摘 要：對高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)面臨的困境進(jìn)行了探討，給出了“海岸救生最快路徑”問題的教學(xué)設(shè)計(jì)解讀. 通過創(chuàng)設(shè)情境，從問題理解、模型建立、求解分析等多個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的理解，讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)建模的一般步驟，掌握運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬的方法. 通過引入費(fèi)馬原理，進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)與物理之間的聯(lián)系，凸顯了不同學(xué)科的融合，拓寬了學(xué)生的視野.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；教學(xué)設(shè)計(jì)；海岸救生；學(xué)科融合

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）05-0048-06

引用格式：劉艷麗，蔣川宇. 凸顯學(xué)科融合的數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)與思考：以“海岸救生最快路徑”為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：48-52，58.

雖然高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)受到了廣泛的關(guān)注和重視，但是在實(shí)際教學(xué)中數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開展仍然存在一些困難. 首先，教師對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識存在偏差. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）建議將數(shù)學(xué)建模納入數(shù)學(xué)教學(xué)中. 雖然教材的編寫注重了數(shù)學(xué)建模的思想，但是其中關(guān)于數(shù)學(xué)建模的素材仍待豐富. 教師對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識局限于函數(shù)的應(yīng)用或?qū)?shù)學(xué)建模等同于解應(yīng)用題. 在實(shí)際教學(xué)過程中，教師既要教授學(xué)生基礎(chǔ)知識，又要幫助學(xué)生建立知識之間的聯(lián)系，對數(shù)學(xué)建模的教學(xué)難以深入研究. 大部分教師認(rèn)為教學(xué)的重點(diǎn)是使學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，而不是數(shù)學(xué)建模. 其次，教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)能力欠缺. 通過建立模型解決綜合性數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生具備將實(shí)際數(shù)學(xué)問題抽象為數(shù)學(xué)模型的能力. 面對實(shí)際問題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，教師普遍缺乏對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行深層次表征、要素提取、問題歸結(jié)和數(shù)據(jù)處理的能力. 最后，教學(xué)缺乏數(shù)學(xué)建模的素材. 數(shù)學(xué)建模需要在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)掘問題情境，只依賴教材中少量的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容是不夠的. 教師缺少獲得生活化建模素材的途徑，無法指導(dǎo)學(xué)生開展豐富的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).

筆者以“海岸救生最快路徑”為課題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，并開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐，實(shí)施過程中有很大的收獲與感悟.

一、“海岸救生最快路徑”教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)內(nèi)容分析

基于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用對現(xiàn)實(shí)生活中“海岸救生最快路徑”問題建立數(shù)學(xué)模型，通過求解該模型能夠得到救援的最快路徑. 在教學(xué)過程中，需要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程、了解數(shù)學(xué)建模的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值、掌握數(shù)學(xué)建模的基本步驟和方法. 通過分析問題和建立函數(shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

教學(xué)的重點(diǎn)是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以及對數(shù)學(xué)模型的分析和求解.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解數(shù)學(xué)建模的基本概念和原理，掌握數(shù)學(xué)建模的一般步驟.

（2）能夠?qū)?shí)際問題數(shù)學(xué)化、符號化，建立合適的數(shù)學(xué)模型.

（3）能夠運(yùn)用信息技術(shù)對模型進(jìn)行分析和求解.

3. 教學(xué)問題診斷分析

在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生可能存在對數(shù)學(xué)建模的概念理解不深入、對實(shí)際問題的分析經(jīng)驗(yàn)不足、對數(shù)學(xué)方法和信息技術(shù)的使用不熟練等困難. 在教學(xué)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)問題與生活經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考并動(dòng)手實(shí)踐.

教學(xué)的難點(diǎn)是準(zhǔn)確理解和把握問題的本質(zhì)，選擇合適的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，以及對建立的模型進(jìn)行分析和求解.

4. 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（1）設(shè)計(jì)閱讀素材，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模.

在學(xué)生的前置性學(xué)習(xí)中，教師為學(xué)生提供數(shù)學(xué)建模相關(guān)的閱讀材料，內(nèi)容包含了解什么是數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)建模的一般步驟和各步驟的簡要解釋. 具體內(nèi)容如下.

數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、語言和工具，對實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化和建立數(shù)學(xué)模型的過程. 通過建立數(shù)學(xué)模型，可以更準(zhǔn)確地描述和分析實(shí)際問題，為解決實(shí)際問題提供理論依據(jù)和決策支持. 數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要組成部分，更是工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域中的重要工具.

數(shù)學(xué)建模的一般步驟，如圖1所示.

數(shù)學(xué)建模各步驟的簡要解釋如下.

① 實(shí)際情境. 明確問題的現(xiàn)實(shí)背景，為后續(xù)把握問題的本質(zhì)和確定關(guān)鍵因素作鋪墊.

② 提出問題. 從具體情境中提出具有現(xiàn)實(shí)意義的實(shí)際問題.

③ 建立模型. 基于實(shí)際問題進(jìn)行合理的模型假設(shè)，抓住關(guān)鍵因素對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理（符號說明），完成數(shù)學(xué)模型的建立.

④ 求解模型. 運(yùn)用信息技術(shù)等手段對建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，得出模型的解析解或數(shù)值解.

⑤ 檢驗(yàn)結(jié)果. 在實(shí)際情境中對模型的求解結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，確定所建數(shù)學(xué)模型的合理性. 若模型合理，則確認(rèn)最終的結(jié)果，否則需要調(diào)整模型或者重新建立數(shù)學(xué)模型.

⑥ 實(shí)際結(jié)果. 運(yùn)用模型得出實(shí)際問題的結(jié)果.

（2）從學(xué)科融合的視角尋找最佳引入.

“海岸救生最快路徑”問題中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)與物理知識，如費(fèi)馬原理、光的折射定律等. 以問題1引入，既充分考慮了物理知識與數(shù)學(xué)知識的融合，又提供了知識背景，降低了知識的準(zhǔn)入門檻.

問題1：觀看實(shí)驗(yàn)視頻，五條路線完全不同的賽道上排列了一排小球，在同一高度上，哪條路線上的小球會最快到達(dá)終點(diǎn)？

選擇曲線路線比選擇直線路線更快到達(dá)終點(diǎn)，這就是著名的“最速降線”問題. 在所有可能的曲線路線中，哪條曲線耗時(shí)最短？它具有怎樣的特點(diǎn)？要解決這些問題，需要運(yùn)用費(fèi)馬原理.

【設(shè)計(jì)意圖】由物理學(xué)科中著名的“最速降線”問題引入教學(xué)，通過拋出問題促進(jìn)師生互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（3）從生活情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 從生活情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是開展數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵.

情境：如圖2，一名沙灘救生員在沙灘巡邏時(shí)發(fā)現(xiàn)海里有人落水呼救，此時(shí)需要救生員盡快趕到落水者身邊進(jìn)行救援.

問題2：如何確定最快的營救路徑？

學(xué)生通過分組討論，畫出了可能的路徑（如圖3），并說明了理由. 例如，路徑②的路程最短，路徑①比路徑③跑步的距離長；路徑③的路程比較折中. 確定最快的營救路線的核心是要確定救生員的入海點(diǎn)，而入海點(diǎn)的精確位置需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，通過建立數(shù)學(xué)模型來確定.

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)生活中的實(shí)際情境，通過提出數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界. 在問題分析的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力.

（4）提出假設(shè)，建立模型.

學(xué)生通過閱讀預(yù)備知識，了解數(shù)學(xué)建模的一般步驟. 按照圖1的流程進(jìn)入數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié)，學(xué)生需要先對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行合理假設(shè).

問題3：在“海岸救生最快路徑”問題中，結(jié)合沙灘、海面、救生員和落水者等因素，能否嘗試提出一些合理的假設(shè)？

需要考慮的因素主要有救生員、落水者和環(huán)境（沙灘、海水、風(fēng)速等）因素. 學(xué)生討論后提出假設(shè)，師生共同討論假設(shè)的合理性，確定哪些因素是必要因素，哪些因素可以忽略不計(jì). 最終，師生共同確定了以下三個(gè)關(guān)鍵假設(shè).

① 忽略沙灘的地勢起伏和障礙物等因素，將海面和沙灘視為同一個(gè)平面，將海岸線視為水平線.

② 救生員在沙灘和水中的營救速度保持不變，均可以視為勻速直線運(yùn)動(dòng).

③ 落水者的位置不發(fā)生改變.

【設(shè)計(jì)意圖】模型假設(shè)能夠簡化實(shí)際問題，忽略次要因素、突出主要因素，使問題的討論更加具體、清晰，便于后續(xù)模型的分析和求解.

問題4：基于上述三個(gè)關(guān)鍵假設(shè)，隨機(jī)選取一個(gè)入海點(diǎn). 如圖4，要求畫出營救路徑示意圖，設(shè)定變量，標(biāo)記變量符號，并對符號進(jìn)行解釋說明.

使用符號標(biāo)記建立數(shù)學(xué)模型所需要的變量，用符號表示圖中的幾何要素（如表1），用垂直距離和水平距離刻畫救生員與落水者之間的位置關(guān)系，用入海點(diǎn)與救生員之間的水平距離量化入海點(diǎn)的位置.

【設(shè)計(jì)意圖】將實(shí)際問題中的核心要素符號化、數(shù)學(xué)化，有利于學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，為后續(xù)模型的建立作鋪墊.

問題5：畫出模型示意圖，建立救生員到達(dá)落水者身邊所需的時(shí)間[t]與[x]之間的函數(shù)模型.

解：基于符號表示，繪制的模型示意圖如圖5所示.

在[Rt△AEC]中，由[EC=x]，[AE=d1]，得[AC=][EC2+AE2=x2+d12].

因?yàn)閇EF=s]，[EC=x]，

所以[CF=][s-x].

所以在[Rt△BFC]中， [BC=CF2+BF2=s-x2+d22].

因?yàn)榫壬鷨T在沙灘上的速度為[v1]，在海中的速度為[v2]，

所以建立的時(shí)間[t]與[x]的模型為[t=ACv1+BCv2=][x2+d12v1+s-x2+d22v2，x∈0，s].

【設(shè)計(jì)意圖】圖形的可視化有利于函數(shù)模型的建立，有利于學(xué)生體會建立數(shù)學(xué)模型的過程.

（5）融合信息技術(shù)求解模型.

模型的求解是數(shù)學(xué)建模中的難點(diǎn)，需要將“海岸救生最快路徑”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問題. 在該環(huán)節(jié)的教學(xué)中，需要先聯(lián)系導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，解決最值的存在性問題，再從實(shí)際問題出發(fā)運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬.

問題6：從實(shí)際問題出發(fā)，判斷函數(shù)[t]是否存在最小值？若存在，嘗試給出函數(shù)[t]取得最小值時(shí)自變量[x]的值；若不存在，說明理由.

解：[t]對[x]的導(dǎo)數(shù)為[t=xv1x2+d12-s-xv2s-x2+d22=]

[1v11+d1x2-1v21+d2s-x2]，[x∈0，s].

觀察可知，[t]關(guān)于[x]的函數(shù)在[0，s]上單調(diào)遞增.

因?yàn)閇tx=0=-sv2s2+d22<0，tx=s=sv1s2+d12>0]，

所以[t]在[0，s]上存在唯一的零點(diǎn).

所以函數(shù)[t]在該零點(diǎn)處取得最小值.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對函數(shù)求導(dǎo)獲得了函數(shù)的最小值. 在運(yùn)算過程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行代數(shù)式的恒等變形，優(yōu)化解題策略，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

問題7：為了確定實(shí)際問題中的最快路徑，需要確定[t]的具體表達(dá)式，試通過調(diào)研或?qū)嵉乜疾斓确绞将@取數(shù)據(jù)，并設(shè)定相應(yīng)參數(shù)的值.

例如，參考普通人跑50 m所需的時(shí)間，可以將[v1]設(shè)為[7.5 m / s]，參考救生員的考核標(biāo)準(zhǔn)，可以將[v2]設(shè)為[1.25 m / s.] 具體參考數(shù)據(jù)如下：[v1=7.5 m / s，v2=]

[1.25 m / s，d1=7 m]，[d2=5 m]，[s=5.75 m].

【設(shè)計(jì)意圖】通過自主獲取數(shù)據(jù)，讓學(xué)生體會到模型的建立來源于實(shí)際情境，有利于學(xué)生進(jìn)一步感受建模的實(shí)際意義.

問題8：在明確函數(shù)[t]的具體表達(dá)式后，試確定救生員進(jìn)行營救的最快路徑.

在求解過程中發(fā)現(xiàn)，直接對[t]進(jìn)行最小值求解存在較大困難，因此借助信息技術(shù)求解問題. 利用GeoGebra軟件求解的結(jié)果，如圖6所示.

【設(shè)計(jì)意圖】加深信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)的能力，讓學(xué)生認(rèn)識到信息技術(shù)是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要工具.

考慮到救生員的體力、海浪等因素對救援時(shí)效的影響，可以修改[v1，v2，d1，d2，s]的值，通過GeoGebra軟件進(jìn)行求解并觀察結(jié)果的變化. 例如，當(dāng)[v1=7 m / s]，[v2=1 m / s]，[d1=][6.75 m]，[d2=5.5 m]，[s=5.75 m]時(shí)，求解的結(jié)果如圖7所示.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會到模型的結(jié)果是基于具體情境得出的，不具有唯一性. 通過模型的建立和求解得到的近似結(jié)果是否符合實(shí)際情況還需要進(jìn)一步檢驗(yàn). 通過改變數(shù)據(jù)，有利于加深學(xué)生對模型的認(rèn)識，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)建模的樂趣.

（6）檢驗(yàn)結(jié)果，引出費(fèi)馬原理.

問題9：[t=xv1x2+d12-s-xv2s-x2+d22，x∈0，s.]令[t=0]，則有[xv1x2+d12-s-xv2s-x2+d22=0]，可得[xv1x2+d12=s-xv2s-x2+d22]. 這個(gè)等式蘊(yùn)含怎樣的幾何意義？觀察圖8，探究該等式的幾何意義.

由圖8可知，[sinθ1=xx2+d12，sinθ2=s-xs-x2+d22].

當(dāng)[t=0]時(shí)，[sinθ1v1=sinθ2v2]，即[sinθ1sinθ2=v1v2].

上述公式在結(jié)構(gòu)上與光學(xué)中的折射定律是一致的，而費(fèi)馬原理證明了光的折射定律. 費(fèi)馬原理指出了光線從一點(diǎn)射入另一點(diǎn)的路徑，其實(shí)際路徑是光程時(shí)間的極小值. 簡而言之，就是光永遠(yuǎn)以時(shí)間最短的路徑行進(jìn). 在“海岸救生最快路徑”問題中，救生員從沙灘進(jìn)入水中就相當(dāng)于光從一種均勻的介質(zhì)進(jìn)入另一種均勻介質(zhì). 根據(jù)費(fèi)馬原理可知，在沙灘和海水的分界線上可以找到一個(gè)入海點(diǎn)，使得救生員的行進(jìn)路徑最短.

【設(shè)計(jì)意圖】回顧[t]對[x]的導(dǎo)數(shù)，引出費(fèi)馬原理. 通過對費(fèi)馬原理進(jìn)行簡要介紹，揭示了數(shù)學(xué)與物理之間的聯(lián)系，以學(xué)科融合的方式拓寬了學(xué)生的知識面.

（7）深度理解“最速降線”及其實(shí)際應(yīng)用.

為了讓學(xué)生更好地理解“最速降線”問題，教師引導(dǎo)學(xué)生觀看運(yùn)用費(fèi)馬原理推導(dǎo)最速降線是擺線的視頻，了解費(fèi)馬原理的完整證明過程. 同時(shí)，教師舉例指出“最速降線”在生活中的廣泛運(yùn)用. 例如，在過山車活動(dòng)中，將下降曲線設(shè)計(jì)為“最速降線”可以使乘客在下落過程中獲得更快的速度，得到更刺激的體驗(yàn). 在古代建筑中，將屋頂設(shè)計(jì)為曲線，在暴雨時(shí)可以使屋頂上的雨水以更快的速度流走.

【設(shè)計(jì)意圖】對“最速降線”的相關(guān)知識及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性.

二、教學(xué)思考

1. 注重?cái)?shù)學(xué)建模與學(xué)科知識的深度融合，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模課程應(yīng)該立足教材. 在相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)時(shí)，教師要配合數(shù)學(xué)應(yīng)用來展開數(shù)學(xué)建模教學(xué)，從而更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模問題情境的選取要貼近生活實(shí)際，盡可能地使建模案例真實(shí)、具體，讓學(xué)生能真正地融入情境中. 問題源于生活，學(xué)生要善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，要學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題和解決問題.

2. 數(shù)學(xué)建模要注重學(xué)生的參與和經(jīng)歷

“海岸救生最快路徑”問題的情境中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)與物理知識. 從具體的情境出發(fā)，提出現(xiàn)實(shí)問題，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考. 學(xué)生從具體情境出發(fā)，經(jīng)歷了完整的數(shù)學(xué)建模過程，獲得了數(shù)學(xué)建模的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有利于后續(xù)其他數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開展. 在教學(xué)過程中，學(xué)生通過小組討論，逐步打開思維，提出更多想法. 在師生互動(dòng)中，學(xué)生逐步抓住問題的本質(zhì)，厘清建模的思路. 雖然數(shù)學(xué)建模對學(xué)生而言比較困難，但是由于數(shù)學(xué)建模的過程是環(huán)環(huán)相扣的，降低了建模的難度，激發(fā)了學(xué)生的探索欲.

3. 有層次地生成高階思維

隨著“最速降線”、海岸救生最快路徑、費(fèi)馬原理和“最速降線”的生活應(yīng)用有層次地推進(jìn)，學(xué)生不斷接收新知識，并在新、舊知識之間建立聯(lián)系. 不僅解決問題，還逐步建立知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，即以一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題為切入口，打開學(xué)生的思維，讓學(xué)生找到知識的生長點(diǎn)，從而幫助學(xué)生有層次地生成高階思維，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

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