【摘要】在初中數(shù)學中，分式函數(shù)最值問題是一個重要的知識點，它涉及函數(shù)的性質、不等式的解法以及幾何直觀等多個方面．求解這類問題需要結合數(shù)學知識、邏輯推理和數(shù)學方法，才能得出最值．本文以分式的最值為抓手，介紹分式函數(shù)最值問題的求解方法，幫助初中學生更好地理解和掌握分式函數(shù)最值問題．

【關鍵詞】初中數(shù)學；分式函數(shù)；最值問題

分式函數(shù)的最值往往與函數(shù)的單調性、凸性等性質有關，因此理解函數(shù)的性質是解決最值問題的前提．但有的分式函數(shù)在某些區(qū)間內并沒有嚴格的單調性，所以求解時并不是想象中的那么容易．對于二次分式函數(shù)，可利用配方法求其最值，對于高次分式函數(shù)，可利用判別式法求其最值．

1判別式法求解分式函數(shù)的最值

例1求函數(shù)y=2x+2x2+3x+3的最大值和最小值．

解析將原式整理為關于x的方程：

yx2+（3y－2）x+（3y－2）=0．

若y=0，則x=－1，即y=0是函數(shù)的一個值；

若y≠0，則關于x的方程有實根，

所以Δ=（3y-2）2-4（3y-2）y=（3y-2）（3y-2-4y）≥0，

即（3y-2）（y+2）≤0，

解得-2≤y≤23．

由此可看出y=0既不是最大值也不是最小值．

當y=－2時，由－2=2x+2x2+3x+3，

解得x=－2；

當y=23時，由23=2x+2x2+3x+3，

解得x=0．

所以當x=－2時，y取最小值－2；

當x=0時，y取最大值23．

點評本題利用判別式法求解分式函數(shù)的最值問題，通過解法可以看出，分式函數(shù)的最值與分式的最值內涵相同，求解分式函數(shù)最值的思路和求解分式最值的思路也相同，學生可通過方法遷移來處理此類問題．

2不等式法求解分式函數(shù)的最值

例2實數(shù)a，b使關于x，y的方程組

xy－x2=1xy2+ax2+bx+a=0有實數(shù)解x，y．

（1）求證y≥2；

（2）求a2+b2的最小值．

解析（1）證明由xy－x2=1，

得：x≠0，y=x+1x，

當x>0時，

因為x-1x2≥0，

所以x+1x-2x·1x≥0，

即x+1x-2≥0

所以x+1x≥2，

所以當x>0時，y≥2；

當x<0時，－x>0，

因為-x-1-x2≥0

所以-x+1-x-2-x·1-x≥0，

即-x+1x-2≥0

所以-x+1x≥2，

所以x+1x≥-2

所以當x<0時，y≥-2；

所以y≥2；

（2）由xy－x2=1，

得：x≠0，x2+1=xy，

由xy2+ax2+bx+a=0，

得：xy2+b+ax2+1=0，

即xy2+b+axy=0，

所以xy2+ay+b=0，

因為x≠0，

所以y2+ay+b=0，

所以y2+ay+b=0有解，且滿足y≥2，

所以ay+b=－y2，

因為a2+b2y2+1－ay+b2

=a2y2+a2+b2y2+b2－a2y2+2aby+b2

=a2y2+a2+b2y2+b2－a2y2－2aby－b2

=a2－2aby+b2y2

=a－by2，

因為a-by2≥0

所以a2+b2y2+1≥ay+b2，

所以a2+b2≥ay+b2y2+1=y4y2+1

=y2+12－2y2+1+1y2+1

=y2+1+1y2+1－2，

因為y≥2，

所以y2+1≥5，

令y2+1=z，

y2+1+1y2+1=w，

則w=z+1z，

因為當z>1時，w隨z的增大而增大，

所以當y2+1=5時，

y2+1+1y2+1有最小值，

所以y2+1+1y2+1-2≥5+15-2=165，

當y=2時，等號成立，

所以a2+b2有最小值165，當且僅當a=byy=2時等號成立，

又因為y=x+1xy2+ay+b=0，

聯(lián)立解得：y=2x=1a=－85b=－45，

或y=－2x=－1a=85b=－45，

綜上所述，a2+b2的最小值為165．

點評本題主要考查了基本不等式的性質，解高次方程組．在求解a2+b2的最小值時，將求解a2+b2的最小值問題轉化為求解分式函數(shù)的最值問題，這里可以用不等式的方法求解該分式函數(shù)的最值．

3結語

在初中數(shù)學中，求解分式函數(shù)最值問題需要結合基本的具體方法，靈活運用數(shù)學知識、邏輯推理和數(shù)學方法．通過判別式法和基本不等式等方法，可以有效地解決不同類型的分式函數(shù)最值問題．希望本文提供的思路和方法能夠幫助初中學生更好地理解和掌握初中數(shù)學中的分式函數(shù)最值問題．

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