摘 要：“四個(gè)理解”對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)、數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升、數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展有重要的影響. 數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是合理設(shè)計(jì)問題鏈并推進(jìn)教學(xué)過程的教學(xué)模式，在體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維脈絡(luò)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，將“四個(gè)理解”與問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)創(chuàng)新融合，分析了“四個(gè)理解”的內(nèi)涵，構(gòu)建了基于“四個(gè)理解”的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式，展示了其教學(xué)路徑，有效實(shí)現(xiàn)了知識(shí)建構(gòu)與學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的統(tǒng)一.

關(guān)鍵詞：四個(gè)理解；問題驅(qū)動(dòng)；教學(xué)模式；教學(xué)路徑；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）05-0042-06

引用格式：劉再平，羅新兵，王允. 基于“四個(gè)理解”的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)：以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：42-47.

數(shù)學(xué)問題鏈?zhǔn)菙?shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的表現(xiàn)形式，是對(duì)數(shù)學(xué)問題不斷深化、推廣，逐次引申、綜合而形成的若干問題. 數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)問題鏈推進(jìn)教學(xué)的過程，倡導(dǎo)利用主干問題及與其關(guān)系緊密的子問題引導(dǎo)學(xué)生冷靜思考、充分表達(dá)，體現(xiàn)思維脈絡(luò)的教學(xué). 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師如何設(shè)置數(shù)學(xué)問題鏈，如何利用問題鏈推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程，是問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)首要思考的問題.

數(shù)學(xué)教學(xué)的“四個(gè)理解”著眼于數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，有效利用信息技術(shù)，合理設(shè)置教學(xué)情境，通過在情境中生發(fā)的高質(zhì)量和系列化問題，引導(dǎo)學(xué)生深度思考和探究，在提升學(xué)生思維水平和提高課堂教學(xué)效率的同時(shí)，為問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)提供了理論指導(dǎo)和實(shí)踐指南. 以下基于“四個(gè)理解”構(gòu)建具體教學(xué)模式，并以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，探討問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的課堂實(shí)踐.

一、“四個(gè)理解”的內(nèi)涵

2010年，章建躍博士提出了理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生和理解教學(xué)；2017年，章建躍博士在原有的“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上補(bǔ)充了“理解技術(shù)”，正式提出數(shù)學(xué)教學(xué)的“四個(gè)理解”. 他強(qiáng)調(diào)：“四個(gè)理解”的水平是教師專業(yè)水平和育人能力的集中體現(xiàn)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效益的決定性因素，是有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必備條件.

理解數(shù)學(xué)主要是對(duì)數(shù)學(xué)方法、思想和精神的理解，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中凝結(jié)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)方式和價(jià)值觀資源的理解，深入剖析數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，深入理解和自覺應(yīng)用具有統(tǒng)攝性的一般概念. 理解學(xué)生主要是把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律、認(rèn)知基礎(chǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)技能和思維方式，其核心是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律. 理解教學(xué)主要是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律和特點(diǎn)的理解，數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)是以啟發(fā)式教學(xué)思想為指導(dǎo)，用問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，學(xué)生通過類比、推廣、特殊化等思維活動(dòng)，經(jīng)歷概念的概括過程和思想方法的形成過程. 理解技術(shù)主要是在現(xiàn)代信息技術(shù)背景下懂得如何有效利用技術(shù)促進(jìn)學(xué)生的學(xué)和教師的教.

二、基于“四個(gè)理解”的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式

問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是一種操作性較強(qiáng)的教學(xué)實(shí)踐方法，“四個(gè)理解”為數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)提供了理論指導(dǎo)和基本邏輯. 將“四個(gè)理解”與問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)有機(jī)融合，不僅有利于“四個(gè)理解”理念的落實(shí)，提高問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的有效性，還可以拓展理論的外延，豐富實(shí)踐的內(nèi)涵. 鑒于此，構(gòu)建基于“四個(gè)理解”的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式，如圖1所示.

基于理解數(shù)學(xué)明確核心觀念是開展問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的基礎(chǔ)，有利于教師把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，從而站在系統(tǒng)的角度展開教學(xué). 基于理解學(xué)生確立現(xiàn)實(shí)基準(zhǔn)是問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)實(shí)施的前提. 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識(shí)的獲取是以原有的經(jīng)驗(yàn)為生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的過程是對(duì)自身已有經(jīng)驗(yàn)的改造和重組，理解學(xué)生確立現(xiàn)實(shí)基準(zhǔn)有利于喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，制訂符合學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)目標(biāo). 基于理解教學(xué)設(shè)置啟發(fā)問題是問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的關(guān)鍵，理解教學(xué)設(shè)置啟發(fā)問題才能協(xié)調(diào)課堂教學(xué)節(jié)奏，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有序生成與理解. 基于理解技術(shù)優(yōu)化問題時(shí)效是問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的輔助，理想的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是依靠多媒體等信息技術(shù)和教學(xué)板書在高品質(zhì)課堂教學(xué)追求的共識(shí)中相得益彰.

三、基于“四個(gè)理解”的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)路徑

數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)試圖運(yùn)用主干問題激發(fā)學(xué)生深入思考，在解決問題的過程中建構(gòu)知識(shí)與積累經(jīng)驗(yàn)，并在體會(huì)思想的脈絡(luò)化思考中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).“四個(gè)理解”的教學(xué)理念很好地指引問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo). 本文以北師大版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）中的“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，具體展示基于“四個(gè)理解”的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì).

1. 基于理解數(shù)學(xué)明確核心觀念

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷淡化較特殊的概念和方法尋求較一般的數(shù)學(xué)核心觀念的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與根本任務(wù)在注重概念理解與經(jīng)驗(yàn)積累的同時(shí)，更注重學(xué)生思維能力的發(fā)展，以及形成概念與方法背后蘊(yùn)含的學(xué)科品質(zhì)和核心觀念. 明確數(shù)學(xué)核心觀念不僅有利于教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的迫切需要.

“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是學(xué)習(xí)直線和圓后的延續(xù)，要求學(xué)生先類比直線和圓的學(xué)習(xí)心路歷程，再?gòu)漠嫏E圓的過程中概括橢圓的定義，然后合理建系，將橢圓的幾何定義代數(shù)化，推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如圖2所示. 學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容也為后續(xù)雙曲線、拋物線的學(xué)習(xí)做好了類比鋪墊.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)本節(jié)課的要求是：根據(jù)具體問題情境的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題；運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論.

通過上述分析可知，本節(jié)課的數(shù)學(xué)核心觀念是坐標(biāo)法，其本質(zhì)是通過建系尋求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即將幾何圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，進(jìn)而用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，建立代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，這也是數(shù)形結(jié)合的典范.

2. 基于理解學(xué)生確立現(xiàn)實(shí)基準(zhǔn)

在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，在知識(shí)上，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，經(jīng)歷了合理建系、將幾何問題代數(shù)化、從定性到定量研究問題的歷程；在能力上，學(xué)生已經(jīng)具備基本的觀察、概括、建系和化簡(jiǎn)能力；在數(shù)學(xué)思想方法上，學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有所了解. 這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備. 然而，在抽象概括橢圓定義和化簡(jiǎn)橢圓方程時(shí)，本節(jié)課對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)要求較高，學(xué)生存在一定認(rèn)知挑戰(zhàn)，因此應(yīng)該創(chuàng)設(shè)順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情境和問題鏈來驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，以求突破這些認(rèn)知難點(diǎn).

基于此，制訂本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：了解圓錐曲線的發(fā)展歷史和橢圓的實(shí)際背景，經(jīng)歷在實(shí)際情境與動(dòng)手畫橢圓的過程中抽象橢圓定義的過程，理解橢圓的定義；通過恰當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系，經(jīng)歷由橢圓定義推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，并能應(yīng)用其解決相關(guān)問題；體會(huì)解析幾何的本質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)；通過滲透數(shù)學(xué)史料和引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們刻苦鉆研的精神，落實(shí)數(shù)學(xué)育人.

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能解決一些具體問題；教學(xué)難點(diǎn)則是橢圓定義的概括和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

3. 圍繞理解教學(xué)設(shè)置啟發(fā)性問題

在理解教學(xué)方面，本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生通過類比、特殊化和一般化等思維活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括與歸納過程和思想方法的形成過程. 其中，核心是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，關(guān)鍵是設(shè)置好的驅(qū)動(dòng)問題和設(shè)計(jì)自然的教學(xué)過程. 因此，本節(jié)課以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)，類比直線與圓的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，借助數(shù)學(xué)史和身邊的橢圓情境提出主干問題，然后在對(duì)主干問題的探究過程中不斷提出相互關(guān)聯(lián)的子問題，引領(lǐng)學(xué)生在不斷思考的過程中抽象橢圓的定義，推導(dǎo)橢圓的方程，感悟知識(shí)生成的自然性、連貫性和合理性.

（1）類比已有經(jīng)驗(yàn)，借助數(shù)學(xué)史和實(shí)際情境提煉主干問題.

背景1：直線的方程有哪些？圓的定義和方程是什么？如何推導(dǎo)直線和圓的方程？回顧直線和圓的學(xué)習(xí)歷程，思考解析幾何的本質(zhì)是什么.

【設(shè)計(jì)意圖】溫習(xí)舊知，回顧解析幾何的本質(zhì)：合理建系，將問題轉(zhuǎn)化為用代數(shù)定量的方法來研究幾何問題，建立代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，為橢圓的學(xué)習(xí)做好認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)的類比基礎(chǔ).

背景2：閱讀教材章頭語(yǔ)，思考圓、橢圓、拋物線和雙曲線為什么被統(tǒng)稱為圓錐曲線，如何切割圓錐獲得所有圓錐曲線. 梳理圓錐曲線的發(fā)展歷史.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從靜與動(dòng)兩個(gè)視角梳理圓錐曲線的發(fā)展史，如圖3所示.

背景3：列舉身邊的橢圓實(shí)例.

師生活動(dòng)：當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)如圖4和圖5的實(shí)例后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將桌面上的水杯傾斜一定角度，然后觀察水面的形狀，從而發(fā)現(xiàn)身邊的橢圓，如圖6所示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過滲透數(shù)學(xué)史料，由遠(yuǎn)及近地列舉橢圓實(shí)例，消除學(xué)生對(duì)橢圓的陌生感，激發(fā)學(xué)生的鉆研熱情，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，充分發(fā)揮章頭語(yǔ)的育人功能，并為橢圓定義的抽象做準(zhǔn)備.

主干問題：動(dòng)手畫橢圓，能否概括橢圓的定義并探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

（2）分解主干問題，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的子問題鏈.

子問題鏈主要指圍繞教學(xué)主題，一環(huán)套一環(huán)、一步接一步，環(huán)環(huán)相扣、步步深入、循序漸進(jìn)地促進(jìn)主干問題解決的一系列問題. 子問題鏈中包含的一系列問題往往不是相互獨(dú)立的，它們是根據(jù)主干問題的內(nèi)在邏輯和問題解決的基本套路，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，在學(xué)生思維受挫之際及時(shí)提出的一系列聯(lián)系緊密的子問題. 因此，子問題鏈?zhǔn)墙鉀Q主干問題的有力輔助、是學(xué)生思維方向的指引者，是促進(jìn)學(xué)生合乎邏輯地思考并自然建構(gòu)新知的強(qiáng)大保障.

子問題1：閱讀教材第一、二自然段，如何動(dòng)手畫一個(gè)橢圓？

師生活動(dòng)：教師借助幾何畫板軟件展示畫橢圓的基本程序，學(xué)生4人一組用課前準(zhǔn)備好的繩子等工具合作畫橢圓，并選一組學(xué)生在黑板上演示.

子問題2：將繩子的兩端固定在同一個(gè)定點(diǎn)上，用筆尖勾起繩子的中點(diǎn)使繩子繃直，圍繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，筆尖形成的軌跡是什么？將繩子的兩端分別固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，用筆尖勾直繩子，移動(dòng)筆尖，得到的軌跡又是什么？

子問題3：回顧上述作圖過程，哪些量沒有變？哪些量變了？試歸納概括橢圓的定義.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括橢圓的定義，了解焦點(diǎn)與焦距的含義.

子問題4：若定義中的常數(shù)等于[F1F2]，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？若定義中的常數(shù)小于[F1F2]，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡又是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】通過有序追問，先驅(qū)動(dòng)學(xué)生結(jié)合畫橢圓的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，類比圓的定義抽象概括橢圓的概念，然后逐步完善并加深對(duì)橢圓概念的理解.

子問題5：通過背景1，我們回顧了直線和圓的方程的探究程序，即建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn). 類比上述方法，能否探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

子問題6：如圖7，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在y軸的正半軸上時(shí)，由橢圓的定義及對(duì)稱性，能否判斷線段[MF1]與常數(shù)a的關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)學(xué)生讀出[MF1=a]，[OF1=c]時(shí)，在Rt△OMF1中，不妨記[OM=b]，則由勾股定理，得a2 = b2 + c2，a > b > 0. 為后續(xù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)作鋪墊.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生按照建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)的步驟有邏輯地推導(dǎo)焦點(diǎn)在[x]軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

子問題7：如果橢圓的焦點(diǎn)在[y]軸上，類比上述過程，能否獨(dú)立推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

子問題8：方程mx2 + ny2 = 1和[x2m+y2n=1]能表示圓和橢圓嗎？若能表示橢圓，則m，n滿足什么條件時(shí)，分別表示焦點(diǎn)在x軸和y軸上的橢圓？

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比直線和圓的方程的推導(dǎo)程序，建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法將橢圓的幾何定義代數(shù)化，為橢圓方程的探究指明了方向.

子問題5 ～ 子問題8的設(shè)計(jì)意圖主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：首先，突破化簡(jiǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程這一難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生有序去掉根號(hào)，當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒時(shí)，教師要及時(shí)鼓勵(lì)與提示；其次，促進(jìn)學(xué)生理解“標(biāo)準(zhǔn)”二字；最后，驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)圓和橢圓方程的統(tǒng)一認(rèn)知，形成知識(shí)體系.

當(dāng)然，在推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，教師要給學(xué)生留下充足的思考時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立完成，從而提高學(xué)生的探究能力和思維品質(zhì).

子問題9：本節(jié)課學(xué)到了哪些知識(shí)和技能？這些知識(shí)與技能是如何生成的？積累了哪些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？體會(huì)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

師生活動(dòng)：當(dāng)學(xué)生小結(jié)、師生補(bǔ)充后，鼓勵(lì)學(xué)生課后類比學(xué)習(xí)拋物線和雙曲線的相關(guān)知識(shí).

4. 關(guān)注理解技術(shù)優(yōu)化問題時(shí)效

數(shù)學(xué)課時(shí)有限，每節(jié)課學(xué)生注意力集中的時(shí)間也有限，為了在有限的時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)目標(biāo)，可以合理增加教學(xué)容量，豐富教學(xué)形式，化解數(shù)學(xué)抽象特性，這迫切需要理解技術(shù)優(yōu)化問題時(shí)效. 因此，本節(jié)課將多媒體、幾何畫板軟件、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)有效融合.

（1）借助信息技術(shù)，優(yōu)化主干問題和子問題的時(shí)效性.

本節(jié)課是在學(xué)生已有直線和圓的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)史料和實(shí)際橢圓情境提出主干問題，重點(diǎn)是引出和探究新知. 因此，主干問題的提出需要高效利用課堂教學(xué)時(shí)間，借助信息技術(shù)，運(yùn)用多媒體及時(shí)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史料（圖3）、實(shí)際橢圓情境（圖4、圖5和圖6）和圓錐曲線的動(dòng)態(tài)切割視頻（圖8）.

在提出子問題1和子問題2后，為了促進(jìn)學(xué)生順利畫出橢圓，可以借助幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)展示橢圓的畫法（圖9），課尾也可以展示壓縮圓的橢圓拓展畫法（圖10）.

（2）借助信息技術(shù)，優(yōu)化課堂練習(xí)和課后作業(yè)的時(shí)效性.

為促進(jìn)學(xué)生理解和鞏固新知，提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力，鼓勵(lì)學(xué)生課后繼續(xù)探究，需要設(shè)計(jì)好的課堂練習(xí)與課后作業(yè)題. 用多媒體呈現(xiàn)課堂練習(xí)與課后作業(yè)題，便于學(xué)生及時(shí)延續(xù)學(xué)習(xí)活動(dòng).

課堂練習(xí)1：概念辨析，并說明理由.

（1）橢圓的特殊形式是圓；

（2）到F1[-1，0]，F(xiàn)2[1，0]的距離之和為2的點(diǎn)的軌跡是橢圓；

（3）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

技術(shù)指南：利用PPT設(shè)置判斷按鈕和動(dòng)畫效果，給予合理注釋，高效評(píng)判，加深學(xué)生對(duì)概念的理解，做到精準(zhǔn)教學(xué).

課堂練習(xí)2：在滿足下列條件時(shí)，求方程[x2m-1+][y23-m=1]中m，n的范圍.

（1）表示圓；

（2）表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

（3）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；

（4）表示橢圓.

技術(shù)指南：利用PPT呈現(xiàn)，簡(jiǎn)潔精練，突出知識(shí)體系.

課堂練習(xí)3：（教材例題改編）2021年12月29日，長(zhǎng)征二號(hào)丁遙四十一運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空，成功將天繪-4衛(wèi)星送入預(yù)定軌道. 天繪-4衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球中心為焦點(diǎn)的橢圓，距地球表面最近點(diǎn)的距離為m千米，距地球表面最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為n千米，地球可近似地看作一個(gè)半徑為R千米的球體，求橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程.

技術(shù)指南：播放相關(guān)視頻，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)衛(wèi)星發(fā)射過程，形象直觀，滲透德育，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和自信心.

課后作業(yè)1：教材習(xí)題2-1的第1題、第2題、第3題和第9題.

課后作業(yè)2：制作圓與橢圓知識(shí)的思維導(dǎo)圖.

課后作業(yè)3：類比橢圓的學(xué)習(xí)模式，預(yù)習(xí)拋物線和雙曲線的相關(guān)知識(shí).

技術(shù)指南：PPT簡(jiǎn)潔直觀，高效展示，分層作業(yè)，優(yōu)化教學(xué)方式.

總之，無論是新知探究階段，還是鞏固評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)，都可以運(yùn)用信息技術(shù)來輔助完成，節(jié)省課堂時(shí)間，適度擴(kuò)大課堂容量，優(yōu)化問題時(shí)效，促進(jìn)課堂教學(xué)活動(dòng)順利開展，從而提高課堂教學(xué)的有效性，這也是教材中增加信息技術(shù)應(yīng)用內(nèi)容的意圖.

四、設(shè)計(jì)反思

好的教學(xué)設(shè)計(jì)需要提出有效的問題和設(shè)計(jì)自然的過程，其核心是教會(huì)學(xué)生思考，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.“四個(gè)理解”指引下的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)，還需要關(guān)注以下幾點(diǎn).

1. 創(chuàng)設(shè)真實(shí)性、相關(guān)性問題情境

好的問題情境建立在情境的真實(shí)性和相關(guān)性上. 情境的真實(shí)性指情境本身來自真實(shí)的世界，反映了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的真實(shí)脈絡(luò)；情境的相關(guān)性指問題是在情境中自然產(chǎn)生的，而非人為編造，問題的解決也需要借助情境信息.

2. 設(shè)計(jì)可接受、促思考的引領(lǐng)問題

怎樣才能設(shè)計(jì)好的引領(lǐng)問題？我們認(rèn)為，在學(xué)生的心理和認(rèn)知承受范圍內(nèi)，以促進(jìn)學(xué)生的積極思考為目的，以實(shí)現(xiàn)課堂自然生成為追求，緊扣當(dāng)前數(shù)學(xué)一般觀念，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，才是好的引領(lǐng)問題.

3. 梳理承啟性、進(jìn)階性問題關(guān)系

好的問題應(yīng)該突出數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性. 主干問題的設(shè)計(jì)需要關(guān)注知識(shí)的本源，子問題鏈的設(shè)計(jì)要助力主干問題的解決，在突破學(xué)生思維障礙的同時(shí)，促使學(xué)生合乎邏輯地思考和建構(gòu)新知. 主干問題指導(dǎo)了子問題鏈的提出；反之，子問題鏈促進(jìn)了主干問題的解決，從而厘清了知識(shí)脈絡(luò)，揭示了知識(shí)本質(zhì). 兩者相輔相成，共同實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階.

4. 突出靈活性、有效性問題的使用

盡管基于“四個(gè)理解”的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)中的問題以教師課前預(yù)設(shè)為主，但是真實(shí)的課堂教學(xué)是在師生互動(dòng)中演進(jìn)的，課前預(yù)設(shè)的問題不能完全僵化和原封不動(dòng)地呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生在教學(xué)過程中提出的一些數(shù)學(xué)問題也要靈活選用，即突出靈活性、有效性問題的使用.

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