【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在小學(xué)階段的第二和第三學(xué)段新增了“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容。通過對尺規(guī)作圖源流的考察，可以發(fā)現(xiàn)尺規(guī)作圖過程中蘊含著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗拓S富的想象，將其應(yīng)用于探索性學(xué)習(xí)活動的設(shè)計，對于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維以及數(shù)學(xué)的語言具有特殊的課程價值。同時，小學(xué)階段尺規(guī)作圖的教育價值還體現(xiàn)在其基礎(chǔ)性上，為學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖；推理；想象；課程價值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）在小學(xué)階段的第二和第三學(xué)段新增了“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容，一線教師在教學(xué)中面臨的問題有：如何理解這一內(nèi)容及其課程價值？如何在教學(xué)中實現(xiàn)這些課程價值？尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)史上具有悠久的歷史，其相關(guān)內(nèi)容極為豐富，并貫穿于多個學(xué)段的課程內(nèi)容之中，小學(xué)階段的教學(xué)如何凸顯其基礎(chǔ)性？本文將圍繞上述問題展開討論。

一、背景

“尺規(guī)作圖”的起源可追溯到古希臘歐幾里得（Euclid，約公元前330年—公元前275年）的《幾何原本》。在當(dāng)時，人們認(rèn)為直線與圓（球）是構(gòu)成世界萬物最基本、最完美的圖形，因此，他們期望通過使用制作直線與圓的簡單工具，通過推理與想象去建構(gòu)并描繪無限的世界。以柏拉圖（Plato，公元前427年—公元前347年）為代表的唯心主義哲學(xué)家，不相信直觀所見的真實，他們認(rèn)為感觀所見的、暫時的、不完美的世界必須被抽象的、永恒的、完美的世界所取代［1］。

《幾何原本》秉承并沿襲這樣的思想，強調(diào)所有的命題都應(yīng)基于已知為真的命題進(jìn)行推演，因此需要確立最初的邏輯起點。在《幾何原本》的第一卷中，開篇闡述了23個定義（Definition）、5條公設(shè)（Postulate）和5條公理（Axiom）。定義指的是所用術(shù)語的意義，例如，定義15：“圓由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點與這條線上任何一個點所連成的線段都相等。”定義20：“三角形中，三條邊相等的稱等邊三角形，兩條邊相等的稱等腰三角形，各邊都不相等的稱不等邊三角形?！狈謩e描述了圓以及等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形的概念。

公理與公設(shè)則是不證自明、公認(rèn)為正確的命題，二者的區(qū)別在于普適性的差異。公理不僅適用于幾何領(lǐng)域，也適用于其他科學(xué)領(lǐng)域，因此公理也被稱為“共通觀念（Common Notions）”。例如，第一條和第二條公理描述了量與量之間的相等關(guān)系。

l公理1：等于同量的量彼此相等。

l公理2：等量加等量，其和仍相等。

公設(shè)則是幾何學(xué)內(nèi)部不證自明的事實，與尺規(guī)作圖直接相關(guān)，它規(guī)定了如何從給定的對象構(gòu)造出確定的對象。例如，《幾何原本》第一卷中的前3條公設(shè)如表1所示。

綜上所述，《幾何原本》第一卷中的定義、公設(shè)和公理構(gòu)成了使用直尺和圓規(guī)作基本圖形的基礎(chǔ)。定義指向概念的意義，公設(shè)說明了如何作圖，而公理則解釋了為什么這樣作圖是正確的1。如果將尺規(guī)作圖視為一種游戲，那么定義、公設(shè)和公理就是游戲過程中必須遵守的規(guī)則，正是這些規(guī)則確保了尺規(guī)作圖成為一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程。下面，以2022年版課標(biāo)中的例26為例，詳細(xì)闡釋這一推理過程。

二、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?/p>

2022年版課標(biāo)中的例26所提及的“作一個給定邊長的等邊三角形”，實際上是《幾何原本》第一卷中的第一個命題。該命題在不同中文譯本中的表述存在差異，現(xiàn)將兩種表述列舉如下：

l表述1：已知一條線段可以作一個等邊三角形。［2］

l表述2：在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。［3］

二者的區(qū)別在于，是否將給定線段作為所作等邊三角形的一條邊。兩種中譯本都依據(jù)同一英文底本，即英國科學(xué)史學(xué)家希思（Thomas little Heath，1861—1940））的英譯評注本《歐幾里得原本13卷》，其中命題1的英文表述為：“On a given finite straight line to construct an equilateral triangle.”［4］

《幾何原本》第一卷中的命題1可以理解為：若給定一條線段，那么可利用這條線段作為三角形的一條邊，進(jìn)而作出另外兩條等長的邊，形成等邊三角形。構(gòu)造過程的每一步是否可行及正確，都需依據(jù)定義、公設(shè)或公理進(jìn)行驗證。為了清晰描述這一過程，采用表格的形式進(jìn)行展示（如表2）。

推理的最終結(jié)論是“三角形ABC為等邊三角形”，為此必須闡明三角形的三條邊是否存在，以及為什么相等。推理過程包括四個操作步驟和三個作為結(jié)論的判斷，每一步操作需說明為什么可行的依據(jù)，每一個結(jié)論都需理由作為依據(jù)以闡明為什么正確。因此，可以說尺規(guī)作圖的過程本質(zhì)上是推理過程，推理的嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)為“言必有據(jù)”，表2右側(cè)列出的依據(jù)均源自事先規(guī)定的定義、公設(shè)和公理，因此可以相信最終結(jié)論的正確性。

對上述過程稍加變化，能夠?qū)崿F(xiàn)2022年版課標(biāo)中例32的“給定三條線段作三角形”的作法，其中包括對三角形三邊關(guān)系的探討（限于篇幅，讀者可自行完成詳細(xì)的作圖和證明過程）。所有這些均屬于“給定線段作三角形”的問題范疇。將此過程逆向操作，便成為2022年版課標(biāo)中例29的作圖問題：“把三角形的三條邊依次畫到一條直線上。”下面用表3詳細(xì)展示這一作圖過程。

表3中的作圖過程與表2略有不同，其中第一步“將線段AB向兩端延長”的依據(jù)是“公設(shè)2”；結(jié)論3中DE的長度等于三角形的周長，其依據(jù)為“公理2”。

綜上所述，尺規(guī)作圖的過程實際上是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程。從教育的角度來看，這種推理無疑有助于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和論證習(xí)慣。然而，也應(yīng)注意這種嚴(yán)謹(jǐn)性可能帶來的問題。表2與表3中的作圖及證明過程具有明顯的形式化與程序化特征，只要遵循“模仿記憶、按部就班、依次執(zhí)行”的原則，便能確保無誤。這種嚴(yán)謹(jǐn)性可能會對教學(xué)產(chǎn)生消極影響，教師的“教”可能簡化為“講解—示范—留作業(yè)”，學(xué)生的“學(xué)”自然成為“傾聽—模仿—做練習(xí)”，從而使得尺規(guī)作圖變成一種無理解的操作過程。因此，在將尺規(guī)作圖納入數(shù)學(xué)課程與教學(xué)時，應(yīng)避免僅注重推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時應(yīng)充分彰顯其開放性的特征，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮豐富的想象進(jìn)行探索。

三、豐富的想象

2022年版課標(biāo)中的例26特別強調(diào)：“（尺規(guī)作圖）教學(xué)中，可以讓學(xué)生發(fā)揮想象力，用直尺和圓規(guī)構(gòu)建各種可以實現(xiàn)的圖形。”這表明尺規(guī)作圖不僅是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程，也是發(fā)揮想象力、進(jìn)行探索的過程。因此，對尺規(guī)作圖的作法和結(jié)果，教師應(yīng)持有開放性的認(rèn)識，即“作法未必唯一，結(jié)果可以拓展”。

“作法未必唯一”意味著作圖的過程和方法具有多樣性。在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展中，許多數(shù)學(xué)家對尺規(guī)作圖方法的多樣性進(jìn)行了深入探索。比如17世紀(jì)丹麥幾何學(xué)家喬治·摩爾（Georg Mohr，1640—1697）與18世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家洛倫佐·馬斯凱羅尼（Lorenzo Mascheroni，1750—1800）分別獨立發(fā)現(xiàn)并證明了一個結(jié)論：每一個能夠用直尺和圓規(guī)作出的圖形都可以摒棄直尺，僅用圓規(guī)作出。這一發(fā)現(xiàn)后來被稱為“摩爾-馬斯凱羅尼定理（Mohr-Mascheroni Theorem）”［5］，當(dāng)然這些內(nèi)容已經(jīng)超出了小學(xué)數(shù)學(xué)課程的范疇。下面重點談?wù)劤咭?guī)作圖結(jié)果的拓展性。

尺規(guī)作圖結(jié)果的拓展性至少體現(xiàn)在兩個方面：一是“目標(biāo)圖形未必唯一”；二是“最終結(jié)論可以延伸”。以2022年版課標(biāo)中的例26為例，目標(biāo)圖形等邊三角形并非唯一，還可以作出與三角形ABC關(guān)于線段AB對稱的另外一個等邊三角形ABD（如圖1）。

基于這樣的作圖結(jié)果，通過進(jìn)一步的想象，可以使得最終結(jié)論得以延伸。從點C向點D作出線段CD，將會與線段AB形成一個交點M，直觀上可以看出這個點是線段AB的中點（小學(xué)階段依靠直觀看出即可），實現(xiàn)了將一條線段平均分為兩段，即M點將線段AB二等分（如圖2）。

如果將線段二等分或在線段上確定中點視為“基本作圖”，則可以以此為邏輯起點，進(jìn)一步探索幾何圖形的諸多性質(zhì)。例如，對于任意大小、形狀各異的三角形，在其三邊上分別作出中點，并將這些中點與對面頂點相連，可以發(fā)現(xiàn)這三條線段相交于同一點（如圖3）。

這樣三線共點的“點”也叫三角形的重心（又叫質(zhì)心），是中學(xué)數(shù)學(xué)與物理課程的重要內(nèi)容。因此，學(xué)生在小學(xué)階段經(jīng)歷尺規(guī)作圖的探索，對于與中學(xué)課程內(nèi)容的銜接具有積極意義。

再以17—18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家皮埃爾·伐里農(nóng)（Pierre Varignon，1654—1722）發(fā)現(xiàn)的著名結(jié)論為例：在任意四邊形四條邊上分別作出中點，并用線段連接，構(gòu)成一個內(nèi)部的四邊形，無論原來四邊形是什么形狀，該內(nèi)部的四邊形一定是平行四邊形［6］（如圖4）。

此類現(xiàn)象揭示了“變中的不變”的規(guī)律性，通常所說的“探索規(guī)律”實質(zhì)上是在千變?nèi)f化的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)這種“變中的不變”的規(guī)律［7］。因此，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮想象力對目標(biāo)圖形和最終結(jié)論進(jìn)行延伸，實際上是在經(jīng)歷探索規(guī)律的過程。

綜上所述，簡單的“線段二等分”作圖可應(yīng)用于多種幾何圖形性質(zhì)的探索，這種應(yīng)用性可視為作圖結(jié)果的“延伸”，即拓展性的縱向向度。除此之外，還可從橫向向度對作圖結(jié)果進(jìn)行“延展”：既然給定一維的線段可以利用尺規(guī)作圖二等分，那么是否可以三等分、四等分……同樣，對于平面圖形（如三角形、長方形、平行四邊形等）的面積以及平面中的一個角，是否可以通過尺規(guī)作圖實現(xiàn)類似的等分？

在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮想象力，經(jīng)歷此類縱向的延伸與橫向的延展的拓展性思考，不僅有助于學(xué)生對于相關(guān)課程內(nèi)容的認(rèn)識與理解，同時使得數(shù)學(xué)課程內(nèi)容超越教材的局限，為學(xué)生發(fā)揮想象力提供廣闊的空間和無限的可能性。

四、小學(xué)階段“尺規(guī)作圖”的基礎(chǔ)性

如前所述，尺規(guī)作圖歷史悠久、源遠(yuǎn)流長、內(nèi)容豐富，其中蘊含著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗拓S富的想象。這無疑可以作為尺規(guī)作圖的教學(xué)目標(biāo)。同時，教師應(yīng)當(dāng)重視小學(xué)階段尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)性，主要體現(xiàn)在對作圖工具的全面認(rèn)識與熟練使用上。

在尺規(guī)作圖中，“直尺（Straightedge）”與如今用于測量長度的“尺子（Ruler）”有所不同，直尺是無刻度的，僅用于構(gòu)造直線或線段，不具備測量長度的功能，因此尺規(guī)作圖的過程不涉及數(shù)值及其計算，而是純粹的幾何形與量的構(gòu)造過程。

古希臘時期的圓規(guī)與現(xiàn)代圓規(guī)也有區(qū)別，現(xiàn)代圓規(guī)由三個部分組成：一是固定圓心的針尖；二是用于描繪軌跡的筆尖；三是可以調(diào)整針尖與筆尖距離的裝置，即圓的半徑。這種圓規(guī)具有準(zhǔn)確調(diào)整與確定半徑的特點，其對應(yīng)的英文名稱為“Fixed Compass（中譯：固定的圓規(guī)）”，如圖5（1）所示。古希臘時期的圓規(guī)是由線繩捆綁筆尖形成的，作圓時需固定線繩的某一點作為圓心，然后旋轉(zhuǎn)筆尖描繪圓的軌跡，其特點是難以精確確定圓心到筆尖的距離（即半徑），這種圓規(guī)的英文名稱為“Collapsing Compass（中譯：折疊的圓規(guī)）”［8］，如圖5（2）所示。

小學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)的初始階段，首先應(yīng)安排“認(rèn)識直尺和圓規(guī)”的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過操作活動對不同直尺和圓規(guī)進(jìn)行比較，從而發(fā)現(xiàn)它們的異同。在圓規(guī)的使用教學(xué)中，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生探索“一筆畫出”整個圓的方法，這主要JzeKpQBMhhA0uAdTZpj19A==包括起筆位置和筆尖的運行方向。通常的做法是從靠近身體的位置起筆，沿著順時針方向旋轉(zhuǎn)筆尖，“先自內(nèi)而外，再自外而內(nèi)”（如圖6）。

在認(rèn)識直尺和圓規(guī)的基礎(chǔ)上，就需要通過經(jīng)常性的練習(xí)逐步達(dá)到熟練使用的目的。為了實現(xiàn)經(jīng)常性的練習(xí)，可以將直尺和圓規(guī)視為具身學(xué)習(xí)活動的學(xué)具，將其應(yīng)用于教科書中相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)。如在2022年版課標(biāo)的第29頁、第30頁和第35頁分別提及了小學(xué)階段尺規(guī)作圖的相關(guān)內(nèi)容，并附有相應(yīng)的例題（如表4）。

實際上，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中還有許多其他內(nèi)容同樣適合用尺規(guī)作圖進(jìn)行教學(xué)。以“平行四邊形的認(rèn)識”為例，如果提供一個不完整的平行四邊形，如圖7（1）所示，即給定兩條邊及其夾角，讓學(xué)生利用尺規(guī)作圖來“補全”平行四邊形。

學(xué)生只需“以B為圓心，AC為半徑”以及“以C為圓心，AB為半徑”分別作圓（只需作出局部圓弧），便能找到兩個圓的交點D，如圖7（2）所示。接著，使用直尺連接CD和BD，即可實現(xiàn)“補全”平行四邊形，如圖7（3）所示。在作圖過程中，通過圓的半徑處處相等的特性，學(xué)生能夠直觀感受到平行四邊形對邊相等的性質(zhì)。

總之，尺規(guī)作圖不僅是畫圖，其英文表達(dá)為“Geometric Construction（中譯：幾何建構(gòu)）”，這里的“建構(gòu)（Construction）”包含雙重含義：其一，是基于對現(xiàn)實世界事物的感知和想象，在思維中構(gòu)建圖形；其二，是將思維中的圖形通過直尺和圓規(guī)的使用轉(zhuǎn)化為可視化的圖像，從而實現(xiàn)抽象思維的具體化。因此，尺規(guī)作圖在溝通現(xiàn)實世界與思維世界之間起到了橋梁的作用，它既是對現(xiàn)實世界具體事物的抽象化，又是將思維中的抽象圖形具體化的過程。作圖過程中所蘊含的思維活動，既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，也有豐富的想象。將尺規(guī)作圖應(yīng)用于探索性學(xué)習(xí)活動的設(shè)計，對于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維以及數(shù)學(xué)的語言具有特殊的課程價值。同時，尺規(guī)作圖的教育價值還體現(xiàn)在其基礎(chǔ)性上，小學(xué)階段全面認(rèn)識并熟練使用作圖工具，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）