【摘 要】數(shù)學(xué)游戲的外在形式表現(xiàn)為感性，其數(shù)學(xué)內(nèi)涵體現(xiàn)為理性。以數(shù)學(xué)游戲“尋找聰明的猴王”的教學(xué)為例，在游戲設(shè)計(jì)過(guò)程中借助主題式的情境，對(duì)游戲元素和數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合。該游戲?qū)儆谔骄啃陀螒?，其組織方式遵循“理解規(guī)則，大膽猜想—舉例驗(yàn)證，概括結(jié)論—遷移應(yīng)用，逆向思考”的原則。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用畫圖呈現(xiàn)、列表歸納、符號(hào)表征規(guī)律等方法，促進(jìn)學(xué)生思維能力的進(jìn)階。

【關(guān)鍵詞】探究型游戲；探索規(guī)律；推理意識(shí)

數(shù)學(xué)游戲的外在表現(xiàn)形式雖然充滿感性色彩，但其數(shù)學(xué)內(nèi)涵卻基于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S。“尋找聰明的猴王”這一游戲?qū)儆谔骄啃蛿?shù)學(xué)游戲，這類游戲通過(guò)情境中的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生運(yùn)用邏輯推理來(lái)分析和解決問(wèn)題，其目的在于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和解決問(wèn)題的能力。

一、游戲解讀與定位

（一）游戲概述

數(shù)學(xué)游戲“尋找聰明的猴王”的主題源自約瑟夫問(wèn)題（也稱“約瑟夫環(huán)原理”），要求游戲者借助二進(jìn)制原理來(lái)解決問(wèn)題。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，教師將數(shù)學(xué)內(nèi)容嵌入到引人入勝的問(wèn)題情境中，采用敘述故事的方式，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與游戲，引導(dǎo)他們探索問(wèn)題。

【故事情境】在猴山中，年邁的老猴王即將退位，需要從群猴中選出一只聰明的猴子擔(dān)任新猴王?？己说捻?xiàng)目是確定位置，在一場(chǎng)報(bào)數(shù)淘汰的游戲中，能夠留到最后的猴子將成為新猴王。

【游戲規(guī)則】猴山上的1999只猴子按順序排列并編號(hào)，“一二一二”地進(jìn)行報(bào)數(shù)。每次報(bào)到“一”的猴子即被淘汰，剩余的猴子在下一輪重新報(bào)數(shù)，重復(fù)此過(guò)程，直至最終僅剩一只猴子，即為猴王，如圖1所示。

該游戲?qū)儆谔骄啃陀螒颍浣M織方式遵循“理解規(guī)則，大膽猜想—舉例驗(yàn)證，概括結(jié)論—遷移應(yīng)用，逆向思考”的原則。

由于學(xué)生直接猜測(cè)1999只猴子的結(jié)果過(guò)于復(fù)雜，教師可引導(dǎo)學(xué)生采取“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)方法，從較小的數(shù)開始嘗試。在數(shù)量較少的情況下，誰(shuí)會(huì)是最后的勝者？任何猜想都需經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，因此，學(xué)生須通過(guò)畫圖枚舉、表格列舉歸納等方法進(jìn)行驗(yàn)證。首先，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步發(fā)現(xiàn)猜想的不足之處，并進(jìn)一步探尋“找猴王”背后的規(guī)律。其次，使用符號(hào)表示一般規(guī)律，構(gòu)建解決問(wèn)題的路徑。最后，在遷移應(yīng)用環(huán)節(jié)，從猴子數(shù)量到猴王編號(hào)的正向映射，以及從猴子編號(hào)逆向推理出猴子數(shù)量的范圍，學(xué)生將初步感知分段函數(shù)的特征以及指數(shù)函數(shù)的變化趨勢(shì)。

（二）目標(biāo)定位

數(shù)學(xué)游戲“尋找聰明的猴王”被整合進(jìn)五年級(jí)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)計(jì)劃中，旨在讓學(xué)生在探究過(guò)程中經(jīng)歷問(wèn)題解決的全過(guò)程。

1.理解規(guī)則，培養(yǎng)規(guī)則意識(shí)

游戲的開展基于對(duì)游戲規(guī)則的理解。教師通過(guò)角色扮演、想象驗(yàn)證、畫圖表達(dá)等方式幫助學(xué)生掌握游戲規(guī)則，并在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)則意識(shí)。

2.自主探究，培養(yǎng)推理意識(shí)

通過(guò)自主探究和歸納推理，進(jìn)一步感知數(shù)學(xué)的一般規(guī)律，建立簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)模型，并探索解決問(wèn)題的策略。學(xué)生通過(guò)辨析比較和舉例驗(yàn)證，推理出猴子數(shù)量與猴王編號(hào)之間的聯(lián)系。

3.優(yōu)化方法，鍛煉逆向思維

在開展數(shù)學(xué)游戲的過(guò)程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生尋找更為簡(jiǎn)潔的解決方式，進(jìn)行逆向思考，從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)律出發(fā)，建立相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以此鍛煉學(xué)生的逆向思維能力。

二、游戲?qū)嵤┻^(guò)程

（一）理解規(guī)則，大膽猜想

教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的游戲情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。對(duì)游戲規(guī)則的理解，學(xué)生需經(jīng)歷“理解—提煉—簡(jiǎn)化”三個(gè)階段。

【教學(xué)環(huán)節(jié)1】

1. 大膽猜想，初步理解規(guī)則

師：請(qǐng)大家大膽地猜一猜1999只猴子循環(huán)報(bào)數(shù)，站在幾號(hào)的猴子會(huì)留到最后呢？

生：我選1999號(hào)，因?yàn)槭亲詈笠粋€(gè)編號(hào)，可能會(huì)留到最后。

生：按照“一二一二”報(bào)數(shù)的規(guī)則，編號(hào)是奇數(shù)的猴子會(huì)報(bào)“一”，1999號(hào)第一輪就會(huì)被淘汰，我猜猴王是1998號(hào)。

生：我猜可能是1000號(hào)，因?yàn)槊看味紩?huì)淘汰一半左右，猴王的編號(hào)可能會(huì)接近中間數(shù)。

師：究竟最終的猴王是幾號(hào)呢，你們打算怎么研究？

生：我們可以用小棒表示猴子，通過(guò)擺一擺來(lái)模擬選猴王的過(guò)程。

生：這里可能蘊(yùn)含著一個(gè)規(guī)律，但1999只猴子數(shù)量較多，我們可以減少一些數(shù)量來(lái)看看有什么規(guī)律。

師：當(dāng)數(shù)量比較多或問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，我們可以采用“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)方法，不妨先從8只猴子開始嘗試。

2. 借助演示法，熟悉規(guī)則

（教師請(qǐng)8個(gè)學(xué)生上臺(tái)來(lái)模擬游戲，學(xué)生排好隊(duì)后，并逐一編號(hào)）

師：大家猜一猜，誰(shuí)會(huì)留到最后？我們先來(lái)試試，開始報(bào)數(shù)。請(qǐng)報(bào)到“一”的同學(xué)出列。大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生：報(bào)“一”的猴子的編號(hào)都是奇數(shù)，所有編號(hào)是奇數(shù)的猴子在第一輪就會(huì)被淘汰。

師：思考第二輪會(huì)淘汰哪些編號(hào)為偶數(shù)的猴子？為什么？大家可以用畫一畫、寫一寫或表格羅列的方法尋找誰(shuí)留到最后，并想一想這個(gè)結(jié)果背后的數(shù)學(xué)規(guī)律。

生：在第一輪淘汰后，所有編號(hào)為偶數(shù)的猴子全部留了下來(lái)，它們的編號(hào)是②④⑥⑧。它們重新報(bào)數(shù)，報(bào)“一”的第1位和第3位被淘汰，報(bào)“二”的第2位和第4位留了下來(lái)（如圖2）。

生：每次重新報(bào)數(shù)的過(guò)程，相當(dāng)于給猴子們重新編號(hào)。每輪報(bào)數(shù)都是把奇數(shù)位置上的猴子淘汰掉，把偶數(shù)位置上的猴子留下來(lái)。

“尋找聰明的猴王”這個(gè)數(shù)學(xué)游戲的規(guī)則簡(jiǎn)單明了，但還是存在難懂之處：當(dāng)留下的猴子編號(hào)全是偶數(shù)時(shí)，哪些猴子會(huì)被淘汰？教師借助演示法，讓學(xué)生參與到主題式情境中理解規(guī)則。在演示的過(guò)程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生基于操作進(jìn)行思考，用畫一畫、寫一寫或列表格的方法呈現(xiàn)思考過(guò)程，并進(jìn)一步理解游戲規(guī)則。

（二）舉例驗(yàn)證，概括結(jié)論

數(shù)學(xué)游戲的探索過(guò)程是發(fā)展思維能力的過(guò)程。對(duì)于從形象思維向抽象思維過(guò)渡的小學(xué)生而言，探究需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程。游戲經(jīng)歷了一個(gè)“從20以內(nèi)數(shù)的列舉—超過(guò)20的數(shù)的推理—表格歸納”的過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生使用符號(hào)化語(yǔ)言表達(dá)思考過(guò)程，逐步揭示其中的規(guī)律和聯(lián)系。

【教學(xué)環(huán)節(jié)2】

1.初次嘗試，假設(shè)推理

師：先前假設(shè)了8只猴子，留到最后的是8號(hào)位置。如果是10只猴子、20只猴子呢？請(qǐng)?jiān)?0以內(nèi)的數(shù)中任選一個(gè)，先預(yù)測(cè)最后留下的位置編號(hào)，再把思考過(guò)程記錄下來(lái)。

生：我選的是10只猴子。我猜想是10號(hào)留下來(lái)，但驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)不對(duì)，10號(hào)在第二輪報(bào)數(shù)時(shí)就出局了。

生：我選擇了15只猴子。預(yù)測(cè)是10號(hào)留下，最后是8號(hào)留下來(lái)，原因是8號(hào)在每一輪報(bào)數(shù)中，都位于偶數(shù)位置上（如圖3）。

生：當(dāng)有20只猴子時(shí)，經(jīng)過(guò)四輪淘汰后，留下的是16號(hào)。

師：10只猴子、15只猴子，數(shù)量不同，為什么最后留下的都是8號(hào)，而20只猴子留下的卻是16號(hào)呢？

教師通過(guò)假設(shè)20以內(nèi)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生思考“猴子數(shù)量不同但猴王位置相同”和“猴子編號(hào)是8號(hào)和16號(hào)不同”的原因。學(xué)生通過(guò)兩次辨析討論，借助互動(dòng)式學(xué)習(xí)，在辨析“變”與“不變”中，充分感悟每一輪淘汰篩選的過(guò)程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.拓展假設(shè)，歸納推理

師：當(dāng)猴子的數(shù)量大于20只時(shí)，你能否找到猴王的編號(hào)？請(qǐng)你自由擬定猴王的數(shù)量，預(yù)測(cè)猴王的編號(hào)，再通過(guò)畫圖或列表驗(yàn)證你的猜想。

（先讓學(xué)生自主嘗試，再組織學(xué)生反饋?zhàn)髌?，如圖4所示）

生：我想驗(yàn)證猴子數(shù)量為23只時(shí)，猴王編號(hào)是否也是16號(hào)。我畫了一張圖，每次淘汰時(shí)，我都重新對(duì)猴子進(jìn)行編號(hào)，奇數(shù)位的猴子都被淘汰，剩下的是16號(hào)，我的猜想是正確的。

生：我預(yù)測(cè)猴子數(shù)量為84只時(shí)，留下的猴子編號(hào)為64號(hào)。84÷2=42，第一輪報(bào)數(shù)后留下了42只猴子，這些猴子的編號(hào)都是2的倍數(shù)；第二輪報(bào)數(shù)后留下的猴子編號(hào)都是4的倍數(shù)；第三輪報(bào)數(shù)后留下的猴子編號(hào)都是8的倍數(shù)……當(dāng)?shù)诹唸?bào)數(shù)后留下的猴子編號(hào)是64的倍數(shù)。

教師鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，推理“超過(guò)20只猴子”時(shí)的情況。學(xué)生可以借助圖式驗(yàn)證推理結(jié)果，也可以通過(guò)觀察圖式中的信息，提取出算式進(jìn)行推理。

3.表格匯總，抽象推理

師：剛才我們都是自由假設(shè)一個(gè)具體數(shù)量進(jìn)行探究，現(xiàn)在將大家探究的情況匯聚在一張表格中，你們能否繼續(xù)找出猴王的位置編號(hào)，并想一想其中的奧秘？

（教師出示表1）

（呈現(xiàn)表格，讓學(xué)生自主探究，并進(jìn)行交流討論）

生：我發(fā)現(xiàn)猴王編號(hào)為2號(hào)、4號(hào)、8號(hào)、16號(hào)、32號(hào)，編號(hào)依次乘2，之后應(yīng)該是32×2=64號(hào)了。

生：猴子數(shù)量與猴王編號(hào)之間存在聯(lián)系。我推測(cè)當(dāng)猴子數(shù)量為32～63只時(shí)，猴王編號(hào)均為32號(hào)。

學(xué)生“補(bǔ)全表格”的過(guò)程是培養(yǎng)推理能力的過(guò)程。他們?cè)诒砀裰懈惺軘?shù)據(jù)的變化，尋找數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，得出結(jié)論并對(duì)其原因進(jìn)行解釋。學(xué)生掌握了合情推理的方法，能夠找到“猴子數(shù)量與猴王編號(hào)”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（三）遷移應(yīng)用，逆向思考

在解決1999只猴子的問(wèn)題時(shí)，盡管前述方法能夠解決問(wèn)題，但過(guò)程頗為復(fù)雜。當(dāng)正向思考“已知猴子數(shù)量，求猴王編號(hào)”受阻時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“已知猴王編號(hào)，求猴子數(shù)量的范圍”。逆向思考可以顯著提高解決問(wèn)題的效率。

【教學(xué)環(huán)節(jié)3】

師：通過(guò)推理活動(dòng)，大家已經(jīng)掌握了確定猴王編號(hào)的方法。在確定猴王編號(hào)時(shí)，可以借助畫圖、列式、列表等方法。設(shè)想一下，使用這些方法研究1999只猴子的過(guò)程，你們有什么感覺？

生：雖然這些方法可以解決問(wèn)題，但這張圖太長(zhǎng)了，算式太多了，表格太大了。

師：猴王編號(hào)有規(guī)律嗎？與猴子數(shù)量有什么聯(lián)系？

（先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組討論并匯報(bào)）

生：猴王編號(hào)為2號(hào)、4號(hào)、8號(hào)、16號(hào)、32號(hào)，后續(xù)編號(hào)我們已經(jīng)推理并驗(yàn)證了是64號(hào)，即這些編號(hào)依次乘2。

生：當(dāng)猴王編號(hào)是2號(hào)時(shí)，對(duì)應(yīng)的猴子數(shù)量為2～3只；猴王編號(hào)是4號(hào)時(shí)，對(duì)應(yīng)的猴子數(shù)量為4～7只……猴王編號(hào)是幾號(hào)，對(duì)應(yīng)的猴子數(shù)量就從幾開始。

（根據(jù)學(xué)生的回答，逐步抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律，如圖5所示）

師：通過(guò)初步嘗試，自主假設(shè)，表格匯總，我們發(fā)現(xiàn)了猴王編號(hào)和猴子數(shù)量之間的聯(lián)系。那么，它們之間究竟存在怎樣的聯(lián)系呢？聰明的猴王應(yīng)該站在哪個(gè)位置才能確保留到最后？

生：對(duì)于1999只猴子，其數(shù)量處在1024～2047這個(gè)范圍中，位于<I：＼教學(xué)月刊社暑期工作（祖后寧）＼小學(xué)版＼小學(xué)數(shù)學(xué)＼小學(xué)數(shù)學(xué)2024-10＼教學(xué)月刊-小學(xué)數(shù)學(xué)2024第10期內(nèi)芯＼Image＼image6_4.png>和<I：＼教學(xué)月刊社暑期工作（祖后寧）＼小學(xué)版＼小學(xué)數(shù)學(xué)＼小學(xué)數(shù)學(xué)2024-10＼教學(xué)月刊-小學(xué)數(shù)學(xué)2024第10期內(nèi)芯＼Image＼image7_3.png>之間，因此猴王應(yīng)站在1024號(hào)位置，這樣才能確保留到最后。

生：猴王編號(hào)為 <I：＼教學(xué)月刊社暑期工作（祖后寧）＼小學(xué)版＼小學(xué)數(shù)學(xué)＼小學(xué)數(shù)學(xué)2024-10＼教學(xué)月刊-小學(xué)數(shù)學(xué)2024第10期內(nèi)芯＼Image＼image8_3.png> ，猴王編號(hào)對(duì)應(yīng)的猴子數(shù)量范圍從這個(gè)數(shù)開始。

從策略的探究、提煉到應(yīng)用，從規(guī)律遷移到規(guī)律應(yīng)用，體現(xiàn)了邏輯推理的價(jià)值。教師將數(shù)學(xué)知識(shí)融入“尋找聰明的猴王”這一特定的游戲情境中，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。教學(xué)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)思考過(guò)程、描述推理過(guò)程、提煉關(guān)鍵信息，構(gòu)建簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)模型，并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用畫圖呈現(xiàn)、列表歸納、符號(hào)表征規(guī)律等方法，從而促進(jìn)了學(xué)生思維能力的進(jìn)階。

（1.浙江省臺(tái)州市椒江區(qū)洪家中心小學(xué)

2.浙江省臺(tái)州市椒江區(qū)中山小學(xué)）