摘要：函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心概念之一，對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要意義.通過探究多種典型的函數(shù)案例，包括直線運(yùn)動問題、等邊三角形的邊長與高的關(guān)系及人口增長問題等，分析其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用效果.研究結(jié)果表明，這些案例能夠幫助學(xué)生直觀理解函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生建模思維，為后續(xù)函數(shù)知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).最后對初中數(shù)學(xué)函數(shù)概念引入教學(xué)提出了建議.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)概念；引入案例；教學(xué)效果

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）26-0018-03

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等多種類型，深刻理解函數(shù)概念是學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合生活實(shí)際有效引入函數(shù)概念，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思維，一直是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重點(diǎn)問題.

1函數(shù)概念引入的典型案例

1.1直線運(yùn)動問題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，直線運(yùn)動問題是一個非常典型的引入函數(shù)概念的案例.設(shè)物體在某一時間內(nèi)的路程s與時間t成線性關(guān)系，即s=at+b，其中a和b為常數(shù).通過觀察和分析這種關(guān)系，可以幫助學(xué)生理解一次函數(shù)的概念及其特點(diǎn).

例如，某汽車從A地出發(fā)，以恒定速度v行駛到B地，全程耗時t小時，則汽車行駛的路程s與時間t滿足函數(shù)關(guān)系s=vt，其中v為汽車的速度.通過觀察和分析這一函數(shù)關(guān)系，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)路程s隨時間t成正比例變化，即s與t成線性關(guān)系.這樣學(xué)生不僅可以理解一次函數(shù)的定義、函數(shù)值等基本概念，而且能夠認(rèn)識到一次函數(shù)圖象是一條直線，斜率表示速度大小等特點(diǎn).

在教學(xué)過程中，教師可以通過設(shè)置不同初始位置和時間

，引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)a和b的實(shí)際意義.例如，若s=5t+20，則初始位置為20米，速度為5米/秒.通過這種分析，學(xué)生可以深入理解一次函數(shù)的表達(dá)式和圖象與實(shí)際問題之間的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)其將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力.這有助于學(xué)生直觀認(rèn)識函數(shù)概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他類型函數(shù)打下良好的基礎(chǔ).

1.2等邊三角形的邊長與高的關(guān)系

等邊三角形是初中階段非常重要的幾何圖形，其邊長與高線長之間存在函數(shù)關(guān)系.設(shè)等邊三角形的邊長為a，其高線長為h，則h與a之間滿足函數(shù)關(guān)系h=3a/2.

通過分析這種函數(shù)關(guān)系，可以引導(dǎo)學(xué)生思考問題：邊長a與高線長h之間存在怎樣的聯(lián)系？邊長a的變化如何影響高線h的長度？例如，若邊長a增加1個單位長度，則高線長增加多少？學(xué)生可以通過計算發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的一次函數(shù)概念和特點(diǎn).這不僅有助于學(xué)生理解函數(shù)概念，也為后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)奠定基礎(chǔ).

在教學(xué)過程中，教師可以設(shè)計一些具體的等邊三角形，讓學(xué)生測量邊長和高線長，并繪制相應(yīng)的函數(shù)圖象.通過觀察和分析圖象特征，學(xué)生可以進(jìn)一步理解h與a之間的函數(shù)關(guān)系.這種探索性的學(xué)習(xí)方式有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

1.3人口增長問題

人口增長問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的引入函數(shù)概念的案例.某地人口數(shù)量P隨時間t的變化可用一次函數(shù)P=at+b描述，其中a和b為常數(shù).

通過分析這種函數(shù)關(guān)系，可以幫助學(xué)生理解人口數(shù)量隨時間的變化趨勢，并思考影響人口變化的因素，如出生率、死亡率、遷移等.例如，某城市2010年人口為數(shù)量50萬，

如果每年增加5萬人，那么可用函數(shù)P=50+5t來表示該城市t年后的人口數(shù)量.

在教學(xué)過程中，學(xué)生可以代入不同的時間t，計算出相應(yīng)的人口數(shù)量，并繪制函數(shù)圖象.通過觀察圖象的特點(diǎn)，如a表示人口變化速度、b表示初始人口數(shù)量等，有助于學(xué)生理解一次函數(shù)的定義和性質(zhì).這種具體案例分析有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和函數(shù)思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他類型函數(shù)打下基礎(chǔ).

總的來說，上述三種案例都體現(xiàn)了函數(shù)概念在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要應(yīng)用，為學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)特征提供了生動直觀的素材.教師可以根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生實(shí)際情況，靈活選擇和設(shè)計相關(guān)案例，引導(dǎo)學(xué)生主動探索函數(shù)概念，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力.

2案例應(yīng)用效果分析

2.1有利于學(xué)生直觀理解函數(shù)概念及特點(diǎn)

這些案例都來源于實(shí)際生活，具有直觀性和可視性，有助于學(xué)生直觀理解函數(shù)的基本概念.以直線運(yùn)動問題為例，學(xué)生可以通過測量汽車在不同時間的位置，發(fā)現(xiàn)二者成線性關(guān)系s=at+b，進(jìn)而理解一次函數(shù)的表達(dá)式、圖像特點(diǎn)等.例如，某學(xué)生測得汽車在0秒、1秒、2秒的位置分別為20米、25米、30米，由此建立函數(shù)模型s=5t+20，直觀感受一次函數(shù)中參數(shù)a和b的具體意義.

同樣地，在等邊三角形的邊長與高的關(guān)系案例中，學(xué)生可以計算三角形的邊長和高線長，并繪制函數(shù)圖象，直觀感受二者之間的線性關(guān)系.例如，當(dāng)邊長a增加2厘米時，高線長h將增加3厘米.這種直觀的觀察和分析過程，有助于學(xué)生對函數(shù)概念及其特點(diǎn)形成深刻印象.

2.2有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象建模思維

這些案例不僅能幫助學(xué)生理解函數(shù)概念，還能培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模能力.例如，在人口增長問題中，學(xué)生需要根據(jù)已知信息，如初始人口數(shù)量和年增長率，建立一次函數(shù)模型P=at+b描述人口數(shù)量的變化情況.某城市2010年人口為50萬，近5年平均每年增加3萬人，那么可建立函數(shù)模型P=50+3t來預(yù)測未來人口變化.

通過這種由實(shí)際問題抽象到數(shù)學(xué)模型的過程，學(xué)生不僅掌握了一次函數(shù)的知識，而且培養(yǎng)了分析問題、識別數(shù)學(xué)關(guān)系、建立模型的能力.這種數(shù)學(xué)建模思維對于學(xué)生今后解決復(fù)雜問題具有重要意義，也是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要目標(biāo)之一.

2.3有利于促進(jìn)知識遷移和綜合應(yīng)用

這些引入函數(shù)概念的案例，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)其他函數(shù)類型打下了良好的基礎(chǔ).例如，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，學(xué)生可以結(jié)合生活中的拱橋進(jìn)行思考.已知水位線、警戒線、水位上漲速度，通過計算出水位線淹沒橋頂所需時間，以此理解二次函數(shù)的概念和特點(diǎn)，為學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)奠定基礎(chǔ).

研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生在初中階段對函數(shù)概念有了較為深入的理解后，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)明顯優(yōu)于其他學(xué)生［1］，他們不僅能夠掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，還能靈活運(yùn)用函數(shù)思維解決實(shí)際問題.如運(yùn)用一次函數(shù)分析路程問題，利用二次函數(shù)優(yōu)化設(shè)計方案等，體現(xiàn)了函數(shù)概念引入對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深遠(yuǎn)影響.

3初中數(shù)學(xué)函數(shù)概念引入教學(xué)建議

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為使學(xué)生深入理解函數(shù)概念，提高

其運(yùn)用函數(shù)知識分析問題和解決問題的能力，提出以下針對性教學(xué)建議.

3.1拓展案例選擇，貼近學(xué)生生活

除了上述三個案例，在選擇引入函數(shù)概念的案例時，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的興趣愛好和生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計更加豐富多樣的案例.

例如，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時， 可以引入建筑學(xué)中測量與設(shè)計問題，當(dāng)需要測量建筑物的高度時，可以通過測量建筑物底部與觀測點(diǎn)的水平距離及建筑物頂部的仰角，然后利用三角函數(shù)關(guān)系計算出建筑物的高度.這種方法利用三角函數(shù)的性質(zhì)和幾何知識，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

這樣的案例不僅貼近學(xué)生的生活實(shí)際，

而且能與其他知識緊密結(jié)合，如物理定律、圖形特性等，有助于學(xué)生構(gòu)建知識體系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的整體性和針對性.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生分析問題情境，討論相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和公式，并設(shè)計實(shí)踐活動，讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程.這不僅有助于他們理解函數(shù)概念，而且能培養(yǎng)其動手操作能力、數(shù)學(xué)建模思維等綜合素質(zhì).3.2注重數(shù)學(xué)建模過程，提升綜合素養(yǎng)

在引入函數(shù)概念時，教師應(yīng)注重分析問題和解決問題的具體過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，引導(dǎo)他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價值.

例如，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，可引入投球問題.在投籃時，球的高度可用二次函數(shù)h=-4.9t2+vt+h0描述，其中h為高度，t為時間，v為初速度，h0為初始高度.學(xué)生需要分析問題情境，確定已知條件和未知量，建立二次函數(shù)模型，最后進(jìn)行分析和求解.

通過這一過程，學(xué)生不僅能理解二次函數(shù)的性質(zhì)，如

極值、圖象等，而且能感受到數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中的作用.他們需要運(yùn)用所學(xué)知識分析問題，選擇合適的數(shù)學(xué)模型，并對結(jié)果進(jìn)行解釋和檢驗(yàn)［2］.這種基于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)，如邏輯思維、問題解決能力等.3.3注重多元探究，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

在函數(shù)概念教學(xué)中，教師還應(yīng)創(chuàng)設(shè)多元的探究情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的探究精神和創(chuàng)新能力.

例如，在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時，可以設(shè)計一個有關(guān)投資收益的案例.某人想投資一家校服生產(chǎn)公司，公司的收益率與投資金額成反比例關(guān)系，即xy=k，其中y為收益率，x為投資金額，k為常數(shù).學(xué)生可以通過假設(shè)不同的投資金額，預(yù)測公司的收益率，并探討如何選擇最優(yōu)的投資方案.

在這一過程中，學(xué)生需要分析問題情境，建立反比例函數(shù)模型，并根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行計算和分析.這種以學(xué)生為中心的探究式學(xué)習(xí)，不僅有助于他們理解反比例函數(shù)的特點(diǎn)，還能激發(fā)他們的好奇心和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)獨(dú)立思考、團(tuán)隊合作等能力.

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念，它描述了兩個或多個量之間的依賴關(guān)系.函數(shù)概念包括函數(shù)的定義域、函數(shù)值、函數(shù)圖象等內(nèi)容.教師可以通過梳理不同類型函數(shù)的共性，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì)特征，如變量之間的對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)值的唯一性等［3］.

除此之外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)的數(shù)學(xué)抽象性特點(diǎn).函數(shù)概念體現(xiàn)了從具體事物到數(shù)學(xué)模型的抽象過程，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)語言的簡潔性和一般性.這有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維，增強(qiáng)他們對函數(shù)概念的整體把握.

通過對函數(shù)概念本質(zhì)的深入剖析，并結(jié)合豐富多樣的案例教學(xué)，學(xué)生不僅能掌握函數(shù)的基本特征，而且能培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思維，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.這種融合理論和實(shí)踐的教學(xué)方式，有助于提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，教師需緊密聯(lián)系學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活，引入具體的函數(shù)案例，幫助學(xué)生理解函數(shù)的定義和性質(zhì)，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)建模思維，提高其運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：［1］

劉思余，周學(xué)勇.基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例設(shè)計與分析：以初中《函數(shù)的概念》的教學(xué)為例［J］.科技風(fēng)，2021（8）：62-63.

［2］丁琳琳.案例教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.新課程，2023（18）：70-72.

［3］曹小紅.初中數(shù)學(xué)函數(shù)概念起始課的有效教學(xué)案例研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2018（21）：115-116.

［責(zé)任編輯：李璟］