對邊而形成的。隨后，教師提出了一個(gè)新挑戰(zhàn)：如果沒有這樣的長方形模型，僅使用兩支鉛筆和三角板，你能夠畫出一組平行線嗎？教師讓學(xué)生先獨(dú)立嘗試，之后再進(jìn)行交流和反饋。學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)，可以采用圖9的方式畫出平行線。

在成功畫圖后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：為什么用這一種方法可以畫平行線？學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，由于兩個(gè)筆尖之間的距離保持不變，因此畫出的兩條直線之間的距離處處相等，從而確保了它們不會相交。

通過旋轉(zhuǎn)、平移與捆綁等操作活動(dòng)，學(xué)生對平行的理解得到加深，特別是認(rèn)識到“互相平行”的概念可以通過動(dòng)態(tài)的平移現(xiàn)象來解釋。

三、探索多元平行，拓展存在形態(tài)

“平行”這一概念在日常生活及各類圖形中以多種形態(tài)存在。在教學(xué)中，學(xué)生需依據(jù)定義進(jìn)行抽象思考，以感受平行在日常生活中的多樣存在形態(tài)。

（一）結(jié)合圖式，尋找生活中的平行

教師出示圖10，請學(xué)生說一說圖中畫的是什么，并描出其中的平行線。學(xué)生獨(dú)立完成后進(jìn)行反饋。在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生列舉生活中有關(guān)平行的例子，尤其是教室內(nèi)的實(shí)例。

（二）觀察圖形，尋找平面中的平行

教師出示圖11的兩個(gè)圖形，要求學(xué)生識別并寫出圖形中的平行線，并說一說有什么發(fā)現(xiàn)。學(xué)生先獨(dú)立完成，再進(jìn)_{301d6e98f150363fe172a7c9b55599c90591207667f9960d55d0c5bd5ba5df30}行交流反饋。在確認(rèn)學(xué)生理解后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察a∥b、b∥c、c∥d的情況（圖略），并說一說自己的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生討論后，教師概括：如果a∥b、b∥c，那么 c∥d，這三條直線兩兩平行。從而讓學(xué)生體會到平行線的傳遞性。

（三）發(fā)揮想象，發(fā)現(xiàn)立體中的平行

在立體圖形中尋找平行線，需要學(xué)生發(fā)揮想象，構(gòu)建新的平面圖形。教師出示圖12所示的立體圖形，要求學(xué)生找一找與邊AB平行的其他邊。學(xué)生獨(dú)立完成后進(jìn)行交流評析。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：AB∥EF、AB∥DC、AB∥GH。教師引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：AB和GH不在同一個(gè)平面內(nèi)，怎么它們也互相平行呢？學(xué)生提出可以通過連接A、G和B、H來構(gòu)建平面ABHG。教師根據(jù)學(xué)生的回答，用課件動(dòng)態(tài)演示（如圖13）。接著，教師請學(xué)生觀察，在AB、EF、DC、GH這四條邊中，還有哪兩條邊也是互相平行的。學(xué)生回答后，教師概括：AB、EF、DC、GH互相平行。基于這一發(fā)現(xiàn)，教師要求學(xué)生找一找，在立體圖形中還有哪些邊也是互相平行的。學(xué)生獨(dú)立完成后校對答案。

在進(jìn)一步的探討中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：在立體圖形中，除了直線之間的平行關(guān)系，是否還存在“面”與“面”之間的平行呢？學(xué)生經(jīng)過觀察指出，上面與下面、前面與后面、左面與右面這些相對的面都是平行的。教師進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生通過延長兩兩平行的線段來驗(yàn)證這一結(jié)論，圖14是驗(yàn)證上面與下面兩個(gè)面平行的示意圖。

本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐為教師提供了重要啟示。圖形的認(rèn)識經(jīng)歷從整體感知到特征概括的過程。對于“平行”“相交”等概念的學(xué)習(xí)，需要從圖形整體認(rèn)識出發(fā)，對圖形要素進(jìn)行特征分析，從而為深入理解圖形特征打下堅(jiān)實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)。因此，對于這些概念的學(xué)習(xí)，可以從圖形的整體認(rèn)識中分離出來，通過觀察、比較、操作等數(shù)學(xué)活動(dòng)，逐步完善對概念的理解。

（1.浙江省湘湖師范學(xué)校附屬小學(xué)

2.浙江省杭州市余杭區(qū)百丈鎮(zhèn)中心小學(xué)）