摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該積極落實(shí)主題教學(xué)，幫助學(xué)生從大概念入手，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系. 對(duì)“距離”主題的設(shè)計(jì)不僅可以充分展示不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，也能展示如何在教學(xué)中真正發(fā)展學(xué)生的抽象思維、空間想象和遷移應(yīng)用等數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力. 信息技術(shù)為學(xué)生理解距離問(wèn)題提供了很好的工具.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)軟件；數(shù)學(xué)探究；距離問(wèn)題；向量方法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）05-0059-06

引用格式：馬峰. 基于向量方法和信息技術(shù)探究距離［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：59-64.

一、案例背景

數(shù)學(xué)知識(shí)往往具備高度的抽象性，而中學(xué)生正處于抽象思維能力逐步構(gòu)建的關(guān)鍵時(shí)期，他們時(shí)常面臨將抽象數(shù)學(xué)概念具象化的挑戰(zhàn)，亟須教師以極大的耐心進(jìn)行詳盡闡釋. 在此背景下，數(shù)學(xué)軟件無(wú)疑成為了教師教授抽象概念時(shí)不可或缺的“得力助手”，極大地增強(qiáng)了教學(xué)效果.

為了有效提升學(xué)生的直觀想象能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在日常教學(xué)實(shí)踐中，筆者將距離概念作為一個(gè)核心議題進(jìn)行深入探討，旨在通過(guò)使用向量方法，特別是引入信息技術(shù)手段，為學(xué)生搭建理解抽象概念的橋梁. 具體而言，運(yùn)用信息技術(shù)工具，探索距離公式的推導(dǎo)過(guò)程，而非僅僅停留在公式的記憶與應(yīng)用層面. 這一過(guò)程不僅加深了學(xué)生對(duì)距離概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，還促使他們經(jīng)歷了從無(wú)到有、從未知到已知的知識(shí)構(gòu)建過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了真正意義上的學(xué)習(xí)飛躍，為學(xué)生提供了寶貴的“從0到1”的學(xué)習(xí)體驗(yàn).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).”其還指出：“距離問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的很好的載體.”《標(biāo)準(zhǔn)》給出了關(guān)于教學(xué)與評(píng)價(jià)的37個(gè)案例，其中的案例16是“用向量方法研究距離問(wèn)題”. 在基礎(chǔ)教育階段，我們經(jīng)常用到的距離包括：兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)（不在直線上）到直線的距離、兩條平行線之間的距離、點(diǎn)（不在平面上）到平面的距離、直線（不在平面上）到平面的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離、兩條異面直線之間的（最短）距離及其出現(xiàn)的位置、球面距離. 其中，異面直線之間的距離在《標(biāo)準(zhǔn)》中是選修內(nèi)容，而球面距離可以作為探究活動(dòng)予以使用.

顯然，距離問(wèn)題的解決可以使用綜合幾何方法，也可以使用解析幾何方法，還可以使用向量方法. 向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，在解決實(shí)際問(wèn)題中能發(fā)揮重要的作用. 距離問(wèn)題主題教學(xué)案例可以安排在向量單元教學(xué)之后. 課前需要知曉關(guān)于向量的基礎(chǔ)知識(shí)，包括垂直與平行的向量表達(dá)，直線、平面的向量方程的各類形式，等等. 在實(shí)施過(guò)程中，致力于幫助學(xué)生發(fā)展幾何直觀，理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)生、發(fā)展和解決的全局.

二、案例的實(shí)施

實(shí)施距離問(wèn)題的教學(xué)時(shí)，希望能夠?qū)崿F(xiàn)的素養(yǎng)和能力目標(biāo)包括：通過(guò)獨(dú)立思考和創(chuàng)造性思維提出問(wèn)題和解決問(wèn)題；培養(yǎng)計(jì)算能力、直覺想象力和邏輯推理能力；學(xué)習(xí)知識(shí)的遷移技能. 在教學(xué)策略層面，可以嘗試使用實(shí)物（繩子、木棍和紙板）幫助學(xué)生加深理解，通過(guò)動(dòng)手操作進(jìn)行學(xué)習(xí)，這符合“具身認(rèn)知”的認(rèn)識(shí)規(guī)律. 利用數(shù)學(xué)軟件（GeoGebra軟件）幫助學(xué)生理解空間關(guān)系. 在探究各種問(wèn)題的解決方法的過(guò)程中，注重讓學(xué)生自己找方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.

1. 介紹與引入

課堂伊始，教師提問(wèn)：在幾何學(xué)中，構(gòu)成圖形的基本元素有哪些？學(xué)生一般都能給出點(diǎn)、直線和平面. 借著這個(gè)機(jī)會(huì)，教師告知學(xué)生今天的學(xué)習(xí)主題是距離. 由此，學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下，自主猜測(cè)本節(jié)課即將探究的內(nèi)容，它們包括：兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)（不在直線上）到直線的距離、兩條平行線之間的距離、點(diǎn)（不在平面上）到平面的距離、直線（不在平面上）到平面的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離、兩條異面直線之間的（最短）距離. 甚至?xí)袑W(xué)生提出球面距離問(wèn)題.

這里的設(shè)計(jì)采取了建構(gòu)主義——拋錨式教學(xué)設(shè)計(jì)的模式. 教學(xué)活動(dòng)緊緊圍繞“錨”來(lái)設(shè)計(jì)，而這里的“錨”就是對(duì)距離的個(gè)案研究. 不僅如此，在拋出這個(gè)“錨”后，允許學(xué)生自己生成待辦的任務(wù)清單. 具體來(lái)講，教師設(shè)定了教學(xué)的主題“距離”，然后讓學(xué)生自己經(jīng)歷“制造問(wèn)題”的過(guò)程，這有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)源，也提升了他們解決自己“制造”的問(wèn)題的興趣.

2. 從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，探索距離問(wèn)題的計(jì)算方法

從最簡(jiǎn)單的兩點(diǎn)之間的距離開始，教師對(duì)每個(gè)距離問(wèn)題使用向量方法進(jìn)行分析和處理. 其間，還會(huì)視情況使用實(shí)物道具和數(shù)學(xué)軟件輔助學(xué)生理解. 顯然，兩點(diǎn)之間的距離可以一帶而過(guò).

（1）點(diǎn)到直線的距離.

為了幫助學(xué)生逐步進(jìn)入狀態(tài)，教師自己動(dòng)手或者讓學(xué)生動(dòng)手，使用繩子丈量一個(gè)點(diǎn)到筆直木棍的距離，以便溫習(xí)“垂線最短”這個(gè)初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí). 同時(shí)，讓學(xué)生感受到：點(diǎn)到直線的距離本質(zhì)上是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離. 此時(shí)，利用數(shù)學(xué)軟件，便捷、實(shí)時(shí)地展示兩點(diǎn)之間的距離，幫助學(xué)生從直觀上理解點(diǎn)到直線的距離何時(shí)最短. 如圖1，使用數(shù)學(xué)軟件觀察直線上的動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)和P，Q兩點(diǎn)間的距離的實(shí)時(shí)變化情況. 通過(guò)觀察代數(shù)區(qū)的PQ的度量值和數(shù)量積的結(jié)果，觀察距離達(dá)到最短的位置，以及這個(gè)最短距離是何時(shí)出現(xiàn)的. 在完成直觀理解后，即可過(guò)渡到計(jì)算環(huán)節(jié).

例1 一條直線的向量方程為[xyz=111+t135，t∈R，]

求點(diǎn)[P-3，-1，4]到這條直線的最短距離.

教師先讓學(xué)生自行思考如何得出最短距離，學(xué)生得到方法1.

方法1：使用直線上的點(diǎn)Q的坐標(biāo)（帶參數(shù)[t]），計(jì)算點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離，該距離是關(guān)于[t]的函數(shù)（此處是二次函數(shù)），要求的是這個(gè)函數(shù)的最小值. 學(xué)生可以利用二次方程的求根公式求出最短距離. 使用此方法可以同時(shí)計(jì)算出參數(shù)[t]的值，以便找到產(chǎn)生最短距離的直線上的相應(yīng)的點(diǎn).

若學(xué)生僅止步于當(dāng)前方法，則有必要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索，考慮采用向量方法求解問(wèn)題. 下文提供三種可能的向量方法作為參考. 值得注意的是，方法3和方法4中均融入了投影向量的核心概念，意在拓寬學(xué)生的解題思路和技能應(yīng)用的范圍.

方法2：當(dāng)我們自某一點(diǎn)向一條直線作垂線時(shí)，該垂線段即代表了點(diǎn)到直線的最短距離. 為此，我們可以利用直線的方向向量與從點(diǎn)P出發(fā)至直線上任意一點(diǎn)所形成的向量的數(shù)量積，并令此數(shù)量積為0，求解出對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，進(jìn)而確定垂足在直線上的坐標(biāo). 隨后，基于該垂足的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可計(jì)算出所需的最短距離.

方法3：選擇直線上的任意一點(diǎn)Q. 假設(shè)直線的方向向量為[m]，那么該點(diǎn)到直線的最短距離就是[PQ×mm].

方法4：給出一個(gè)垂直于給定直線的向量[n]，然后選擇直線上的任意一點(diǎn)Q，則從點(diǎn)[P]到該給定直線的最短距離是[PQ ? nn]. 在三維場(chǎng)景中， 直線與不在其上的任意一點(diǎn)必然共同確定了一個(gè)平面，向量[n]必須在這個(gè)平面上. 在二維場(chǎng)景下，這是一種很方便的方法.

以上四種方法展示了解決問(wèn)題的不同方案，更為重要的是，揭示了不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地理解了數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性和整體性. 具體過(guò)程和計(jì)算結(jié)果略.

（2）兩條平行直線之間的距離.

在引導(dǎo)學(xué)生自主探索這一問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)迅速洞察到，通過(guò)選取直線上任意一點(diǎn)，能夠?qū)⒃瓎?wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題. 這一過(guò)程不僅彰顯了學(xué)生知識(shí)遷移與應(yīng)用的能力，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化歸思想的精髓——將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化為已知或更易處理的形式. 此外，學(xué)生還可能展現(xiàn)出創(chuàng)新思維. 例如，他們可能會(huì)通過(guò)構(gòu)造同時(shí)垂直于兩條給定直線的向量，推導(dǎo)出同時(shí)垂直于兩條平行直線的一條新直線的方程，并據(jù)此計(jì)算兩個(gè)交點(diǎn)間的距離，從而得到兩條平行線間的距離. 這一環(huán)節(jié)7/V4oby/Y72eetetREGSN4sWWkS01xRc1wUImFpIwuQ=的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教學(xué)過(guò)程的一個(gè)重要特點(diǎn)，即雙邊性. 它意味著教學(xué)過(guò)程是教師和學(xué)生、教與學(xué)的雙邊互動(dòng)過(guò)程，是教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程. 教師和學(xué)生，教和學(xué)，既相互對(duì)立又相輔相成. 教師的教是為學(xué)生的學(xué)而存在的，教的有效性僅僅表現(xiàn)為對(duì)學(xué)的有效引導(dǎo). 在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)所學(xué)內(nèi)容和方法，主動(dòng)提出解決方案的過(guò)程正是數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到培育的有效表征.

（3）點(diǎn)到平面的距離及其拓展.

① 點(diǎn)到平面的距離.

教師繼續(xù)考慮使用實(shí)物和數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行兩次演示. 教師通過(guò)演示操作或者邀請(qǐng)學(xué)生參與活動(dòng)，使用繩子丈量一個(gè)點(diǎn)到紙板（一個(gè)平面）的距離，從而讓學(xué)生直觀感受到在過(guò)點(diǎn)作平面的垂線的情況下距離最短. 同時(shí)，讓學(xué)生感受到，點(diǎn)到平面的距離的本質(zhì)仍然是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離. 此時(shí)，再次利用數(shù)學(xué)軟件便捷、實(shí)時(shí)地展示兩點(diǎn)間的距離，幫助學(xué)生在直觀上理解點(diǎn)到平面的距離何時(shí)最短，如圖2所示.

在圖2中，通過(guò)觀察代數(shù)區(qū)的PQ的度量值和數(shù)乘的結(jié)果觀察何時(shí)距離達(dá)到最短，以及這個(gè)最短距離是在何種情況下出現(xiàn)的. 在完成直觀理解后，即可過(guò)渡到計(jì)算環(huán)節(jié).

這里的數(shù)學(xué)軟件的使用方法與點(diǎn)到直線的情況是類似的，主要是通過(guò)觀察兩點(diǎn)間距離的變化和位置關(guān)系來(lái)增強(qiáng)認(rèn)識(shí)，為后續(xù)計(jì)算做好鋪墊. 教師可以指導(dǎo)學(xué)生探究解決此類問(wèn)題的一般方法，具體問(wèn)題由學(xué)生練習(xí)，以加深印象.

對(duì)于平面[ax+by+cz=d]，其法向量為[n=abc]. 點(diǎn)[Px0，y0，z0]到此平面的最短距離的求解方式如下.

方法1：先求得垂直于平面的直線方程[xyz=x0y0z0+]

[tabc]，然后找到這條直線與平面的交點(diǎn)（垂足），從而求出該點(diǎn)到平面的距離.

方法2：在平面上找任意一點(diǎn)Q，則最短距離為[PQ ? nn].

教師可以鼓勵(lì)學(xué)生體驗(yàn)第二種方法的“妙”處：它跳過(guò)了找產(chǎn)生最短距離的點(diǎn)的具體位置的過(guò)程，使用現(xiàn)成的數(shù)量積工具直接求得最短距離.

例2 求從點(diǎn)[-3，1，4]到平面[x+y-3z=-3]的距離.（解題過(guò)程略.）

② 拓展.

接下來(lái)，順勢(shì)深入探究直線與平面間距離的度量問(wèn)題. 在此過(guò)程中，教師啟迪學(xué)生：此類問(wèn)題可以巧妙轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離進(jìn)行求解. 使學(xué)生再次深刻體會(huì)數(shù)學(xué)中化歸這一核心思想方法的精妙之處.

隨后，進(jìn)一步拓展至對(duì)兩個(gè)平行平面間距離的探討. 同樣地，教師可以借助實(shí)物模型和數(shù)學(xué)軟件的綜合演示，直觀展示平行平面間距離的定義，以促進(jìn)學(xué)生的深刻理解. 從方法論的角度出發(fā)，可以先在任一平行平面上選定任意一點(diǎn)或一條直線，隨后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解該點(diǎn)或直線到另一平行平面的距離問(wèn)題，這一轉(zhuǎn)化過(guò)程再次彰顯了化歸思想的魅力. 另一路徑是構(gòu)造一條同時(shí)垂直于兩個(gè)平行平面的直線，確定其與兩個(gè)平面的交點(diǎn)（即垂足），隨后計(jì)算這兩個(gè)垂足之間的距離，從而得到兩個(gè)平行平面之間的距離. 此方法與先前求解兩條平行線之間的距離所采用的垂線法有異曲同工之妙，實(shí)質(zhì)是將該方法“遷移”至立體幾何的情境中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與方法間的內(nèi)在聯(lián)系與靈活運(yùn)用.

（4）異面直線的距離.

這一部分是距離主題的第一個(gè)“重頭戲”：探索兩條異面直線之間的距離，以及最短距離出現(xiàn)的位置. 教師可以用實(shí)物和GeoGebra軟件進(jìn)行兩次演示. 首先，教師利用教學(xué)輔助道具展示兩條異面直線的空間位置，也可以讓學(xué)生直接參與動(dòng)手操作，幫助學(xué)生直觀理解和想象兩條異面直線間的最短距離可能會(huì)出現(xiàn)在哪里，幾次嘗試之后應(yīng)該會(huì)有很好的效果. 其次，使用數(shù)學(xué)軟件直觀展示最短距離出現(xiàn)的位置，以及最短距離的長(zhǎng)度，具體如圖3所示. 其中，PQ的長(zhǎng)即是連接兩條異面直線上任意兩點(diǎn)的線段的距離.

最后，教師使用圖4解釋：兩條異面直線之間的最短距離來(lái)自于一條同時(shí)垂直于兩條異面直線的線段，它的長(zhǎng)度小于連接這兩條異面直線的任何其他線段之長(zhǎng). 進(jìn)一步，教師通過(guò)一系列邏輯推理和作圖過(guò)程說(shuō)明這條線段的唯一性.

通過(guò)例3，使用代數(shù)方法求出最短距離在兩條異面直線上產(chǎn)生的位置.

例3 找到異面直線[r1=123+m101]和[r2=231+n12-1]

之間的最短距離，并給出產(chǎn)生最短距離的兩條異面直線上的點(diǎn)的坐標(biāo).（解題過(guò)程略.）

（5）球面距離.

球面距離的求解是距離主題教學(xué)的第二個(gè)“重頭戲”. 目前，球面距離雖然不在《標(biāo)準(zhǔn)》的覆蓋范圍內(nèi)，但是作為主題教學(xué)的內(nèi)容仍然是非常合適的，有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念的理解、直觀想象和邏輯推理能力. 從建立合適的圖形出發(fā)進(jìn)行推理，便能夠很快給出球面距離的定義，學(xué)生也能夠根據(jù)給定的方法迅速求解各類題目. 但是，筆者認(rèn)為，一定要在球面距離定義的生成中多花些時(shí)間，而不是匆匆略過(guò). 通過(guò)多種方法，特別是借助信息技術(shù)幫助學(xué)生自然生成對(duì)球面距離定義的理解至關(guān)重要，這是讓學(xué)生體驗(yàn)“從0到1”的又一次機(jī)會(huì).

① 普遍做法.

針對(duì)這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，一種普遍且高效的做法是在極短的時(shí)間內(nèi)，甚至不足一分鐘，教師便能夠完成一整套邏輯推理過(guò)程：球面上連接兩點(diǎn)的圓中，半徑越大的圓，這兩點(diǎn)之間的劣弧長(zhǎng)度越短，而球面上的圓的半徑最大的圓就是大圓，因此，連接兩點(diǎn)的大圓產(chǎn)生的劣弧長(zhǎng)最短，這個(gè)長(zhǎng)度被定義為這兩點(diǎn)間的球面距離.

這樣的推理過(guò)程確實(shí)是高效的，對(duì)于思維能力強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，或許是很容易理解的. 但是對(duì)于大部分學(xué)生而言，這樣的講解或許還是太快了，容易導(dǎo)致學(xué)生跳過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考和對(duì)方法的理解，直接開始計(jì)算以迅速得到答案. 筆者認(rèn)為，需要厘清球面距離的概念對(duì)于學(xué)生的挑戰(zhàn)到底在哪里.

② 疑問(wèn)與應(yīng)對(duì).

這里有四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)需要授課教師進(jìn)行周到考慮和回應(yīng). 對(duì)于這四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如果僅進(jìn)行口頭解釋，或許對(duì)教師的語(yǔ)言駕馭能力要求很高. 另外，就算教師解釋得很充分，學(xué)生也未必能夠理解. 如果借助數(shù)學(xué)軟件，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，讓這里的教學(xué)適當(dāng)“慢”下來(lái)，需要備課時(shí)花較多的時(shí)間和力氣，但是能夠收到較好的認(rèn)知效果.

關(guān)鍵點(diǎn)1：度量球面距離的曲線為何必須出現(xiàn)在同一個(gè)平面上？（以產(chǎn)生大圓或小圓.）

為了幫助學(xué)生理解這個(gè)問(wèn)題，可以設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生動(dòng)手操作的過(guò)程，提高學(xué)生的參與度. 例如，可以讓學(xué)生使用地球儀、繩子等物品對(duì)球面上兩點(diǎn)間的距離進(jìn)行手動(dòng)測(cè)量，從而獲得直觀的感受. 甚至可以策劃一個(gè)測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間各種距離的活動(dòng)，這樣的設(shè)計(jì)能增加學(xué)生的直接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有助于加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí).

關(guān)鍵點(diǎn)2：平面和球體相交產(chǎn)生的面為什么是個(gè)圓？

針對(duì)該問(wèn)題，可以先通過(guò)數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行直觀演示（如圖5），然后進(jìn)行嚴(yán)格證明（略）.

關(guān)鍵點(diǎn)3：既然產(chǎn)生不同球面距離的小圓和大圓并不在同一平面上，那么用圖6進(jìn)行推導(dǎo)求解的依據(jù)是什么？

針對(duì)該問(wèn)題，可以借助數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)收集數(shù)據(jù)，從而進(jìn)行分析、比較，獲得直觀上的感受. 這里，使用GeoGebra軟件在球面上收集經(jīng)過(guò)某兩點(diǎn)的各大圓和小圓的相關(guān)劣弧和對(duì)應(yīng)半徑的長(zhǎng)度，并利用軟件作出兩者的散點(diǎn)圖（如圖7），從而理解為什么經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓的劣弧可以作為球面上兩點(diǎn)間的最小距離，并被定義為球面距離. 這樣的工作也可以使用手工進(jìn)行，但測(cè)量難度大，誤差大，可信度較低. 相比而言，信息技術(shù)的使用提高了測(cè)量的效率和數(shù)據(jù)的可信度. 不管是通過(guò)手工測(cè)量還是使用數(shù)學(xué)軟件，后續(xù)都需要對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，這種能力的培養(yǎng)也是《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.

關(guān)鍵點(diǎn)4：為什么小圓的劣弧比大圓的劣弧更長(zhǎng)？

對(duì)于該問(wèn)題，可以先通過(guò)數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行觀察（如圖6），再由學(xué)生在此基礎(chǔ)上對(duì)“在所有連接了這兩點(diǎn)的球面上的圓中，大圓的劣弧最短”這一結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格證明.

在逐步生成對(duì)球面距離定義的深刻理解之后，具體的球面距離的解法是常規(guī)性教學(xué)方法，余弦定理、扇形、弧長(zhǎng)、圓心角、弧度制等數(shù)學(xué)知識(shí)，緯度、經(jīng)度、本初子午線等地理知識(shí)，在這里都得以應(yīng)用，具體解法略.

3. 對(duì)案例設(shè)計(jì)的回顧

本案例以距離概念為核心，以向量主題為引領(lǐng)，結(jié)構(gòu)化地設(shè)計(jì)了課程內(nèi)容. 同時(shí)，充分利用數(shù)學(xué)軟件展示了距離的變化過(guò)程，補(bǔ)全了傳統(tǒng)手段的短板，從而幫助學(xué)生發(fā)展了幾何直觀，提升了空間想象能力，感悟了“最短距離”的本質(zhì).

這個(gè)主題案例的設(shè)計(jì)是在向量知識(shí)的基礎(chǔ)之上，使用“距離”這個(gè)主題串聯(lián)了很多不同的知識(shí)和技能. 其中，除了球面距離之外，重點(diǎn)是用向量計(jì)算各種距離問(wèn)題. 從中可以看出，方向向量和平面的法向量對(duì)于使用向量解決距離問(wèn)題非常重要；可以積極使用數(shù)量積和向量積的方法求解距離；直線的參數(shù)形式在求解距離問(wèn)題時(shí)非常有用；這些距離問(wèn)題是相互關(guān)聯(lián)的，問(wèn)題之間有時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化. 在球面距離部分，因涉及跨學(xué)科（地理）知識(shí)，教師還可以采取“翻轉(zhuǎn)課堂”的模式，在課前給出預(yù)習(xí)材料，從而提高課堂教學(xué)效率，降低跨學(xué)科教學(xué)的難點(diǎn)，加深學(xué)生的理解.

這個(gè)主題案例的設(shè)計(jì)并沒有局限于傳統(tǒng)的講授方法，通過(guò)讓學(xué)生參加、動(dòng)手操作等方式加強(qiáng)了其對(duì)距離問(wèn)題的理解，而恰到好處地使用數(shù)學(xué)軟件使得解釋變得更加生動(dòng)直觀，也使得數(shù)學(xué)課堂更加吸引學(xué)生，特別是幫助學(xué)生發(fā)展了直觀想象素養(yǎng).

另外，在這個(gè)主題案例的設(shè)計(jì)中，教師有意淡化計(jì)算，強(qiáng)調(diào)了對(duì)方法的生成性探索和對(duì)知識(shí)的自主建構(gòu)，符合《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的期待和要求.

三、總結(jié)

《標(biāo)準(zhǔn)》不僅重視學(xué)科大概念、課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、主題引領(lǐng)，也希望通過(guò)信息技術(shù)的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果，從而優(yōu)化課堂教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力. 這個(gè)主題案例較好地響應(yīng)了《標(biāo)準(zhǔn)》的以上要求.

主題案例的設(shè)計(jì)還需要搭好適合不同學(xué)生的“腳手架”，做到差異化教學(xué)：素養(yǎng)能力強(qiáng)的學(xué)生在課堂活動(dòng)中有機(jī)會(huì)直接驗(yàn)證自己的想法；素養(yǎng)正在發(fā)展過(guò)程中的學(xué)生，能夠根據(jù)教師的指引逐步打開思路，發(fā)展自己的想象能力和抽象能力.

在充裕時(shí)間的保障下，課堂活動(dòng)需要積極探索讓學(xué)生親自動(dòng)手操作數(shù)學(xué)軟件的實(shí)踐模式，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)問(wèn)并借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行深入探索，以此作為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)全面提升的重要途徑. 值得強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)軟件的目的，絕非僅為課堂形式之美化，而是旨在精準(zhǔn)填補(bǔ)單純口頭講授或圖形示意難以觸及的知識(shí)或思維盲區(qū)，成為輔助學(xué)生深化概念理解、掌握關(guān)鍵技能的得力工具，尤其是在增強(qiáng)直觀感知能力方面，信息技術(shù)能夠發(fā)揮不可替代的作用. 更為關(guān)鍵的是，此類教學(xué)模式應(yīng)該致力于引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念和思想方法“從0到1”的認(rèn)知飛躍，而非局限于對(duì)既有公式與方法的機(jī)械重復(fù)與熟練記憶. 通過(guò)精心設(shè)計(jì)教學(xué)案例，從根本上激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助他們成長(zhǎng)為具備創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的新時(shí)代人才，鼓勵(lì)他們勇于探索未知，開啟新的篇章.

參考文獻(xiàn)：

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