摘要：函數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，貫穿初中數(shù)學(xué)大部分內(nèi)容.函數(shù)思想在解中考試題中的應(yīng)用非常廣泛，文章以具體的中考真題為例，探究函數(shù)思想在數(shù)與式的運(yùn)算、最值問題以及動(dòng)態(tài)問題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；中考試題；最值問題；動(dòng)態(tài)問題；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）26-0021-03

函數(shù)思想通常是指利用函數(shù)的概念和性質(zhì)分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題［1］．函數(shù)有三種表示形式，即解析式、表格、圖象．在利用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以從這三個(gè)方面捕捉函數(shù)信息，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)模型，進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

1數(shù)式與函數(shù)

在數(shù)式變化中，通常存在著某種函數(shù)關(guān)系.代數(shù)式的值就是其中某些未知字母的函數(shù)，等式中也蘊(yùn)含函數(shù)關(guān)系.在初中數(shù)學(xué)解題過程中，可考慮從數(shù)式中構(gòu)建函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)式問題．

例1（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)第10題）若實(shí)數(shù)x，y，m滿足x+y+m=6，3x-y+m=4，則代數(shù)式-2xy+1的值可以是（）

A．3B．2.5C．2D．1.5

解析根據(jù)題意可得x+y+m=6，3x-y+m=4，解得x=5-m2，y=7-m2.設(shè)w=-2xy+1，則w=-2×5-m2×7-m2+1=-m22+6m-332.因?yàn)?12<0，所以w有最大值.利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值為1.5，故選D．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二元一次方程組的解法等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．聯(lián)立方程組，可用含m的代數(shù)式表示x，y，然后設(shè)w=-2xy+1，即可得到關(guān)于m的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

例2（2022年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)第10題）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2+n2=2+mn，則（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最大值為（）

A．24B．443C．163D．-4

解析由題意易得（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）=4m2-12mn+9n2+m2-4n2=5m2-12mn+5n2=5（2+mn）-12mn=10-7mn.

因?yàn)椋╩+n）2=m2+n2+2mn≥0，m2+n2=2+mn，所以2+mn+2mn≥0，所以3mn≥-2，所以mn≥-23，由此可得10-7mn≤443，所以（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最大值為443，故選B．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查完全平方公式、平方差公式、不等式的性質(zhì)等知識(shí)，對(duì)所求值的代數(shù)式進(jìn)行正確化簡(jiǎn)，并求出mn的取值范圍是解題的關(guān)鍵［2］．先將所求式子化簡(jiǎn)為10-7mn，然后根據(jù)（m+n）2=m2+n2+2mn≥0及m2+n2=2+mn求出mn≥-23，進(jìn)而可得答案．

2最值與函數(shù)

在初中數(shù)學(xué)中，最值指的是最大值或最小值．對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)a＞0時(shí)，y有最小值；當(dāng)a＜0時(shí)，y有最大值.一次函數(shù)和反比例函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，也可能存在最大值和最小值．因此，在解決最值問題時(shí)，應(yīng)聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．

例3（2023年天津市中考數(shù)學(xué)第12題）如圖1所示，要圍一個(gè)矩形菜園ABCD，共中一邊AD是墻，且AD的長(zhǎng)不能超過26 m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40 m．有下列結(jié)論：①AB的長(zhǎng)可以為6 m；②AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192 m2；③菜園ABCD面積的最大值為200 m2．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A．0B．1C．2D．3

解析設(shè)AB的長(zhǎng)為x m，矩形ABCD的面積為y m2，則BC的長(zhǎng)為（40-2x） m，由題意得y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，其中0 ＜40-2x≤26，即7≤x＜20.

①AB的長(zhǎng)不可以為6 m，原說法錯(cuò)誤.

②當(dāng)y=-2（x-10）2+200=192時(shí)，解得x=8或x=12，所以AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值，其均能使菜園ABCD面積為192 m2，說法正確.

③菜園面積的最大值為200 m2，原說法正確.

綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選C．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)，準(zhǔn)確理解題意，列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．設(shè)AB的長(zhǎng)為x m，矩形ABCD的面積為y m2，則BC的長(zhǎng)為（40-2x） m.根據(jù)矩形的面積公式即可列二次函數(shù)解析式，再根據(jù)AD的長(zhǎng)不能超過26 m及二次函數(shù)的最值，解一元二次方程即可解決問題．

3動(dòng)態(tài)變化與函數(shù)

在速度一定的情況下，運(yùn)動(dòng)路程就是運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù).如果某些量的變化引起另一些量的變化，這里面可能存在函數(shù)關(guān)系，找出其中變量之間的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)性質(zhì)即可解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題．

例4（2022年廣州市中考數(shù)學(xué)第25題）如圖2所示，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，連接BD.

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF.當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最??？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說明理由．

解析（1）如圖3，連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB.因?yàn)椤螧AD = 120°，所以∠CAB=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以BO=AB·sin60°=6×32=33，故BD=63.

（2）如圖4所示，過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N.

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AC=AB=6.由（1）得BD=63.在菱形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，所以MN⊥BC.因?yàn)椤螧AD=120°，所以∠ABC=60°，所以∠EBN=30°，所以EN=12BE.因?yàn)镾菱形ABCD=12AC·BD=MN·BC，所以MN=33.設(shè)BE=x，則EN=12x，所以EM=MN-EN=33-12x.因?yàn)镾菱形ABCD= AD·MN=6×33=183，所以S△ABD=12S菱形ABCD=93.因?yàn)锽E=3DF，所以DF=BE3=33x，所以S△DEF=12DF ·EM=12·33x33-12x =-312x2+32x.設(shè)四邊形ABEF的面積為S，則S=S△ABD-S△DEF=93-

（-312x2+32x）=312x-332+2734.因?yàn)辄c(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，故0＜BE＜BD，即0＜x＜63.

作CH⊥AD于H，如圖5所示.因?yàn)镃O⊥BD，CH⊥AD，而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上，當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值.在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD.因?yàn)椤螧AD=120°，所以∠ADC=60°，所以△ACD是等邊三角形，所以AH=DH=3，所以CH=33.由S=312x-332+2734可知，當(dāng)x=33，即BE=33時(shí)，S達(dá)到最小值.因?yàn)锽E=

3DF，所以DF=3，此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，所以當(dāng)四邊形ABEF面積取最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，此時(shí)CE+3CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+3CH=3+3×33=12．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的重心、解直角三角形等知識(shí). 根據(jù)菱形的面積可求出MN=

33，設(shè)BE=x，則EN=12x，從而得到EM=MN-EN=33-12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，從而得到四邊形ABEF的面積S=S△ABD-S△DEF=312x-332+2734.作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由S=312x-332+2734，可得當(dāng)x=33，即BE=33時(shí)，S達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置．

4結(jié)束語

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)思想作為初中數(shù)學(xué)的重要思想，貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué).因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需在日常教學(xué)中滲透函數(shù)思想. 在解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將函數(shù)思想與其他內(nèi)容相結(jié)合，并利用函數(shù)思想解決中考試題，讓學(xué)生在解決中考試題的過程中感悟函數(shù)思想的魅力，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］

張海濤.借助函數(shù)思想，指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)解題研究［J］.數(shù)理化解題研究，2022（8）：56-58.

［2］李鴻昌，徐章韜.關(guān)于對(duì)數(shù)平均的一個(gè)不等式的推廣［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（8）：50-52.

［責(zé)任編輯：李璟］