摘 要：以函數(shù)單元為例，選擇懸鏈線作為研究主題，聚焦函數(shù)的核心概念和思想方法，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)計(jì)與實(shí)施. 在課題實(shí)施前要精心選擇主題、設(shè)計(jì)驅(qū)動性問題；在課題實(shí)施過程中，要明確教師的角色定位；在課題探究時(shí)，要關(guān)注信息技術(shù)的合理使用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究活動；微課題；懸鏈線

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）05-0017-06

引用格式：張程艷. 以微課題開展數(shù)學(xué)探究活動的教學(xué)實(shí)踐與思考［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：17-21，31.

數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論. 以微課題的形式開展數(shù)學(xué)探究活動，可以讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的全過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成獨(dú)立思考與合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

本文以研究與懸鏈線相關(guān)的函數(shù)[fx=aex+be-x]為例，嘗試探索以微課題形式開展數(shù)學(xué)探究活動的有效性.

一、內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容分析

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型. 在研究函數(shù)時(shí)，通常遵循“背景—定義—性質(zhì)—應(yīng)用”的路徑逐層展開. 而對于函數(shù)性質(zhì)的研究又可以從幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)視角展開. 因此，本課題的研究重點(diǎn)在于通過探究函數(shù)[fx=aex+be-x]的性質(zhì)與圖象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納研究函數(shù)的一般路徑和方法，進(jìn)而體會數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用價(jià)值.

2. 學(xué)情分析

在進(jìn)行該課題研究之前，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象的研究，具有一定的研究方法和研究路徑的經(jīng)驗(yàn)積累. 但是目標(biāo)函數(shù)[fx=aex+][be-x]的解析式的代數(shù)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，學(xué)生將面臨以下困難：能否通過對代數(shù)結(jié)構(gòu)的分析進(jìn)行結(jié)論的猜想；能否通過代數(shù)運(yùn)算對猜想進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬚撟C；面對含有參數(shù)的問題，能否進(jìn)行邏輯清晰的分類討論；能否借助信息技術(shù)手段開展數(shù)學(xué)探究；等等. 同時(shí)，學(xué)生沒有進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動的經(jīng)驗(yàn)，沒有經(jīng)歷過完整的“選題—開題—做題—結(jié)題”課題研究過程. 因此，本課題研究需要以學(xué)生自主探究和教師指導(dǎo)相結(jié)合的方式開展.

3. 目標(biāo)設(shè)置

（1）通過完成對函數(shù)[fx=aex+be-x]的探究，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、猜想與論證的過程，總結(jié)研究函數(shù)的一般路徑和方法，提煉數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)研究的本質(zhì).

（2）通過對含有參數(shù)的函數(shù)的研究，體會合理分類的必要性，同時(shí)提升邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（3）經(jīng)歷課題研究的完整過程，積累數(shù)學(xué)探究的基本活動經(jīng)驗(yàn)，提升自主探究能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和批判性思維.

二、過程設(shè)計(jì)

在本課題實(shí)施過程中，遵循如圖1所示的教學(xué)實(shí)施流程.

首先，教師選擇以下生活情境激發(fā)學(xué)生的探究興趣.

情境：在雨后的清晨，沾滿露珠自然下垂的蜘蛛絲；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷上空，橫跨深澗的觀光索道的電纜. 這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài). 事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線. 懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用. 與懸鏈線有關(guān)的函數(shù)解析式為[fx=aex+be-x]（其中[a，b]是非0常數(shù)，無理數(shù)[e=][2.71828…]）. 同學(xué)們，你們是否注意到了生活中的這些現(xiàn)象？

然后，以“懸鏈線——神奇的‘微笑’曲線”為主題，設(shè)置驅(qū)動問題“對于懸鏈線，你能想到需要研究哪些問題？”開啟學(xué)生的數(shù)學(xué)探究之旅.

在開題環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題解讀，組織開題匯報(bào)；在做題環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考，全程跟蹤關(guān)注，適時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)和過程性評價(jià)；在結(jié)題環(huán)節(jié)，教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行成果梳理，組織結(jié)題匯報(bào). 而學(xué)生則圍繞探究主題，通過查閱資料了解懸鏈線的起源與實(shí)際應(yīng)用，并借助函數(shù)的具體知識或信息技術(shù)等工具發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想. 同時(shí)，學(xué)生通過獨(dú)立思考和小組合作探究得到相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論，形成結(jié)題報(bào)告，并制作海報(bào)進(jìn)行研究成果展示. 最終學(xué)生在結(jié)題匯報(bào)活動中開展自評、互評，教師進(jìn)行結(jié)題總結(jié)和終結(jié)性評價(jià). 本課題研究共安排2個(gè)課時(shí)，分別進(jìn)行開題匯報(bào)和結(jié)題匯報(bào).

三、開題匯報(bào)

環(huán)節(jié)1：開題匯報(bào)，開展互評.

引導(dǎo)語1：同學(xué)們，數(shù)學(xué)探究活動是借助數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動. 聚焦主題“懸鏈線——神奇的‘微笑’曲線”，經(jīng)過前期的準(zhǔn)備，大家查閱了與懸鏈線相關(guān)的文獻(xiàn)，并得到了與函數(shù)[fx=aex+be-x]相關(guān)的一些性質(zhì). 今天，我們將針對大家的前期成果進(jìn)行開題匯報(bào). 下面請第一小組的代表闡述選題意義、研究內(nèi)容、研究方法和預(yù)期成果.

第一小組通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)，明確了通過此課題的研究不僅能夠?qū)瘮?shù)[fx=aex+be-x]有所了解，還能梳理研究函數(shù)的一般思路，掌握數(shù)學(xué)探究的方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)價(jià)值觀. 該小組確定的研究內(nèi)容包含三個(gè)方面：懸鏈線的歷史及發(fā)展，函數(shù)[fx=aex+be-x]的基本性質(zhì)，懸鏈線在實(shí)際生活中的應(yīng)用. 采用的主要研究方法是歸納法和文獻(xiàn)研究法. 在預(yù)期成果方面，該小組梳理了懸鏈線的發(fā)展歷史、展示了關(guān)于函數(shù)[fx=aex+be-x]的性質(zhì)的初步研究成果，以及懸鏈線在工程、航空航天、運(yùn)動等領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值. 其中，在函數(shù)性質(zhì)的研究過程中，小組成員聚焦[a=b]和[a=-b]兩種情況，利用GeoGebra軟件繪制函數(shù)圖象，如圖2所示.

通過觀察、歸納得到函數(shù)的性質(zhì)，并進(jìn)行代數(shù)推導(dǎo). 具體內(nèi)容如下.

易知函數(shù)[fx=aex+be-x]的定義域?yàn)閇R].

當(dāng)[a=b]時(shí)，由[fx=aex+be-x]，可得[f-x=fx]，函數(shù)[fx]為偶函數(shù). 利用函數(shù)單調(diào)性的定義可以證明：當(dāng)[a=b>0]時(shí)，函數(shù)[fx]在[-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞]上單調(diào)遞增；當(dāng)[a=b<0]時(shí)，函數(shù)[fx]在[-∞，0]上單調(diào)遞增，在[0，+∞]上單調(diào)遞減.

當(dāng)[a=-b]時(shí)，由[fx=aex+be-x]，可得[f-x=-fx]，函數(shù)[fx]為奇函數(shù). 利用函數(shù)單調(diào)性的定義可以證明：當(dāng)[a>0]時(shí)，函數(shù)[fx]在[-∞，+∞]上單調(diào)遞增；當(dāng)[a<0]時(shí)，函數(shù)[fx]在[-∞，+∞]上單調(diào)遞減.

引導(dǎo)語2：通過第一小組的匯報(bào)，我們了解了懸鏈線的發(fā)展歷史，你有什么樣的感受呢？對于他們研究函數(shù)性質(zhì)的方法和結(jié)論，你作何評價(jià)呢？

學(xué)生活動：大家各抒己見，對第一小組的匯報(bào)內(nèi)容進(jìn)行評價(jià). 其中，針對函數(shù)性質(zhì)的研究，大家認(rèn)為第一小組的研究路徑是借助函數(shù)圖象得到相關(guān)性質(zhì)，然后再進(jìn)行邏輯推理. 不過，只針對參數(shù)[a=b]和[a=-b]這兩種特殊情況入手展開研究，雖然能使函數(shù)解析式變得簡單，更易于研究，但是并不全面. 可以借助從特殊到一般的方法進(jìn)行深入探究.

引導(dǎo)語3：大家對第一小組研究的優(yōu)勢和不足進(jìn)行了點(diǎn)評. 第一小組的成員可以基于大家提出的問題規(guī)劃下一階段的任務(wù). 下面請第二小組進(jìn)行開題匯報(bào).

第二小組分別對選題意義、研究內(nèi)容、研究方法和預(yù)期成果進(jìn)行了匯報(bào). 對于函數(shù)性質(zhì)的探究，第二小組同樣是通過觀察函數(shù)圖象得到函數(shù)的性質(zhì). 小組成員借助幾何畫板軟件繪制了函數(shù)圖象，如圖3和圖4所示.

通過改變參數(shù)[a]和[b]的值進(jìn)行猜想，得到更具一般性的結(jié)論.

結(jié)論：當(dāng)[ab>0]時(shí)，函數(shù)[fx]關(guān)于[x=12lnba]對稱.

進(jìn)而得到：當(dāng)[a>0，b>0]時(shí)，函數(shù)[fx]在[-∞， 12lnba]上單調(diào)遞減，在[12lnba，+∞]上單調(diào)遞增；當(dāng)[a<0，b<0]時(shí)，函數(shù)[fx]在[-∞， 12lnba]上單調(diào)遞增，在[12lnba，+∞]上單調(diào)遞減.

引導(dǎo)語4：通過第二小組的匯報(bào)，對于他們研究函數(shù)性質(zhì)的方法和結(jié)論，你覺得有哪些優(yōu)勢和不足？同時(shí)，對自己的研究有沒有啟發(fā)？

生1：第二小組對函數(shù)性質(zhì)的研究比第一小組更進(jìn)了一步，并沒有局限在[a=b]和[a=-b]這兩種特殊情況上. 而且他們利用信息技術(shù)軟件對結(jié)論進(jìn)行了有效猜想. 不足之處就是并沒有對猜想的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)推理.

生2：我認(rèn)為第二小組的研究有三個(gè)方面值得學(xué)習(xí). 首先，對性質(zhì)的研究遵循研究函數(shù)的一般路徑展開；其次，在研究函數(shù)對稱性的過程中采取了控制變量的方法，通過固定其中一個(gè)參數(shù)使另一個(gè)參數(shù)變化來發(fā)現(xiàn)規(guī)律；最后，關(guān)注到函數(shù)[fx=aex+be-x]是由基本初等函數(shù)[y=aex]和[y=be-x]通過運(yùn)算得到的，將陌生的函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)進(jìn)行研究.

生3：對于函數(shù)的對稱性，第二小組只考慮了[ab>0]的情況，當(dāng)[ab<0]時(shí)，函數(shù)是否具有對稱性呢？

師：我也有這樣的困惑，請第二小組回答一下，是否考慮了當(dāng)[ab<0]時(shí)函數(shù)的對稱性呢？

第二小組：我們確實(shí)沒有考慮[ab<0]的情況. 當(dāng)[ab>0]時(shí)，通過幾何畫板軟件繪制圖象后，我們發(fā)現(xiàn)該圖象與二次函數(shù)的圖象類似，所以猜測該函數(shù)可能具有對稱軸，從而進(jìn)行了進(jìn)一步驗(yàn)證.

師：原來是類比熟悉的函數(shù)進(jìn)行了合理猜想，很多數(shù)學(xué)結(jié)論的產(chǎn)生都源于猜想.

引導(dǎo)語5：上述幾名同學(xué)不僅對第二小組的研究成果進(jìn)行了點(diǎn)評，而且提出了自己的困惑. 下面請第三小組進(jìn)行匯報(bào)，他們的研究能否解答我們的困惑呢？

第三小組除了對選題意義、研究內(nèi)容、研究方法和預(yù)期成果進(jìn)行了匯報(bào)外，在函數(shù)性質(zhì)的研究上遵循了從性質(zhì)到圖象的研究路徑. 對于[ab>0]的情況，先分析函數(shù)解析式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，利用基本不等式猜測函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)函數(shù)對稱性的概念進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)論證，最后通過類比的方法猜測[ab<0]的情況，具體結(jié)論如下.

當(dāng)[ab>0]時(shí)，[fx+lnba=aex+lnba+be-x-lnba=aexelnba+]

[be-xe-lnba=bex+ae-x=f-x]，所以函數(shù)關(guān)于直線[x=12lnba]對稱.

當(dāng)[ab<0]時(shí)，[fx+ln-ba=aex+ln-ba+be-x-ln-ba=]

[aexeln-ba+be-xe-ln-ba=-bex-ae-x=-f-x]，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)[12ln-ba，0]對稱.

同時(shí)，第三小組利用函數(shù)單調(diào)性的定義分四種情況對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行了代數(shù)推理：[a>0，b>0]；[a<0，b<0]；[a>0，b<0]；[a<0，b>0].

引導(dǎo)語6：對于第三小組的匯報(bào)內(nèi)容，大家覺得有什么值得借鑒和完善的地方嗎？

生4：第三小組能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式的代數(shù)結(jié)構(gòu)與基本不等式的結(jié)構(gòu)相同，進(jìn)而得出猜想，并對結(jié)論進(jìn)行了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明. 同時(shí)，第三小組根據(jù)具體問題對參數(shù)進(jìn)行了有序分類.

生5：對于單調(diào)性的研究，我覺得還可以優(yōu)化一下. 對于[a>0，b<0]和[a<0，b>0]這兩種情況，可以從運(yùn)算的角度得到函數(shù)的單調(diào)性. 例如，當(dāng)[a>0，b<0]時(shí)，函數(shù)[y=aex]在[R]上單調(diào)遞增，函數(shù)[y=be-x]也在[R]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)[fx=aex+be-x]在[R]上單調(diào)遞增.

師：第三小組對函數(shù)性質(zhì)的研究充分體現(xiàn)了對函數(shù)核心概念的理解和靈活運(yùn)用. 同時(shí)，在證明的過程中對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也有較高的要求.

環(huán)節(jié)2：提出質(zhì)疑，反思改進(jìn).

引導(dǎo)語7：針對各小組的匯報(bào)內(nèi)容和同學(xué)們的評價(jià)，大家認(rèn)為對前期的研究需要進(jìn)行哪方面的反思和改進(jìn)呢？

學(xué)生活動：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生對研究方法、數(shù)學(xué)思想、解題策略等方面進(jìn)行了反思. 例如，有的學(xué)生提到在進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)研究之前應(yīng)該對解析式的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，以便猜想相關(guān)結(jié)論；有的學(xué)生意識到要根據(jù)具體的問題情境對參數(shù)進(jìn)行合理分類；有的學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合在解決問題中的重要作用；有的學(xué)生指出要充分利用信息技術(shù)手段進(jìn)行數(shù)學(xué)探究；等等.

同時(shí)，在此環(huán)節(jié)，教師帶領(lǐng)學(xué)生基于前期的研究進(jìn)一步梳理了研究函數(shù)的一般路徑和方法，如圖5所示.

對于函數(shù)，通常遵循“背景—定義—性質(zhì)—應(yīng)用”的路徑展開研究. 其中，對于性質(zhì)，應(yīng)該按照“定義域—整體性質(zhì)（周期性、對稱性、單調(diào)性、最值等）—局部性質(zhì)（導(dǎo)數(shù)、極值等）”的順序進(jìn)行研究. 而函數(shù)的應(yīng)用則包含在數(shù)學(xué)內(nèi)部、跨學(xué)科和實(shí)際生活中的應(yīng)用. 研究函數(shù)的一般方法有數(shù)形結(jié)合、分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸，在該課題研究中都有充分的體現(xiàn).

環(huán)節(jié)3：明確方法，制訂方案.

引導(dǎo)語8：作為學(xué)習(xí)者和傾聽者，老師今天的收獲很大，相信在座的各位同學(xué)都與老師有同樣的感受. 下面我們開展小組討論，明確下一階段的研究內(nèi)容、研究方法、實(shí)施方案和預(yù)期成果. 對于預(yù)期成果，除了進(jìn)一步完善上述研究成果外，你還想研究哪些問題呢？

學(xué)生活動：交流討論，小組內(nèi)完成具體方案的制訂，并提出了大量拓展性問題，明確了下一階段的研究任務(wù). 拓展性問題有參數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響、每類函數(shù)之間的關(guān)系、構(gòu)造新的函數(shù)進(jìn)行研究、搜集與懸鏈線相關(guān)的數(shù)學(xué)問題、生活中的懸鏈線、在懸鏈線的實(shí)際應(yīng)用中選擇一個(gè)感興趣的領(lǐng)域繼續(xù)研究等.

結(jié)束語：通過今天的開題匯報(bào)活動，相信大家對后續(xù)要做什么、怎么做已經(jīng)有了更清晰的認(rèn)識. 華羅庚先生曾經(jīng)總結(jié)做研究的四種境界，即照葫蘆畫瓢地模仿、利用成法解決幾個(gè)問題、創(chuàng)造方法解決問題、開辟方向. 希望通過努力，我們能夠不斷提升自己的研究能力. 期待大家在結(jié)題匯報(bào)中的研究成果！

四、實(shí)踐反思

1. 數(shù)學(xué)探究活動要精心選取探究主題

選題是開展數(shù)學(xué)探究活動的起始階段，也是決定數(shù)學(xué)探究活動成敗和成果價(jià)值的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 主題的來源可以有多種途徑，可以利用現(xiàn)有的資源，如教材、教學(xué)參考書、專業(yè)網(wǎng)站，由教師選擇、設(shè)計(jì)、提供；也可以是動態(tài)的生成性問題，如學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活過程中提出的問題、學(xué)生解決已有問題后提出的發(fā)展性問題等. 同時(shí)，教師應(yīng)該遵循價(jià)值性、探究性、可行性、吸引性、開放性等原則對選題進(jìn)行篩選，保證學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)研究水平在探究問題的過程中切實(shí)提升. 例如，本主題“懸鏈線——神奇的‘微笑’曲線”的選取聚焦函數(shù)核心概念和思想方法，學(xué)生可以通過不同手段實(shí)現(xiàn)探究，不同層次的學(xué)生都能體驗(yàn)到研究的樂趣，收獲不同的研究成果.

2. 數(shù)學(xué)探究活動要明確教師的角色定位

探究性學(xué)習(xí)活動是學(xué)生成就自我的學(xué)習(xí)，是學(xué)生對知識渴求的一種內(nèi)驅(qū)力，體現(xiàn)的是學(xué)生的主體性，教師在其中的引領(lǐng)作用不可或缺. 在數(shù)學(xué)探究活動的實(shí)施過程中，教師要在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間節(jié)點(diǎn)予以引導(dǎo)、啟發(fā)和評價(jià). 例如，在本課題的做題環(huán)節(jié)，教師持續(xù)關(guān)注學(xué)生的研究進(jìn)展，適時(shí)給出研究方向和研究方法指導(dǎo)；在開題和結(jié)題環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行評價(jià)和反思，激勵(lì)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，促進(jìn)學(xué)生深入思考；在課后進(jìn)行訪談，及時(shí)了解學(xué)生遇到的困難，給出相關(guān)建議，推動研究有序開展；等等.

3. 數(shù)學(xué)探究活動要恰當(dāng)使用信息技術(shù)

信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)、探索和解決問題的重要輔助手段，可以為學(xué)生的自主探究啟發(fā)思路，提供直觀、豐富的資源. 例如，在研究函數(shù)性質(zhì)的過程中，由于函數(shù)解析式的代數(shù)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，大多數(shù)學(xué)生無法直接通過代數(shù)推理得到結(jié)論，此時(shí)信息技術(shù)的使用可以幫助學(xué)生探尋解決問題的方向，猜想問題結(jié)論再進(jìn)行證明，確保研究的順利進(jìn)行. 同時(shí)，借助信息技術(shù)的動態(tài)演示功能，學(xué)生進(jìn)一步提出了新的研究問題. 因此，在數(shù)學(xué)探究活動中充分利用信息技術(shù)的強(qiáng)大功能，可以改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高探究的實(shí)效性，拓展探究的深度和廣度.

參考文獻(xiàn)：

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