【摘要】線段最值問題是初中數(shù)學(xué)中一類經(jīng)典的問題.這一類問題對學(xué)生的幾何思維和基礎(chǔ)知識有較高的要求.在求線段最值時，要學(xué)會動中求靜，尋求變量和不變量之間的聯(lián)系.本文結(jié)合例題談三種解答線段最值問題的方法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】線段最值；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

方法1構(gòu)造平面直角坐標系，利用兩點之間的距離公式求解

例1如圖1所示，在邊長為4的正方形ABCD中，將△ABD沿射線BD平移，得到一個新的三角形△EGF，連接EC，GC，則EC+GC的最小值為.

解如圖2所示，以正方形ABCD的兩條對角線所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

設(shè)平移的距離為a，

則E（a，22），G（－22+a，0），C（0，－22）.

由兩點之間的距離公式可得EC=a2+32，

GC=（a－22）2+8，

則可得

EC+GC=a2+32+（a－22）2+8.

令函數(shù)y=x2+32+（x－22）2+8，

問題可以等價于求動點到兩定點的距離之和的最小值.

如圖3所示，設(shè)點M（x，42），O（0，0），N（22，22），

問題轉(zhuǎn)化為求解|MO|+|MN|的最小值，直線y=42上有一動點M，

作點O關(guān)于直線y=42的對稱點Q，連接QN，與直線y=42交于點M，

由此可得最小值即為QN的長度，

QN=45.

評析本題需要學(xué)生能夠根據(jù)題目具體情況合理建立平面直角坐標系，結(jié)合兩點之間的坐標公式、勾股定理、對稱性等知識點，總體綜合性較強，需要學(xué)生能夠構(gòu)造函數(shù)式研究最值.

方法2相似三角形轉(zhuǎn)化法

例2如圖4所示，點D是直角三角形ABC內(nèi)的一點，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

CD=2，試求DA+23DB的最小值.

解在BC邊上取一點E，使得CE=43，連接DE、AE.

因為CECD=432=23，CDCB=23，

所以CECD=CDCB.

又因為∠BCD=∠DCE，

所以△BCD∽△DCE，

則DEBD=CDCB=23，

所以DE=23BD，DA+23DB=DA+DE.

由“兩點之間線段最短”可得當(dāng)A、D、E三點共線時，DA+23DB最短.

此時DA+23DB=AE=CE2+AC2=4103，

所以DA+23DB的最小值是4103.

評析相似三角形是初中平面幾何中的一類重要的三角形關(guān)系.其可以實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化，從而將線段和最值問題或者是線段最值問題轉(zhuǎn)化為一些簡單的三點共線問題，使題目變得更加簡單直觀化.

方法3構(gòu)造輔助圓法

例3如圖5所示，E、F兩點是正方形ABCD的邊AD上的動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H.若正方形ABCD的邊長為2，則線段DH長度的最小值為.

解由題目條件可得△ABE和△DCF全等，△ADG和△CDG全等，

則∠DCF=∠DAG=∠ABE.

又因為∠ABE+∠AEB=90°，

可得∠AHB=90°.

所以無論E、F兩點如何運動，點H始終在以AB的中點M為圓心，AM的長為半徑的圓弧上.

所以當(dāng)D、H、M三點共線時，DH最小，

即DH=DM－DH=5－1.

評析此方法運用的關(guān)鍵在于找到證明動點運動軌跡是圓的條件，這樣就可以將動點的軌跡限制在輔助圓的范圍內(nèi)，便于從幾何圖形上看出最值存在處.

結(jié)語

上述三種方法是解答線段最值問題的常用方法，學(xué)生在解題的過程中要對方法中的數(shù)學(xué)模型加以總結(jié)，找到問題之間的共同點與不同點，從而在下一次解題時能夠更加靈活地運用.