摘 要：根據(jù)高中數(shù)學(xué)微專(zhuān)題課的特點(diǎn)和“歸類(lèi)突破”的原則探究微專(zhuān)題課堂模式的構(gòu)建，并以“數(shù)列的遞推關(guān)系”為例設(shè)計(jì)指向“歸類(lèi)突破”的微專(zhuān)題復(fù)習(xí).

關(guān)鍵詞：歸類(lèi)突破；微專(zhuān)題課模式；數(shù)列的遞推關(guān)系

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）05-0004-04

引用格式：李現(xiàn)勇，樊星星. 指向“歸類(lèi)突破”的微專(zhuān)題課模式研究：以“數(shù)列的遞推關(guān)系”為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：4-7.

一、引言

微專(zhuān)題是從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，以知識(shí)方法為中心串聯(lián)問(wèn)題的小切口專(zhuān)題. 微專(zhuān)題課是高三二輪復(fù)習(xí)的主要形式. 歸類(lèi)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的常用教學(xué)方法，指在不排除知識(shí)積累與適度訓(xùn)練的前提下，更加注重并強(qiáng)調(diào)諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題解決方法上的類(lèi)別歸納，追溯創(chuàng)設(shè)各種情境下的數(shù)學(xué)問(wèn)題背后隱藏的通性通法，能對(duì)解決辦法進(jìn)行合理的歸類(lèi)并實(shí)施有效教學(xué). 歸類(lèi)時(shí)應(yīng)該將具有相似屬性、特征或解題方法的知識(shí)點(diǎn)或題目歸為一類(lèi). 同時(shí)，考慮知識(shí)點(diǎn)或題型的難易程度、深淺層次，按照由淺入深的順序進(jìn)行遞進(jìn)式教學(xué). 不僅要關(guān)注單個(gè)知識(shí)點(diǎn)或題型，還要考慮它們與整個(gè)數(shù)學(xué)體系的關(guān)系. 歸類(lèi)還可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和教學(xué)的需要進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整. 對(duì)于一些多角度解決的問(wèn)題，可以根據(jù)不同的解題方法進(jìn)行多維度歸類(lèi). 歸類(lèi)的過(guò)程和結(jié)果應(yīng)該圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行，如提高解題效率、加深對(duì)某一數(shù)學(xué)概念的理解等，使歸類(lèi)具有目標(biāo)導(dǎo)向性. 歸類(lèi)的過(guò)程應(yīng)該注重實(shí)踐性原則，即鼓勵(lì)學(xué)生參與且通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)（如合作探究和小組討論等）來(lái)深化對(duì)此類(lèi)知識(shí)的理解和應(yīng)用.

二、模式建構(gòu)

基于以上理論，指向“歸類(lèi)突破”的微專(zhuān)題課的設(shè)計(jì)必須依據(jù)學(xué)生的學(xué)情、課程標(biāo)準(zhǔn)和高考試題分析來(lái)確立微專(zhuān)題的主題和教學(xué)的焦點(diǎn). 將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理分類(lèi)，精心挑選典型例題和變式題目，并選用適當(dāng)?shù)木毩?xí)題進(jìn)行鞏固和反饋. 此外，還需要對(duì)教學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行周密規(guī)劃，明確教學(xué)內(nèi)容的排列順序，設(shè)計(jì)學(xué)生的課堂互動(dòng)活動(dòng)，以及確定教學(xué)方法和評(píng)價(jià)策略，最終形成指向“歸類(lèi)突破”的微專(zhuān)題課模式，如圖1所示.

三、教學(xué)實(shí)例

基于上述模式，筆者設(shè)計(jì)并實(shí)施了一堂以“數(shù)列的遞推關(guān)系”為主題的“歸類(lèi)突破”微專(zhuān)題復(fù)習(xí)課. 此次教學(xué)活動(dòng)是以學(xué)生的學(xué)習(xí)情況反饋為基礎(chǔ)，識(shí)別學(xué)生在掌握數(shù)列遞推關(guān)系方面存在的弱點(diǎn)，并將其作為促進(jìn)學(xué)生能力提升的關(guān)鍵切入點(diǎn).

1. 基礎(chǔ)前測(cè)，學(xué)情反饋

（1）數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=an+1nn+1]，求[an]的通項(xiàng)公式.

（2）數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=n+2nan]，求[an]的通項(xiàng)公式.

（3）數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=3an+1]，求[an]的通項(xiàng)公式.

（4）數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=2an+n-1]，求[an]的通項(xiàng)公式.

（5）數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=2anan+2]，求[an]的通項(xiàng)公式.

（6）數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1-3an=2anan+1]，求[an]的通項(xiàng)公式.

（7）正項(xiàng)數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=2an2]，求[an]的通項(xiàng)公式.

【設(shè)計(jì)意圖】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）中對(duì)數(shù)列通項(xiàng)有具體要求：“能夠結(jié)合具體實(shí)例，理解通項(xiàng)公式對(duì)于數(shù)列的重要性，知道通項(xiàng)公式是這類(lèi)函數(shù)的解析表達(dá)式.”依據(jù)“歸類(lèi)突破”的相似性原則，設(shè)置數(shù)列的遞推關(guān)系課前基礎(chǔ)測(cè)試，讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)回顧和自檢，檢測(cè)學(xué)生對(duì)此數(shù)列遞推關(guān)系基本題型的掌握程度. 教師通過(guò)批閱作業(yè)摸清學(xué)情，尋找學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)和能力增長(zhǎng)點(diǎn)，并根據(jù)學(xué)情進(jìn)行微專(zhuān)題教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置.

在本案例的實(shí)際操作過(guò)程中，第（4）題學(xué)生的錯(cuò)誤率最高，主要錯(cuò)誤原因是利用同構(gòu)思想進(jìn)行構(gòu)造時(shí)形式錯(cuò)誤，深究?jī)?nèi)因是學(xué)生對(duì)同構(gòu)思想的理解不夠深入，導(dǎo)致應(yīng)用出錯(cuò)，而同構(gòu)思想在高中數(shù)學(xué)的數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何等知識(shí)中均有體現(xiàn). 因此，基于學(xué)情將本微專(zhuān)題教學(xué)的重點(diǎn)放在[an+1=2an+n-1]及其變式，教學(xué)目標(biāo)為對(duì)同構(gòu)思想的深入理解和應(yīng)用.

2. 專(zhuān)題梳理，分類(lèi)研討

首先，以全局視角呈現(xiàn)“數(shù)列”部分大專(zhuān)題的完整結(jié)構(gòu)（如圖2），幫助學(xué)生建立知識(shí)體系，體現(xiàn)了歸納突破的系統(tǒng)性原則. 這種方式旨在為學(xué)生提供一個(gè)清晰的學(xué)習(xí)方向，使他們能夠更好地理解微專(zhuān)題內(nèi)容在大專(zhuān)題中的作用，從而在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成更為連貫和結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí).

其次，依托細(xì)致的學(xué)情檢測(cè)分析，對(duì)教學(xué)內(nèi)容展開(kāi)精細(xì)化歸類(lèi)梳理. 對(duì)于學(xué)生已經(jīng)深度掌握的部分，通過(guò)對(duì)應(yīng)用方法及技巧的系統(tǒng)總結(jié)與歸納（如表1），引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中加深對(duì)知識(shí)內(nèi)涵的理解，并挖掘和探求不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系；針對(duì)存在疑惑或掌握尚淺的知識(shí)點(diǎn)，擬在后續(xù)環(huán)節(jié)采納歸類(lèi)討論的方式，對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行針對(duì)性地深化與突破.

3. 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，精講點(diǎn)撥

例1 數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=2an+n-1]，求[an]的通項(xiàng)公式.

問(wèn)題1：在題目（3）[an+1=3an+1]中，你使用了什么方法求[an]？

問(wèn)題2：能否用同樣的方法求解例1？

問(wèn)題3：以下做法有何錯(cuò)誤？

問(wèn)題4：這種方法的要點(diǎn)是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】題目（3）是學(xué)生能夠熟練應(yīng)用同構(gòu)思想進(jìn)行構(gòu)造的題目類(lèi)型，用學(xué)生熟悉的題目類(lèi)型作為啟發(fā)點(diǎn)，通過(guò)提供正確和錯(cuò)誤的同構(gòu)形式讓學(xué)生觀察、比較、辨析，總結(jié)出構(gòu)造法的要點(diǎn)為同構(gòu)，同構(gòu)要求結(jié)構(gòu)相同、變量不同，而數(shù)列中變量對(duì)應(yīng)的是數(shù)列的下標(biāo). 因此，在數(shù)列的同構(gòu)過(guò)程中，要注意與數(shù)列下標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

變式：數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=2an+4×3n-1]，求[an]的通項(xiàng)公式.

學(xué)生活動(dòng)：分小組研究、討論此題的特征，并利用同構(gòu)思想進(jìn)行構(gòu)造，討論時(shí)間為3分鐘，隨后進(jìn)行小組展示.

【設(shè)計(jì)意圖】在例1的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)同構(gòu)的理解程度和應(yīng)用能力. 一些學(xué)生習(xí)慣使用觀察配湊的構(gòu)造方式解決問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)使用待定系數(shù)法進(jìn)行構(gòu)造. 同時(shí)，通過(guò)小組展示構(gòu)造的不同的同構(gòu)形式，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度思考探究的能力，最終將不同類(lèi)型的問(wèn)題歸類(lèi)，并總結(jié)出相應(yīng)的解決策略.

例2 數(shù)列[an]中，[a1=5]，[a2=2]，[an=2an-1-]

[an-2 n≥3]，求[an]的通項(xiàng)公式.

變式：數(shù)列[an]中，[a1=5]，[a2=2]，[an=2an-1+][3an-2 n≥3]，求[an]的通項(xiàng)公式.

問(wèn)題1：你能用同構(gòu)思想對(duì)上式進(jìn)行構(gòu)造嗎？構(gòu)造完成后相互交流，大家構(gòu)造出來(lái)的式子形式相同嗎？

問(wèn)題2：這些形式可以分別用什么方法求通項(xiàng)？

問(wèn)題3：能否優(yōu)化一下，降低計(jì)算的難度？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)由易到難的兩個(gè)三項(xiàng)遞推例題的探究，帶領(lǐng)學(xué)生尋求三項(xiàng)遞推題目的突破方法，考查學(xué)生的遷移能力和對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用能力. 學(xué)生分別構(gòu)造出[an+an-1=3an-1+an-2]和 [an-3an-1=-an-1-3an-2]

兩種形式，教師引導(dǎo)學(xué)生多思少算，綜合考慮兩種形式下所得的[an+an-1]和[an-3an-1]的通項(xiàng)公式，通過(guò)加減消元得到數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步體現(xiàn)利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列的重要性.

4. 提煉方法，總結(jié)記憶

將例1及其變式歸類(lèi)為[an+1=pan+fn]型，將例2及其變式歸類(lèi)為[an+1=pan+qan-1]型，并總結(jié)相應(yīng)的解題方法和思路，最后以思維導(dǎo)圖的形式總結(jié)該微專(zhuān)題所涉及題型的“歸類(lèi)突破”和思想方法的總結(jié)提升，如圖3所示.

5. 實(shí)踐訓(xùn)練，后測(cè)評(píng)價(jià)

（1）在數(shù)列[an]中，[a1=3]，[an+1=2an-n+2]，若[an>980]，則[n]的最小值是 .

（2）已知數(shù)列[an]滿(mǎn)足：[a1=2]，[an+1=an+2n]，則[an]的通項(xiàng)公式為 .

（3）已知數(shù)列[an]滿(mǎn)足[a1=2]，[a2=6]，且[an+2-][2an+1+an=2]，若[x]表示不超過(guò)[x]的最大整數(shù)（如[1.6=1]，[-1.6=-2]），求[22a1+32a2+…+2 0242a2 023].

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)施分層的評(píng)估與反饋機(jī)制，使學(xué)生能夠根據(jù)自己的學(xué)習(xí)水平接受適當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)和支持，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和掌握，增強(qiáng)了學(xué)生的自信和動(dòng)力，更有效地識(shí)別并挖掘了學(xué)生的潛力.

四、反思總結(jié)

《標(biāo)準(zhǔn)》提出高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，要求啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 因此，微專(zhuān)題的設(shè)計(jì)要從實(shí)際學(xué)情出發(fā)，從知識(shí)的整合回顧檢測(cè)入手，找到學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)和能力的增長(zhǎng)點(diǎn)，開(kāi)展針對(duì)性的微專(zhuān)題靶向訓(xùn)練，以提高復(fù)習(xí)的效率. 同時(shí)，“歸類(lèi)突破”不能僅存在于微專(zhuān)題課堂中，教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將“歸類(lèi)突破”的方法應(yīng)用于平時(shí)的錯(cuò)題整理中，分類(lèi)整合錯(cuò)題并總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，提高錯(cuò)題資源的利用效率.

微專(zhuān)題中，歸類(lèi)要符合邏輯，不能羅列堆砌，要注意例題和變式內(nèi)在變化的規(guī)律性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合乎邏輯地總結(jié)，強(qiáng)化化歸思想的應(yīng)用. 針對(duì)不同程度的學(xué)生，可以設(shè)置不同難度的題組，從“形似質(zhì)同”到“形異質(zhì)同”再到“形似質(zhì)異”層層遞進(jìn)，以促進(jìn)個(gè)性化教學(xué)的實(shí)施.

“歸類(lèi)突破”強(qiáng)調(diào)運(yùn)用歸納和演繹的思維方式，幫助學(xué)生在歸類(lèi)的基礎(chǔ)上總結(jié)解題的規(guī)律和方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決復(fù)雜問(wèn)題的能力.“歸類(lèi)突破”教學(xué)不局限于單一知識(shí)點(diǎn)或題型的傳授，更注重將知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理和聯(lián)系，以幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)體系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)內(nèi)容的連貫性. 在“歸類(lèi)突破”的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生不僅要接受知識(shí)，還要主動(dòng)參與分類(lèi)和歸納的過(guò)程，以增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)能力. 這種教學(xué)方式能夠促進(jìn)學(xué)生形成獨(dú)立思考的能力，有利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］徐國(guó)平. 高中數(shù)學(xué)“歸類(lèi)溯源教學(xué)”的實(shí)踐與探討［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015（10）：1-5.

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