摘要：三角形折疊問(wèn)題主要考查學(xué)生的動(dòng)手能力與直觀想象能力，深受中考命題專(zhuān)家的青睞. 解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵，一是抓住幾何圖形折疊前后保持不變的量，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；二是抓住幾何圖形中垂直關(guān)系，為問(wèn)題解決創(chuàng)造條件.基于此，先給首出三角形中常見(jiàn)折疊問(wèn)題的三個(gè)基本模型，然后給出三角形折疊問(wèn)題的求解策略，最后結(jié)合典型的折疊類(lèi)試題，對(duì)三角形折疊問(wèn)題進(jìn)行深入探究，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：三角形；折疊問(wèn)題；模型；探究

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）26-0012-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)學(xué)生的動(dòng)作操作能力提出了更高的要求，最近幾年的中考試題也頻繁考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力.為此，筆者結(jié)合典型的折疊類(lèi)試題，探究三角形折疊問(wèn)題的求解策略，供讀者參考.

1三角形折疊的三個(gè)基本模型

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，三角形折疊是常見(jiàn)的幾何問(wèn)題，其形式靈活多樣.不論幾何圖形如何變化，三角形折疊的本質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱(chēng)變換，其有三個(gè)基本模型.如表1所示，將△ABC沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在C′處，即△CEF與△C′EF關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，易知△CEF≌△C′EF.根據(jù)不同圖形的結(jié)構(gòu)特征，利用全等三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)易求得∠1，∠2，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，這是解決三角形折疊問(wèn)題的基本依據(jù).

2三角形折疊問(wèn)題的求解策略

在初中數(shù)學(xué)試題中，三角形折疊問(wèn)題主要以填空題及綜合題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問(wèn)題，其難度系數(shù)較大．在解決三角形折疊問(wèn)題時(shí)，要注意折疊前后“對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分”等結(jié)論的運(yùn)用. 在多解題型中，準(zhǔn)確畫(huà)出折疊后的圖形是解題的關(guān)鍵［1］．解題時(shí)往往需要用到三角形的有關(guān)性質(zhì)、判定定理、推論及其他相關(guān)的幾何知識(shí)．具體解題步驟如下：第一步，運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；第二步，在圖形中找到一個(gè)直角三角形.通常選擇不以折痕為邊的直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x，將此直角三角形的未知邊長(zhǎng)用含有x的代數(shù)式表示出來(lái)；第三步，利用勾股定理列方程求出x的值；第四步，通過(guò)相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題.

3應(yīng)用舉例

例1如圖1，點(diǎn)M，N分別是長(zhǎng)方形ABCD的邊AB和BC上的點(diǎn)，沿MN折疊長(zhǎng)方形ABCD，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若∠MNB′與∠CNB′兩個(gè)角之差的絕對(duì)值為45°，求∠BNM的度數(shù)．甲的結(jié)論是∠BNM=45°，乙的結(jié)論是∠BNM=60°．下列判斷正確的是（）.

A．甲的結(jié)論正確B．乙的結(jié)論正確

C．甲、乙的結(jié)論合在一起才正確D．甲、乙的結(jié)論合在一起也不正確

解析由折疊的性質(zhì)可知∠MNB′=∠BNM.

①當(dāng)∠MNB′與∠CNB′兩個(gè)角之差為45°，即∠MNB′=∠CNB′+45°時(shí)，∠CNB′=∠MNB′-45°=∠BNM-45°.因?yàn)椤螹NB′+∠MNB+∠CNB′=180°，所以∠BNM+∠BNM+∠BNM-45°=180°，解得∠BNM=75°.

②當(dāng)∠CNB′與∠MNB′兩個(gè)角之差為45°，即∠MNB′=∠CNB′-45°時(shí)，∠CNB′=∠MNB′+45°=∠BNM+45°.因?yàn)椤螹NB′+∠MNB+∠CNB′=180°，所以∠BNM+∠BNM+∠BNM+45°=180°，解得∠BNM=45°.

綜上所述，∠BNM=75°或45°，故選D．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查折疊的性質(zhì)、

三角形內(nèi)角和定理、一元一次方程等知識(shí). 由折疊的性質(zhì)可知∠MNB′=∠BNM.根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，需分兩種情況討論求解，一是∠MNB′與∠CNB′兩個(gè)角之差為45°；二是∠CNB′與∠MNB′兩個(gè)角之差為45°. 由此可以看出，掌握折疊的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理建立方程是解題的關(guān)鍵．

例2如圖2，△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿著AD翻折，得到△ADE，AE交BC于點(diǎn)F．若AE⊥BC，點(diǎn)D到AB的距離等于（）.

A．DFB．DBC．DCD．CF

解析由折疊可知∠BAD=∠EAD.因?yàn)镈F⊥AE，所以點(diǎn)D到AB的距離等于DF，故選A．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查角平分線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例3如圖3，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點(diǎn)N，將紙片沿著B(niǎo)N對(duì)折一次使得點(diǎn)A落在A′處后，再將紙片沿著B(niǎo)A′對(duì)折一次，使得點(diǎn)C落在BN上的C′處，已知∠CMB=68°，∠A=18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）.

A．87°B．84°C．75°D．72°

解析由折疊的性質(zhì)可知∠ABN=∠A′BN=∠A′BC，所以∠ABC=3∠A′BC.因?yàn)椤螦′BC+∠C+∠CMB=180°，∠A+3∠A′BC+∠C=180°，∠CMB＝68°，∠A＝18°，從而可得∠A′BC+∠C+68°=180°，18°+3∠A′BC+∠C=180°，解得∠C=87°，故選A.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、二元一次方程組等知識(shí)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠ABN=∠A′BN=∠A′BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A′BC+∠C+∠CMB=180°，∠A+3∠A′BC+∠C=180°，進(jìn)而可得∠C的度數(shù)．

例4如圖4，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段AN的長(zhǎng)為（）.

A．6B．5C．4D．3

解析設(shè)AN=x，易知DN=AN=x，則BN=9-x．因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以BD=3．在Rt△BDN中，由勾股定理得ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，所以AN=5，故選B．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查折疊的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用. 由折疊的性質(zhì)易得DN=AN=x，BN=9-x.在Rt△BDN中利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，這是解決本題的關(guān)鍵．

例5如圖5，在△ABC中，∠B=42°，∠C=68°，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．

（1）如圖5，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠BEP的度數(shù)；

（2）如圖6，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求∠AEF的度數(shù)．

解析（1）由折疊的性質(zhì)可得AE=EP.因?yàn)锳E=EB，所以BE=EP，所以∠B=∠BPE=42°.因?yàn)椤螧+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BEP=180°-∠B-∠BPE=180°-42°-42°=96°.

（2）因?yàn)镻F⊥AC，所以∠PFA=90°.易得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，所以∠AFE=∠PFE=45°.在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-42°-68°=70°.在△AEF中，∠AEF+∠A+∠AFE=180°，所以∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-70°-45°=65°．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)得到相等的線段和角，然后利用三角形內(nèi)角和定理列方程求解.

4結(jié)束語(yǔ)

三角形折疊問(wèn)題對(duì)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和直觀想象能力要求較高，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需注重培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和直觀想象能力.通過(guò)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受到折紙的樂(lè)趣和數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力，從而提高學(xué)生的直觀想象能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 暢英英.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)折疊問(wèn)題的解題研究［J］.數(shù)理化解題研究，2021（29）：28-29.

［責(zé)任編輯：李璟］