摘 要：以“數(shù)列”單元小結(jié)課為例，緊密圍繞課程標準要求和學(xué)科育人理念，立足教、學(xué)、評一體化開創(chuàng)單元小結(jié)課教學(xué)新模式. 教學(xué)設(shè)計從教材習(xí)題出發(fā)，以“三會”理念設(shè)計探究問題，將單元小結(jié)課和探究課融為一體，圍繞“四能”開展學(xué)生活動，指向關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育. 凸顯單元小結(jié)課教、學(xué)、評與課程標準要求一致，與學(xué)科育人一致，突出數(shù)學(xué)學(xué)科價值.

關(guān)鍵詞：教、學(xué)、評一體化；單元小結(jié)課；模式建構(gòu)

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）05-0008-05

引用格式：卓杰. 教、學(xué)、評一體化視角下單元小結(jié)課模式建構(gòu)的實踐與思考：以“數(shù)列”單元小結(jié)課為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：8-11，16.

單元小結(jié)課如何上？可謂仁者見仁，智者見智. 2023年12月22日，江蘇省特級論見組委會與南京師范大學(xué)組織的三地聯(lián)合教研活動在四川省綿竹中學(xué)舉行，筆者受邀開設(shè)同課異構(gòu)公開課——“數(shù)列”單元小結(jié)課. 在一堂課中完成對“數(shù)列”一章知識的單元小結(jié)幾乎是不可能的事情，對任何一位數(shù)學(xué)教師來說都是巨大的考驗. 日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾說過，學(xué)生所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用. 也許忘不掉的就是數(shù)學(xué)素養(yǎng). 于是另辟蹊徑，以探究為教學(xué)主線，聚焦解決問題策略，立足教、學(xué)、評一體化設(shè)計課堂.

結(jié)合“數(shù)列”單元小結(jié)課，本文就高中數(shù)學(xué)單元小結(jié)課模式的實踐與思考談?wù)剛€人的認識，不當之處請廣大同行批評指正.

一、備課思考

1. 如何上好單元小結(jié)課

單元小結(jié)課如何上，效果會更好？必定要指向深度學(xué)習(xí)，不能僅是對已學(xué)知識的簡單回憶、重復(fù)、重構(gòu)和應(yīng)用等.

大部分教師對單元小結(jié)課的認識可能都是先梳理知識與方法，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖，然后通過幾道綜合題進行知識與方法的融會貫通，強化對單元知識的整體把握. 先進行知識點與方法的梳理，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)圖，再進行綜合例題教學(xué)是單元小結(jié)課的常見上課模式，一般需要2 ～ 3個課時. 構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖對于學(xué)生全面理解知識點之間的邏輯關(guān)系、形成穩(wěn)定的認知結(jié)構(gòu)、整體認識本單元的知識與方法都是不可或缺的環(huán)節(jié). 先讓學(xué)生自己動手總結(jié)，再進行對比反思，學(xué)生直接參與的效果會更好.

《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）強調(diào)引導(dǎo)教學(xué)重視教材，夯實學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，給學(xué)生提供深度學(xué)習(xí)和思考的空間，引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點從“解題”向“解決問題”轉(zhuǎn)變. 高考考查學(xué)生靈活運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力. 考慮到時間限制，又是借班上課，筆者采取了另一種單元小結(jié)形式，即將單元小結(jié)課和探究課融為一體，聚焦處理數(shù)列問題的策略，方法至上，教會學(xué)生識別、分析、解決與數(shù)列有關(guān)的問題的方法.

2. 對教、學(xué)、評一體化的內(nèi)涵理解

教、學(xué)、評一體化是指將評價活動鑲嵌于課堂學(xué)習(xí)任務(wù)中，構(gòu)建一種健康的動態(tài)育人范式，以提高課堂教學(xué)效率，推動教學(xué)實施. 主要是在教學(xué)行為的整個生命周期中分步規(guī)劃、執(zhí)行和評價課堂教學(xué)活動，以達到改善課堂教學(xué)效果，以及促進教師和學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展的目的.

教、學(xué)、評一體化就是根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）解決“教什么”“學(xué)什么”“會什么”三個方面的問題. 把評價貫穿于教學(xué)之中，依據(jù)《標準》要求，在課前、課中、課后進行相應(yīng)的診斷性評價、過程性評價和終結(jié)性評價. 發(fā)揮評價在改善教學(xué)、提升教學(xué)質(zhì)量方面的作用.

課堂教學(xué)與評價要與課時目標一致，課時目標要與《標準》一致，不斷落實《標準》的要求，最終實現(xiàn)學(xué)科育人. 教、學(xué)、評一體化需要我們不斷構(gòu)建并完善精準課堂教學(xué)模式和路徑，最終實現(xiàn)學(xué)科育人目標. 單元小結(jié)課沒有新知識的介入，是提高學(xué)生關(guān)鍵能力的重要課型. 因此，單元小結(jié)課要基于教、學(xué)、評一體化，緊扣《標準》的要求，與學(xué)科育人目標一致，落實數(shù)學(xué)學(xué)科育人.

二、課堂教學(xué)分析

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題——用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界

本節(jié)課從南京剛剛下的一場大雪與校園“戲雪”圖引入. 美麗的雪花代表著自然之美，由此聯(lián)想2022年北京冬奧會開幕式由一朵“雪花”貫穿全場，美麗的雪花被加工成雪花圖案代表著生活之美. 從自然之美到生活之美必然要經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)化的過程，即研究數(shù)學(xué)之美的必要性. 由此啟發(fā)學(xué)生思考：美麗的雪花中到底隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識，給人們以美的感覺呢？

回歸教材，結(jié)合人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“數(shù)列”復(fù)習(xí)參考題4中的習(xí)題3（3）進行研究.

題目 如圖1是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案. 圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊. 反復(fù)進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線. 設(shè)原正三角形（圖1（a））的邊長為1，把圖1（a）、圖1（b）、圖1（c）、圖1（d）中圖形的周長依次記為C1，C2，C3，C4，則C4的值為（ ）.

（A）[1289] （B）[649]

（C）[6427] （D）[12827]

教師拋出問題：結(jié)合“雪花”曲線——科赫曲線，如此迭代下去，你還能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生參與熱情高漲，提出了許多數(shù)學(xué)問題，涉及邊長、周長、角度、邊數(shù)、面積、位置關(guān)系變化等. 教師選擇學(xué)生最熟悉的邊長、邊數(shù)、周長和面積問題進行探究.

此處情境創(chuàng)設(shè)提供了研究雪花之美的必要性，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；鼓勵學(xué)生提出問題，探究自己的想法，激發(fā)了探究熱情；潛移默化地感染學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的數(shù)學(xué)觀念；讓學(xué)生明確了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，凸顯了教學(xué)主線.

【評價標準】學(xué)生對問題情境產(chǎn)生興趣，并能提出有價值的數(shù)學(xué)問題.

2. 層層遞進，探究問題——用數(shù)學(xué)的思維思考世界

建構(gòu)主義教師觀認為，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的幫助者和合作者，教學(xué)不是由教師到學(xué)生的簡單的知識轉(zhuǎn)移和傳遞. 教師通過提供幫助和支持，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗，使學(xué)生對知識的理解逐步深入，幫助學(xué)生形成思考、分析問題的思路，實現(xiàn)知識遷移.

問題選定后，從易到難，先解決邊數(shù)與邊長問題，放手讓學(xué)生獨立思考. 教師給出表1讓學(xué)生填空，學(xué)生的處理策略是歸納后進行猜想. 規(guī)律比較明顯，學(xué)生能夠快速解決.

接著研究周長問題，如何求周長Cn呢？有了邊長an與邊數(shù)bn，可得Cn = anbn. 這也難不倒學(xué)生. 由此可得[Cn=13n-1×3×4n-1=343n-1n∈N*].

面積Dn呢？面積問題確實不容易研究. 不讓學(xué)生動手體驗探究過程，教師的告知式教學(xué)也沒有意義，只有讓學(xué)生不斷嘗試甚至試錯，不斷調(diào)整解決方案，為解決新情境問題積累直接經(jīng)驗，才是教學(xué)的落腳點.

教學(xué)中，讓學(xué)生先獨立思考，類比周長的研究方法研究面積，完成表2. 學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積的變化規(guī)律沒有那么明顯，歸納猜想似乎不可行. 此時再讓學(xué)生小組合作討論，交流自己的想法.

當學(xué)生經(jīng)歷了個人思考和同伴交流后，教師適當幫助學(xué)生，給予啟發(fā)和點撥，讓學(xué)生調(diào)整思考問題的視角，以退為進，也許會有意想不到的發(fā)現(xiàn)與收獲.

此處，教師提示學(xué)生：數(shù)列的規(guī)律性不僅體現(xiàn)在歸納與猜想方面，發(fā)現(xiàn)相鄰兩項或幾項之間的遞推關(guān)系也是尋求數(shù)列規(guī)律性的重要突破口.

確實有幾名學(xué)生發(fā)現(xiàn)了面積的遞推關(guān)系式[Dn=][Dn-1+34bn-1an2]. 將上述邊數(shù)與邊長的探究結(jié)果代入，可得[Dn=Dn-1+331649n-1].

此處用到累加法求數(shù)列的通項公式，也是對數(shù)列知識與方法的訓(xùn)練與應(yīng)用，檢驗學(xué)生能否迅速調(diào)用已學(xué)知識與方法，檢測學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況. 接下來就交給學(xué)生運算了，由于時間不充裕，只有個別學(xué)生求出[Dn=3208-349n-1]，推導(dǎo)過程由學(xué)生課后完成.

此探究過程是本節(jié)課的核心環(huán)節(jié)，能讓學(xué)生在具體情境中識別數(shù)列問題，凸顯數(shù)列的思維特征：尋求規(guī)律，歸納、猜想、推理，嘗試運用所學(xué)數(shù)列知識解決問題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界的能力.

【評價標準】學(xué)生能利用所學(xué)知識求出邊長與邊數(shù)，通過教師的啟發(fā)或提示，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)面積間的遞推關(guān)系，并利用所學(xué)知識求出面積的表達式.

3. 回歸生活，解決問題——用數(shù)學(xué)的語言表達世界

探究問題不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的，將所學(xué)知識應(yīng)用于生活才能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價值.

結(jié)合上述探究，教師提出如下兩個實際問題.

問題1：如此迭代下去，這個雪花曲線能繞地球的赤道一周嗎？試說明理由.

問題2：如此迭代下去，這個雪花面能包住地球嗎？試說明理由.

這兩個問題的本質(zhì)指向雪花的周長和面積能不能無限增長下去. 學(xué)以致用，利用已學(xué)“數(shù)列”一章的知識和方法能不能解決實際問題呢？要用數(shù)學(xué)的知識和語言來講清理由和其中的道理才行. 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題后再回歸實際問題，是數(shù)學(xué)建模的一般程序和方法，即用數(shù)學(xué)的理論知識去解決實際生活問題.

顯然，[Cn=343n-1n∈N*]是遞增數(shù)列，雪花曲線的周長可以無限增加，能繞地球的赤道一周. 而面積[Dn=3208-349n-1]是有界數(shù)列，不能無限增加，因此不能包住地球.

如何用數(shù)學(xué)的語言進行表述是問題的核心. 這兩個問題均考查數(shù)列的單調(diào)性，利用數(shù)列的單調(diào)性進行說理才能指向問題的根本. 規(guī)范學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達世界的能力，避免生活化語言中的只講道理不講推理的模糊表達，缺乏數(shù)學(xué)的嚴謹性. 數(shù)學(xué)建模就是對數(shù)學(xué)現(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).

【評價標準】學(xué)生能解決問題，并能用相關(guān)數(shù)學(xué)知識進行說理和表述.

本節(jié)課的最后，通過總結(jié)提升環(huán)節(jié)讓學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)進行小結(jié)，教師給出引領(lǐng)問題：在生活中，什么樣的變化現(xiàn)象可以用數(shù)列表達？如何用已有的數(shù)列知識研究這些變化？通過回顧探究過程，讓學(xué)生感受和識別解決數(shù)列問題的一般策略.

根據(jù)教材“4.1 數(shù)列的概念”的例4設(shè)計課外探究作業(yè)，類比本節(jié)課的探究過程研究謝爾賓斯基三角形. 學(xué)評一體，學(xué)練一致，作業(yè)形式開放.

三、教學(xué)反思

1. 緊扣課程標準要求，落實教、學(xué)、評一體化實施

《標準》指出：“教、學(xué)、評價是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成部分. 評價應(yīng)以課程目標、課程內(nèi)容和學(xué)業(yè)質(zhì)量標準為基本依據(jù). 日常教學(xué)活動評價，要以教學(xué)目標的達成為依據(jù). 評價要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識技能的掌握，還要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、方法和習(xí)慣，更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達成. 教師要基于對學(xué)生的評價，反思教學(xué)過程，總結(jié)經(jīng)驗、發(fā)現(xiàn)問題，提出改進思路.”本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計緊扣課程目標、課程內(nèi)容和學(xué)業(yè)質(zhì)量標準，指向關(guān)鍵能力的考查. 目標明確清晰，以“三會”貫穿始終；目標達成標準顯性化，整個學(xué)習(xí)過程圍繞“四能”開展探究活動. 本節(jié)課情境設(shè)置、問題探究、解決問題關(guān)注知識的掌握和應(yīng)用，直接指向?qū)W生的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣，整節(jié)課學(xué)生興趣濃厚、專注度高、積極參與. 本節(jié)課基于學(xué)情，反思以前小結(jié)課的教學(xué)，改進思路，以探究作為學(xué)生活動主線，創(chuàng)新教學(xué)模式，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育.

《標準》同時指出，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值. 以探究為課堂明線，直接指向問題解決，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革. 以科赫曲線為載體開展探究，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)之美.

評課環(huán)節(jié)，該班數(shù)學(xué)教師說：“一直以為課堂上讓學(xué)生探究只是一種理念，形式大于實質(zhì). 本節(jié)課顛覆了我前期的認知. 用本節(jié)課在另一個班級‘復(fù)盤’，效果很好.”

課堂評價與課程標準的要求高度一致，與學(xué)科育人目標一致，評價標準明確清晰，目標達成顯性，凸顯學(xué)科價值，落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標.

2. 立足問題情境，從“解題”向“解決問題”轉(zhuǎn)變

近年來，高考命題凸顯“無價值，不入題；無思維，不命題；無情境，不成題”的典型特征，識別問題情境顯得尤為重要. 否則背的公式與積累的解題方法再多，在解題時可能都派不上用場. 教會學(xué)生識別問題、思考問題，進而利用所學(xué)的知識解決問題才是教學(xué)的出發(fā)點. 如果教師直接講解灌輸，貌似方法與技巧都講過了，但是學(xué)生只能簡單模仿，適得其反. 本節(jié)課將小結(jié)課和探究課融為一體就是想要達到這一目的，課堂上邊探究、邊提煉、邊板書，最后構(gòu)建數(shù)列思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生厘清解決數(shù)列問題的程序圖，如圖2所示. 最終實現(xiàn)了《體系》所倡導(dǎo)的從“解題”向“解決問題”的轉(zhuǎn)變.

[情境][規(guī)律][列舉][遞推] [數(shù)列][函數(shù)][識別][通項公式][單調(diào)性][最值范圍][……][累加法與累乘法][轉(zhuǎn)化為等差、等比問題] [圖2]

3. 創(chuàng)新復(fù)習(xí)策略，建構(gòu)探究式小結(jié)新模式

高中數(shù)學(xué)的每種課型都需要不同的課堂教學(xué)“微模式”. 因材施教，學(xué)為中心，選擇合適的模式進行教學(xué)，讓教學(xué)更有序，讓課堂更高效. 單元小結(jié)課既要關(guān)注知識點之間的聯(lián)系，又要突出知識的綜合應(yīng)用. 將單元小結(jié)課和探究課融為一體，創(chuàng)新單元小結(jié)課的復(fù)習(xí)模式，突出對“四基”的考查，覆蓋本單元的基礎(chǔ)知識與基本方法，圍繞知識應(yīng)用開展活動，兼顧數(shù)學(xué)運算. 最終要讓學(xué)生學(xué)會處理問題的一般策略：從情境中識別問題，抽象轉(zhuǎn)化為具體問題，調(diào)用所學(xué)知識解決問題，用數(shù)學(xué)的語言表述過程.

探究式單元小結(jié)課教學(xué)模式的結(jié)構(gòu)設(shè)計流程，如圖3所示.

[創(chuàng)設(shè)情境][提出問題][解決問題][處理策略] [具體情境][學(xué)生立場][探究視角][歸納提煉] [圖3]

具體情境可以選擇章起始問題、教材閱讀資料、教材習(xí)題等有研究價值的大情境、大問題，要有話可說，有一定的研究價值. 學(xué)生立場指讓學(xué)生提出問題，教師梳理問題，形成有前后邏輯的問題串. 愛因斯坦曾經(jīng)說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.”因為提出新的問題需要有創(chuàng)造性的想象力，學(xué)生研究自己提出的問題必定興趣濃厚. 解決問題指向深度學(xué)習(xí)，關(guān)注探究過程，從中感受問題解決的一般策略，立足“三會”“四能”，提升解決問題的關(guān)鍵能力. 歸納提煉是課堂的歸宿，關(guān)注本節(jié)課學(xué)到了什么，對后續(xù)學(xué)習(xí)有什么啟發(fā)，學(xué)生得到了怎樣的成長. 授人以魚只救一時之急，授人以漁則可解一生之需.

探究式單元小結(jié)課重在培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界，以及提高提出問題、分析問題和解決問題的能力，指向知識的靈活運用、關(guān)鍵能力的提升、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育.

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［5］卓杰. 精準教學(xué)視角下高三一輪概念復(fù)習(xí)課模式建構(gòu)的思考［J］. 數(shù)學(xué)通訊（下半月），2022（6）：13-15.