摘 要：從教材對“空間中點、直線和平面的向量表示”的論述出發(fā)，在基于數(shù)學本質(zhì)理解概念的基礎上，從研究一個數(shù)學對象的一般觀念入手，結合數(shù)學概念生成的合理性，實現(xiàn)對教材的深度理解. 厘清了此內(nèi)容知識和思維的邏輯，達成“何由以知其所以然”的教材理解．

關鍵詞：向量；幾何對象；向量表示

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）05-0036-03

引用格式：王凱，王紅權. 對教材中“空間中點、直線和平面的向量表示”的深度理解［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（5）：36-38.

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第一章“空間向量與立體幾何”第四節(jié)第1課時的教學內(nèi)容為“空間中點、直線和平面的向量表示”，學生通過之前的學習已經(jīng)建構了空間向量的一些基本概念，從本節(jié)課開始會用向量方法刻畫立體幾何的研究對象. 點、直線和平面是組成立體圖形的基本要素，需要先用向量表示這些對象，然后才能在此基礎上用向量方法研究立體圖形的性質(zhì). 本節(jié)課內(nèi)容比較抽象，尤其是對空間中的點、直線和平面的向量表示缺乏深刻理解，大多數(shù)教師只能照本宣科.

一、如何用向量表示空間中的一個點

教材中提出的第一個思考是：如何用向量表示空間中的一個點？

點是空間位置的抽象，如果沒有參考位置（如坐標原點），點的位置無法用數(shù)學方法進行刻畫. 物理學中有一個基本假設：沒有絕對的位置，即確定一個位置通常需要使用參照物或參考系. 因此，某個點的位置就是以另一個點的位置為參照物的相對位置. 例如，相對于點A，可以指出點P的位置在何處，但如果沒有點A，點P的位置就不容易刻畫.

在一維空間中，可以這樣理解：在直線l上，相對于點A的坐標，點[P]也會有一個坐標. 這個坐標包含兩方面信息：一個是方向（表示點P在點A的左側還是右側）；另一個是距離（線段[PA]的長度）. 如果規(guī)定點A為原點，則點P的坐標為λe，其中e為直線l的單位方向向量，[λ=PA].

顯然，坐標原點的選取決定了點P的坐標，但無論是相對于點A還是相對于點B，點P的位置是始終是不變的. 這種不變性就說明了任何一個參照系的選擇都是等價的. 因此，可以在空間任取一點O作為坐標原點，那么空間中任意一點P的位置就可以用向量[OP]來表示，把向量[OP]稱為點P的位置向量，如圖1所示.

【評析】用向量表示空間中的一個點，需要選擇一個基點O，則點P的位置就與位置向量[OP]一一對應. 在教學過程中，教師要讓學生建立基底意識，為接下來用向量表示空間中的直線和平面積累經(jīng)驗.

二、如何用向量表示空間中的一條直線

教材中提出的第二個思考是：空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l. 如何用向量表示直線l？

在平面上，一個點A和一個方向向量a決定了一條直線，用向量來表示這條直線就是要用點A和方向向量a來表示直線上的任意一點.

如圖2，如何判斷點P在直線l上呢？由共線向量的條件可知，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使得[AP]= ta，即[AP]=[tAB]. 事實上，我們可以在空間任取一點O（如圖3），同樣可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使得[OP=OA]+ ta，或者[OP=OA]+[tAB]，這都是空間中直線l的向量表示式. 可見，在空間中，同樣可以用一個點P和一個方向向量a來刻畫一條直線.

這與前面講“點”一樣，無論是相對于哪個基點（原點）O，直線l的位置始終不變. 此時[AB=OB-OA]，向量[AB]不會隨著基點O的變化而變化，所以用[OB-][OA]來表示[AB]，與基點[O]的選取無關. 如果[AP=][tAB]，進一步可以得到[OP=1-tOA+tOB]. 這說明向量與坐標原點的選取沒有關系，它可以精準地刻畫直線的方程.

用向量刻畫點和直線與坐標原點的選取無關，就不存在把“確定坐標原點的兩個量”（角度和距離）帶入運算中. 因此，向量表達簡潔，向量運算也比較簡便. 事實上，我們就是在用數(shù)學的語言刻畫直線是“直”的.

例1 （教材習題1.4第1題）如圖4，在三棱錐A-BCD中，E是CD的中點，點F在AE上，且EF = 2FA. 設[BC]= a，[BD]= b，[BA]= c，求直線AE，BF的方向向量.

【評析】讓學生體驗用空間向量表示直線，將理論應用于實踐，提升學生對基底的認識，培養(yǎng)學生對合適的“基底”的敏感和直覺，幫助學生體會向量法在解決問題中所起的工具性作用.

三、如何用向量表示空間中的一個平面

教材中提出的第三個思考是：一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？進一步地，一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？

如圖5，可以用兩條直線來表示平面，即用直線作為基本量，確定一個平面的是兩條相交直線. 記兩條相交直線的公共點為O，兩條直線的方向向量分別為a和b，點O和兩個方向向量即可用來描述一個平面. 接下來，尋找空間中的另外一點P，讓[OP]在這兩條直線構成的平面上，即[OP]= xa + yb. 這里我們用要素（點和直線）表示了平面，說明了平面的“平”. 如圖6，與表示直線一樣，可以取定空間中任意一點O為基點，得到[OP]=[1-x-y][OA]+[xOB]+[yOC].

【評析】將教材中確定平面的推論轉(zhuǎn)化為向量表示，進一步加深對平面向量基本定理的理解. 讓學生在解決具體問題的過程中，再次體會需要根據(jù)問題的條件選擇合適的“基”，遵循數(shù)學學習的一般套路，積累學習經(jīng)驗，提升學習能力.

如圖7，還可以用一點A和一個法方向a來確定一個平面α，用集合[Pa · AP=0]來表示. 這樣的表示能把點、直線和平面三者串聯(lián)起來，體現(xiàn)三者之間的內(nèi)在邏輯關聯(lián)，使學生對點、直線和平面空間向量表示的理解更加深刻，體現(xiàn)“用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的課程標準目標.

例2 （教材第28頁例1）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB = 4，BC = 3，CC1 = 2，M是AB的中點，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖8所示的空間直角坐標系.

（1）求平面BCC1B1的法向量；

（2）求平面MCA1的法向量.

通過問題的解決獲得求法向量的一般方法和步驟. 第（1）小題可以根據(jù)線面垂直的判定定理求解，第（2）小題則可以根據(jù)向量的坐標表示聯(lián)立方程組求解.

【評析】通過典型實例，讓學生實踐求法向量的方法，體會向量方法在立體幾何中的作用，為后續(xù)用法向量研究直線和平面之間的平行、垂直關系，以及距離、夾角等度量問題做好準備.

四、結束語

方向是刻畫直線、平面位置關系的基本工具，角度是對兩個向量方向差的度量. 平行和垂直是立體幾何中空間直線和平面位置關系探究的主旋律，研究位置關系常常轉(zhuǎn)化為直線的方向向量、平面的法向量的夾角的大小關系.

空間直線、平面都是由一個點和一個方向向量確定的. 直線由一個點和它的方向向量確定，平面則由一個點和它的法向量確定. 事實上，這就是歐氏幾何中“過空間一點能作且只能作一條直線與已知直線平行”和“過空間一點能作且只能作一個平面與已知直線垂直”的代數(shù)表示.

用空間向量表示空間中的點、直線和平面，都需要先取定空間中的一點作為基點，再以此為基準，將直線和平面上的定點與直線和平面上的任意一點關聯(lián)起來，從而得出空間直線和平面的向量表示式. 用向量表示空間中的點、直線和平面是用向量法解決問題的第一步，因此合理表示是關鍵，必須準確反映立體圖形的本質(zhì)特征. 空間向量的表示不依賴于基點的選擇，向量不依賴坐標原點的選取，因此向量法不涉及坐標法的煩瑣運算，是解決立體幾何中位置關系和度量關系的理想選擇.

教材通過空間向量的運算，以“思考”欄目為載體，構建了一條問題鏈，引導學生層層深入地進行思考，讓學生掌握其中蘊含的思想方法，認識向量法所起的關鍵作用，最終讓學生得到思維方法上的訓練. 教師應該深入理解教材中構建的問題鏈，并在此基礎上進行教學，把學生的思維活動逐步引向深入，幫助學生在獲得“四基”的過程中，逐步提升“四能”，發(fā)展數(shù)學實踐能力和創(chuàng)新意識，促進學生學會學習.

參考文獻：

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［3］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.

［4］章建躍. 章建躍數(shù)學教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［5］史寧中. 數(shù)學基本思想18講［M］. 北京：北京師范大學出版社，2016.

［6］王凱. 基于“兩個過程”合理性理念下的探究課設計：以“余弦定理”的教學為例［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2021（5）：29-31.