摘 要：向量的數(shù)量積是重要的運(yùn)算和核心的概念. 通過對(duì)向量線性運(yùn)算功能與價(jià)值的反思，發(fā)現(xiàn)定義新運(yùn)算的必要性. 基于問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)原理，以被改造過的余弦定理為本原性問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生通過問題解決實(shí)現(xiàn)數(shù)量積的概念建構(gòu)，利用解決過程中自然產(chǎn)生的投影向量揭示數(shù)量積的幾何意義并建立運(yùn)算律，實(shí)現(xiàn)概念理解. 最后對(duì)問題情境的適切性、投影變換保持認(rèn)知方式的連貫性、數(shù)量積對(duì)認(rèn)知發(fā)展的促進(jìn)作用和促進(jìn)向量方法的生長拔節(jié)等問題進(jìn)行了反思.

關(guān)鍵詞：向量的數(shù)量積；概念教學(xué)；問題驅(qū)動(dòng)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）05-0012-05

引用格式：李昌，朱松. 問題驅(qū)動(dòng)的向量數(shù)量積的概念教學(xué)［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：12-16.

在向量知識(shí)體系中，數(shù)量積既是核心的概念又是重要的運(yùn)算. 因此，對(duì)數(shù)量積的學(xué)習(xí)既要理解概念本質(zhì)，又要掌握運(yùn)算技能. 運(yùn)算技能的掌握只需要正確合理地操作訓(xùn)練就能實(shí)現(xiàn)，而對(duì)概念本質(zhì)的深刻理解則要求學(xué)生的思維必須真正進(jìn)入概念形成的過程中去. 對(duì)概念本質(zhì)的深刻理解能夠促進(jìn)運(yùn)算技能的快速掌握. 因此，做好數(shù)量積的概念教學(xué)顯得尤為重要.

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)量積是通過與實(shí)數(shù)運(yùn)算的類比，以物理學(xué)中“功”的計(jì)算為原型，將其抽象為力和位移這兩個(gè)矢量“相乘”的結(jié)果，然后推廣為向量的運(yùn)算，并依據(jù)運(yùn)算結(jié)果的數(shù)量特征來命名的乘法運(yùn)算. 在教學(xué)實(shí)踐中，由于數(shù)量積概念高度的抽象性，學(xué)生難以將其融合到功的原型中進(jìn)行抽象概括，也就很難水到渠成地實(shí)現(xiàn)從功到數(shù)量積的意義建構(gòu). 而且，依照與實(shí)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行類比的邏輯來引入數(shù)量積的概念，無法彰顯數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求和動(dòng)因，也就不能體現(xiàn)引入數(shù)量積的必要性和價(jià)值. 再加之?dāng)?shù)量積喪失了運(yùn)算的封閉性和可逆性，學(xué)生關(guān)于運(yùn)算的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)不僅無法進(jìn)行概念同化，反而容易成為一種阻礙理解的思維定式.

綜上所述，學(xué)生容易把機(jī)械記憶和文本復(fù)述作為理解數(shù)量積概念的主要途徑，數(shù)量積的概念教學(xué)也容易走偏為直接告知. 那么，如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到引入數(shù)量積的內(nèi)在動(dòng)因和價(jià)值？如何水到渠成地實(shí)現(xiàn)數(shù)量積的概念建構(gòu)？如何讓學(xué)生在數(shù)量積的概念教學(xué)中體會(huì)到蘊(yùn)含其中的思想方法？筆者根據(jù)問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的原理，對(duì)數(shù)量積的概念教學(xué)進(jìn)行了實(shí)踐和思考，期待大家批評(píng)和指正.

一、問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)：“教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題. 教學(xué)情境包括：現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境……情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)是基于《標(biāo)準(zhǔn)》要求進(jìn)行的理論和實(shí)踐探討，其核心觀點(diǎn)是以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的本原性問題為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，通過教學(xué)法將其加工成適合學(xué)生認(rèn)知的教育形態(tài)，從而引發(fā)學(xué)生火熱的思考. 實(shí)施問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的基本要求是，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，要實(shí)現(xiàn)內(nèi)容知識(shí)由學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)的轉(zhuǎn)變，即要在整體把握教學(xué)單元、深入理解課時(shí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，聯(lián)系學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，提出真實(shí)的問題并賦予有效的情境；教師在實(shí)施教學(xué)的過程中，要基于“數(shù)學(xué)化”的方法組織教學(xué)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生圍繞問題情境進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)和解決問題，并在探究、發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過程，獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建具有聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu).

二、數(shù)量積的概念教學(xué)

1. 反思線性運(yùn)算，體會(huì)引入新運(yùn)算的必要性和目的性

問題1：通過與實(shí)數(shù)運(yùn)算的類比，我們定義了向量加法、向量減法和向量數(shù)乘. 這些線性運(yùn)算能夠定量地描述線段平行、圖形相似等幾何性質(zhì)，其中蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法. 那么，能否利用這些線性運(yùn)算來刻畫向量的長度和夾角？為什么？用于計(jì)算長度和夾角的向量運(yùn)算應(yīng)該具有怎樣的特征？

追問：類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在建立向量加法、向量減法和向量數(shù)乘的定義后，應(yīng)該建立向量的乘法，并用于刻畫長度和夾角. 對(duì)于同向向量的特例，如何進(jìn)行乘法運(yùn)算？理由是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】問題1旨在引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)向量線性運(yùn)算的特點(diǎn)、意義和價(jià)值的回顧反思發(fā)現(xiàn)定義新運(yùn)算的必要性和目的性，并為學(xué)生提供發(fā)展質(zhì)疑能力和理性思維的契機(jī)和載體. 追問旨在用特殊向量如何相乘的問題引發(fā)學(xué)生合情推理，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，并為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生積極的情感體驗(yàn)提供機(jī)會(huì).

實(shí)際的教學(xué)反饋是，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為同向向量的乘法是其模相乘. 他們的理由集中于兩點(diǎn)：一是從幾何上看，兩個(gè)同向向量在直線上的位置與兩個(gè)正實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置相同，因此它們的乘法應(yīng)該與實(shí)數(shù)的乘法相似；二是與向量加法相對(duì)照，同向向量相加時(shí)，只需要對(duì)模相加，類似地，它們相乘時(shí)，也只需要將模相乘. 筆者認(rèn)為，這兩點(diǎn)理由雖然牽強(qiáng)，但以此進(jìn)行合情推理，與學(xué)生的認(rèn)知相符.

2. 以計(jì)算和向量長度的問題，驅(qū)動(dòng)數(shù)量積的概念建構(gòu)

問題2：根據(jù)向量加法的三角形法則，容易得到模的關(guān)系式[a+b≤a+b]，若記非零向量[a，b]的夾角為[θ]，則當(dāng)[θ=0]時(shí)，其中的[“=”]成立. 那么，當(dāng)[θ≠0]時(shí)，[a+b， a， b]和[θ]之間是否也存在某種等量關(guān)系？先以[θ]取特殊值時(shí)的情形為例進(jìn)行探究.

追問1：當(dāng)[θ=π2]時(shí)，由[a，b]和[a+b]確定了直角三角形，三邊長滿足勾股定理，即[a+b2=a2+b2]，變形為[a+b2-a2-b2=0]. 若記[f=a+b2-a2-b2]，

則當(dāng)[θ≠π2]時(shí)，[f≠0]. 那么，[f]的值是多少？與哪些因素有關(guān)？不妨先保持[a， b]不變，觀察并想象[f]隨[θ]的變化情況，再保持[θ]不變，觀察并想象[f]隨[a， b]的變化情況.

追問2：如圖1，[△ABC]是由[a，b]和[a+b]確定的，[a]和[b]的夾角[θ≠π2]. 如何將這些三角形轉(zhuǎn)化直角三角形，進(jìn)而求得前述[f]的值？

追問3：求得的[f=2abcosθ]對(duì)于[a，b]共線的情形是否成立？

追問4：數(shù)學(xué)上把[abcosθ]定義為向量[a，b]的數(shù)量積，用符號(hào)[a ? b]來表示，即[a ? b=abcosθ]，并規(guī)定[0 ? a=0].“積”是乘法的稱謂，乘法是一種二元關(guān)系，表達(dá)某種不變性或規(guī)律性. 據(jù)此談?wù)勀銓?duì)[a ? b]的理解，說明以“數(shù)量”修飾“積”的道理. 此外，現(xiàn)實(shí)中有數(shù)量積的例子嗎？例如，物理中計(jì)算物體在力的作用下發(fā)生位移的功，是數(shù)量積嗎？

追問5：當(dāng)非零向量[a，b]具有某種特殊關(guān)系時(shí)，如[a∥b]，[a⊥b]，[b=a]等，[a ? b]的數(shù)值或形式有什么特殊性？能由此得到計(jì)算向量長度和夾角的路徑嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】余弦定理與數(shù)量積具有相同的數(shù)學(xué)本質(zhì). 以被改造了表達(dá)形式的余弦定理為建構(gòu)數(shù)量積的本原性問題，能夠展示數(shù)量積概念形成的過程和邏輯，并驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的發(fā)展. 向量加法的三角形法則和模的關(guān)系式[a+b≤a+b]都是學(xué)生熟悉的基礎(chǔ)知識(shí)，在此情境中可以自然地提出探索三條邊長和向量夾角之間是否存在等量關(guān)系的問題，而不會(huì)讓學(xué)生感到突兀.

追問1以向量夾角為直角的特殊情形，引發(fā)學(xué)生關(guān)聯(lián)直角三角形，提取勾股定理，既肯定了等量關(guān)系的存在性，又提供了改造余弦定理、引入變量[f]的基礎(chǔ)，也為后續(xù)問題提供了轉(zhuǎn)化的方向和解決的支架. 引導(dǎo)學(xué)生觀察并想象[f]隨[θ]和[a， b]的變化情況，目的是讓學(xué)生建立[f]與[θ]和[a， b]緊密相關(guān)的感性認(rèn)知.

追問2要求學(xué)生在由[a，b]和[a+b]確定的幾類三角形中計(jì)算[f]的值，這既是對(duì)問題2的具體解決，也是數(shù)量積概念教學(xué)的關(guān)鍵所在. 因?yàn)閱栴}解決的過程，能讓學(xué)生看到數(shù)量積運(yùn)算與向量長度和夾角的緊密聯(lián)系，問題解決的結(jié)果為學(xué)生提供了根據(jù)運(yùn)算理解數(shù)量積概念的特定視角.

現(xiàn)在以圖1（a）為例展示問題解決的思路. 如圖2，引導(dǎo)學(xué)生作三角形高線[CD]，分別構(gòu)造以[a+b]為斜邊和以[θ]（或[π-θ]）為內(nèi)角的兩個(gè)直角三角形. 先在直角三角形中用[θ]的三角函數(shù)表示有關(guān)線段的長度，再由勾股定理建立[a+b]和[a， b，θ]之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求得[f=2abcosθ]. 并在問題解決的過程中凸顯向量與三角函數(shù)之間的關(guān)聯(lián).

追問3是以驗(yàn)證[f=2abcosθ]在[a，b]共線時(shí)也成立來說明[f]具有一般性，從而滿足數(shù)學(xué)概念在概括性和一般性上的要求，也為引出模的計(jì)算公式[a=a ? a]作鋪墊.

追問4旨在引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算的視角把[abcosθ]理解成[a]與[b]的乘法運(yùn)算. 運(yùn)算是一種規(guī)律，體現(xiàn)為一種代數(shù)不變性. 事實(shí)上，向量加法確定的三角形（共線向量的加法滿足異化了的三角形，其高為0）形狀各異且大小不同，但其三邊長之間存在的數(shù)量關(guān)系[f]是一個(gè)取決于向量長度和夾角的代數(shù)不變關(guān)系，而不受三角形其他特征的影響. 這種不變性就是規(guī)律，也是兩個(gè)向量之間的運(yùn)算，之所以命名為“數(shù)量積”，是為了強(qiáng)調(diào)運(yùn)算結(jié)果的數(shù)量特征. 最后列舉功的例子，為數(shù)量積建立概念原型，促進(jìn)概念理解，也讓學(xué)生看到數(shù)量積在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性.

追問5旨在讓學(xué)生通過對(duì)[a，b]的特殊化驗(yàn)證之前猜想結(jié)論的正確性，獲得積極的情感體驗(yàn)，并讓學(xué)生看到數(shù)量積在刻畫平行和垂直這對(duì)幾何關(guān)系時(shí)的簡潔與直接，感悟蘊(yùn)含其中的數(shù)形結(jié)合思想. 更為重要的是，讓學(xué)生通過向量的自乘看到數(shù)量積定量刻畫長度的過程和機(jī)制，進(jìn)而通過運(yùn)算推理發(fā)現(xiàn)向量的夾角公式和數(shù)量積的內(nèi)在聯(lián)系.

3. 借助投影向量，揭示數(shù)量積的幾何意義并建構(gòu)運(yùn)算律

問題3：探討[b]在[a]上的投影向量[BD]具有的特征，計(jì)算[a ? BD]并與[a ? b]進(jìn)行比較，能得出什么結(jié)論？

追問1：滿足[a ? b=a ? c]的非零向量[b，c]一定相等嗎？即[a ? b=a ? c][?][b=c]成立嗎？

追問2：由[b=BD+DC]，得[a ? b=][a ? BD+DC]. 那么[a ? BD+DC=a ? BD+a ? DC]是否成立？能否推廣到[a ? m+n=a ? m+a ? n]的一般形式？

【設(shè)計(jì)意圖】問題3旨在引導(dǎo)學(xué)生探索[b]在[a]上的投影向量[BD]的特征，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到它是[b]和[a]共同作用的結(jié)果，因?yàn)閇BD]的方向由夾角[θ]和[a]共同確定，[BD]的模由[b]和夾角[θ]共同確定. 然后在運(yùn)算推理中得出[a ? BD]與[a ? b]的等量關(guān)系，從而得出數(shù)量積的幾何意義，以深化概念理解. 追問1旨在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)垂直投影的不可逆性來理解乘法消去律在數(shù)量積中不能成立的原因，以幫助學(xué)生突破認(rèn)知難點(diǎn). 追問2運(yùn)用垂直投影的正交分解功能對(duì)代數(shù)等式進(jìn)行變形，促使學(xué)生由代數(shù)等式的形式自然聯(lián)想到乘法對(duì)加法的分配律是否成立的問題. 并在此揭示歷史上將這種運(yùn)算命名為數(shù)量積的道理. 因?yàn)樵谝粋€(gè)具有加法和另外一種代數(shù)運(yùn)算的系統(tǒng)中，對(duì)加法滿足分配律的另一種運(yùn)算都可以稱為乘法.

三、向量數(shù)量積概念教學(xué)的思考

1. 數(shù)量積的問題情境應(yīng)該抑制疑慮并驅(qū)動(dòng)思維

學(xué)生根據(jù)“積”的稱謂容易想到數(shù)量積和乘法運(yùn)算緊密相關(guān)，而乘法是基于加法的簡便運(yùn)算. 學(xué)生如果順著這個(gè)思路來理解數(shù)量積，自然會(huì)產(chǎn)生“為什么還要定義另一種乘法？”的疑慮，因?yàn)閷?shí)數(shù)與向量的乘法恰好與此相符. 這種疑慮如果不及時(shí)清除，勢(shì)必會(huì)阻礙學(xué)生對(duì)數(shù)量積的接納和理解. 因此，數(shù)量積概念教學(xué)的問題情境還應(yīng)該發(fā)揮幫助學(xué)生消除疑慮的功能，而最恰當(dāng)?shù)膯栴}情境應(yīng)該既能抑制疑慮的產(chǎn)生，又能激發(fā)學(xué)生的探究欲望. 為此，本文教學(xué)中先要引導(dǎo)學(xué)生反思向量線性運(yùn)算的功能和價(jià)值，促使學(xué)生建立“只有定義新的運(yùn)算，才能用于刻畫向量長度和夾角”的感性認(rèn)知. 這種感性認(rèn)知既能夠抑制上述疑慮的產(chǎn)生，又能促使學(xué)生期盼新運(yùn)算的建立. 然后，在向量加法的三角形法則中，以對(duì)三邊長度之間數(shù)量關(guān)系的探索來驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行觀察、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化等思維活動(dòng)，在問題解決的過程中實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)量積的概念建構(gòu)和理解. 在這樣的情境中進(jìn)行問題探索和數(shù)學(xué)建構(gòu)，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既彰顯了引入數(shù)量積運(yùn)算的目的和價(jià)值，又為學(xué)生的思維和探究提供了正確的方向和強(qiáng)勁的動(dòng)力.

2. 投影變換能延續(xù)認(rèn)知路徑并奠定學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

雖然向量投影與數(shù)量積并沒有本質(zhì)的聯(lián)系，向量投影源于距離，但從聯(lián)系的觀點(diǎn)看，投影變換賦予了數(shù)量積幾何意義，使抽象的數(shù)量積有了直觀的幾何意象. 這為學(xué)生設(shè)定了一條洞察數(shù)量積概念本質(zhì)的幾何通道. 這個(gè)通道既是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的自覺運(yùn)用，又是向量運(yùn)算理解路徑的自然延續(xù). 因?yàn)樗c學(xué)生用三角形（平行四邊形）理解向量加法和減法、用伸縮變換理解向量與實(shí)數(shù)乘法的路徑如出一轍. 由此觀之，這種理解路徑的延續(xù)使得學(xué)生建構(gòu)向量運(yùn)算體系的方式保持了前后的一致性和邏輯的連貫性.

垂直投影為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ). 一方面，垂直投影是建立坐標(biāo)表示向量的基礎(chǔ). 如圖2，[b]在[a]上的垂直投影實(shí)現(xiàn)了對(duì)[b]的正交分解，即[b][=BD+DC]. 若以[BD， DC]的單位向量為基底，則由向量共線定理可以實(shí)現(xiàn)對(duì)[b]的坐標(biāo)表示. 另一方面，圖2中[b]在[a]上的投影向量[BD]不僅攜帶了[b]和[a]的位置關(guān)系和數(shù)量特征，而且在它們確定的[Rt△BCD]中隱藏了點(diǎn)到直線的距離情境，構(gòu)成了用向量方法求空間距離的幾何模型. 因此，以垂直投影為知識(shí)的節(jié)點(diǎn)和紐帶，便于學(xué)生建立相關(guān)知識(shí)之間的多元聯(lián)系，從而獲得結(jié)構(gòu)優(yōu)良、提取便捷和遷移靈活的知識(shí)體系.

3. 數(shù)量積發(fā)展了幾何研究的方式和人的認(rèn)知

數(shù)量積是向量幾何屬性和代數(shù)屬性的集中體現(xiàn). 向量的長度和夾角是數(shù)量積運(yùn)算的基本要素，數(shù)量積反過來又可以定量刻畫向量的長度和夾角. 例如，[a=a ? a]表明了向量的長度是其自乘結(jié)果的算術(shù)平方根，用單位向量[e1，e2]取代[cosθ=a ? bab]中的[a]和[b]則有[cosθ=e1 ? e2]，這揭示了兩向量夾角的余弦值是其單位向量的數(shù)量積. 數(shù)量積對(duì)長度和角度的這種定量刻畫的方式不同于線性運(yùn)算的直觀描述，也有別于實(shí)驗(yàn)幾何和推理幾何的綜合論證. 由于長度和角度是最基本的幾何量，其度量方式的改變必然促使幾何研究方法的更迭和人類認(rèn)知的發(fā)展，前者如項(xiàng)武義教授所言：向量幾何在本質(zhì)上是坐標(biāo)解析幾何的返璞歸真，它自然而然地化解了原先在坐標(biāo)解析幾何中由坐標(biāo)系的選取所引入的各種各樣非不變量的困擾. 后者集中體現(xiàn)在角的內(nèi)涵概括上. 在此之前角是一個(gè)靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的幾何圖形，兩邊和頂點(diǎn)是構(gòu)成角的基本要素且必不可少，而在此后角被進(jìn)一步抽象為兩個(gè)方向的差異，頂點(diǎn)和邊已不再是必不可少的要素了. 這種認(rèn)知對(duì)于立體幾何中空間角的學(xué)習(xí)和理解十分必要.

4. 數(shù)量積的教學(xué)應(yīng)該促進(jìn)向量方法的拔節(jié)生長

向量方法是研究幾何的一種方法論，不是具體的顯性知識(shí)，而是內(nèi)隱于向量概念和運(yùn)算體系的思維策略，是凝聚人類理性精神和體現(xiàn)向量價(jià)值旨趣的大觀念，也是貫穿在高中數(shù)學(xué)課程體系中的核心思想. 策略性知識(shí)不是通過簡單記憶和機(jī)械重復(fù)就能習(xí)得的，它需要學(xué)生先經(jīng)歷問題解決的過程并獲得過程性體驗(yàn)，然后在實(shí)踐應(yīng)用中將過程性體驗(yàn)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最后在總結(jié)反思的內(nèi)省活動(dòng)中得以形成. 如果說向量數(shù)乘運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)該促使向量方法的萌生，那么向量數(shù)量積的概念教學(xué)則應(yīng)該促進(jìn)向量方法的拔節(jié)生長. 因?yàn)閿?shù)量積的概念引入、運(yùn)算規(guī)則的確立和幾何意義的揭示等，都是對(duì)向量思想方法的集中體現(xiàn)或直接運(yùn)用. 對(duì)數(shù)量積概念的深刻理解需要學(xué)生融合代數(shù)運(yùn)算和幾何直觀，還需要學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)、反思數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的完整統(tǒng)一. 由此觀之，對(duì)數(shù)量積概念進(jìn)行深度的教與學(xué)，不僅可以促進(jìn)向量思想方法在學(xué)生認(rèn)知體系中的拔節(jié)生長，還可以提升教師的教學(xué)品位.

四、結(jié)語

知識(shí)具有內(nèi)容、形式和旨趣的三重意涵. 向量數(shù)量積的概念教學(xué)形式上是學(xué)生對(duì)特定的概念、命題與理論等知識(shí)的掌握，但是根本上是要通過對(duì)方法、思想和思維的孕育，來生長學(xué)生的智慧，涵育學(xué)生的人文情懷和科學(xué)精神.

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