【摘要】平面幾何在初中數(shù)學知識體系中占據(jù)重要地位．本文運用反證法從基本命題，位置關系，“至多”“至少”等形式的命題，否定性命題四個方面解初中平面幾何題，同時對平面幾何教學過程中應用反證法解題的策略進行總結，并從高度重視培養(yǎng)學生逆向思維、注重反證法方式方法、波利亞解題思想融入反證法教學角度，提出了相應的教學建議，打破學生固有的思維模式，鍛煉其邏輯思維能力，不斷提高邏輯推理與逆向思維能力．

【關鍵詞】初中數(shù)學；反證法；平面幾何；逆向思維

1引言

平面幾何在中學課程內容模塊“圖形與幾何”領域中占據(jù)核心地位，是學生學習數(shù)學的基礎，有助于學生形成良好的數(shù)學思維和創(chuàng)新能力.反證法是一種常見的解題方法[3]，對于提高學生的數(shù)學應用能力、邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維有顯著作用.反證法的應用思路是假設命題結論是錯誤的，從這個假設出發(fā)通過推理進行論證，并根據(jù)已知條件和相關原則得出與已知事實相矛盾的結果，從而證明論題的正確性．故反證法是通過否定與命題相反的一面來證明事物的真實性，是一種間接的、讓步的證明方法．反證法在平面幾何解題中應用十分廣泛[4]，在證明某些幾何量之間的關系時，有助于從一個假設出發(fā)，通過邏輯推理揭示矛盾，從而驗證原命題的正確性[5].

2反證法在初中平面幾何解題教學中的具體應用

筆者將適用反證法證明的平面幾何問題分為四類：基本命題、位置關系、“至多”“至少”等形式的命題、否定性命題，下面分別通過實例來說明反證法在初中平面幾何中的應用．

2.1基本命題

在平面幾何中，證明一些基本命題（學科中的初始命題）時，往往會由于缺少已有定理或命題的支撐而難以直接證明.此時，若運用反證法，從結論出發(fā)，否定原始結論以增加已知條件，可降低證明難度．

例1證明平行線性質定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等．

分析由題意可得，如圖1所示，證明∠1=∠2．從正面直接證明是比較困難的，故考慮從問題的反面進行證明.先假設同位角∠1與∠2不相等，則可做出一個與∠1相等的角∠3，根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”，得到直線l1平行于直線l3，與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾.

小結平行線性質定理的證明是學生第一次接觸到反證法在平面幾何中的運用.題目所給條件太少，正向推導難，故嘗試運用反證法.在教學過程中，注意啟發(fā)學生遇到類似的初始命題時，學會多維度分析問題，正向思維不通，嘗試從問題反面入手，判斷哪些關鍵詞需要改變，哪些關鍵詞可作為證明時的條件．

2.2位置關系

在平面幾何中判斷點與線、線與線之間的位置關系時，往往有定義法和反證法兩種方法，若用定義法難以直接證明，運用反證法則具有獨特優(yōu)勢．

例2如圖2，已知：直線AB與CD相交于O，EF⊥AB于點F，GH⊥CD于點H．求證：EF和GH必相交．

分析已知AB交CD于O，EF⊥AB于F，GH⊥CD于H，需證明EF與GH一定相交.貌似這是一個不需要證明便可得知的結論，但是正面難以證明，可考慮從結論入手，運用反證法進行求證．對結論進行反設，于是假設EF∥GH，則它們的垂線AB∥CD，與題設矛盾．

小結此類證明兩幾何量之間的位置關系的題目，運用定義法直接證明較為棘手，可聯(lián)想到反證法，會使得證明更加簡潔與高效．在反設時通常選擇要求證的結論，即求題干的逆否命題為真命題，因此要明確兩幾何量之間可能存在的所有位置關系，否定了一種位置關系，其余的位置關系選擇很重要．通過分析發(fā)現(xiàn)常規(guī)思維解決本題較為繁瑣，而反證法恰好能規(guī)避許多麻煩.將題干中需要求證的結論進行反設，如若得出來的結論與條件不符，即與題干矛盾，從而得證. 在確定兩幾何量位置關系的教學過程中，要有意識啟發(fā)學生從不同角度進行思考，幫助學生沖破常規(guī)思維模式的束縛.

2.3“至多”“至少”形式的命題

證明此類命題時，若從正面出發(fā)，需要分多種情況討論，非常復雜，故首選反證法．例如當遇到“至少有一個元素具備某種性質”，若將此結論否定，便可得到“沒有一個元素具備該性質”，用此否定論斷進行證明會更加簡便．

例3求證一個三角形中至少有一個內角大于或等于60°.

分析如圖3，已知△ABC，題目可轉化為求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°．若從正面進行證明，“至少”這個條件將要求我們進行分類討論，使得證明過程變得繁瑣．于是可考慮運用反證法，將“至少有一個”反設為“一個都沒有”，即假設三角形的三個內角都小于60°，則可得其內角和小于180°，與“三角形的內角和等于180°”相矛盾．

小結面對含有“至少”“至多”這類表范圍和數(shù)量的詞的問題，往往從反面進行證明，將其否定之后會使得應考慮的情況減少，從而更有利于證明．例如：本題中的“至少有一個”若從正面進行證明則要分為“有一個內角大于或等于60°”“有兩個內角大于或等于60°”“有三個內角等于60°”這三種情況，而將其反設之后，只需證明“三個內角都小于60°”這一種情況．這種逆向思維的運用可化繁為簡、化難為易，不僅提高了學生的解題速度，還在很大程度上提升了學生的邏輯思維能力.

2.4否定形式命題

結論中出現(xiàn)“不能……”“不是……”等形式的命題，稱之為否定性命題．證明研究對象“不存在”或“不具有”某種性質時，通常用反證法進行證明．因為此類命題的論斷不是特別明確，用直接法難以證明，而否定此類命題的結論就是肯定，相較于直接證明否定會比較簡單．

例4如圖4，在梯形ABCD中，AD‖BC，對角線AC與BD相交于P，過P作與梯形底邊AD平行的直線，交AB于M，交CD于N．求證：MN不可能是梯形ABCD的中位線．

分析觀察題目可知，該題為否定性命題的證明，采用反證法能使證明更簡便．基于結論進行反設，得“MN是梯形ABCD的中位線”，由中位線的性質定理可知，點P為BD，AC的中點，由邊角邊得△PBC≌△PDA，所以AD=BC，這與梯形的定義相矛盾，得證．

小結否定性命題從正面證明難以找到公理、定理作為理論支撐，因此這類問題運用反證法便能迎刃而解．以本題為例，要證MN不是中位線，即可假設MN是中位線，由中位線這一條件一步步延伸推出矛盾得出結論，使得證明過程更加簡潔、流暢．反證法在該種題型中的運用有效地簡化了數(shù)學問題，提高了學生的解題效率，逆向思維的運用能提升學生的推理素養(yǎng).

3教學建議

高度重視培養(yǎng)學生逆向思維 反證法是數(shù)學中至關重要的解題方法，反證法是間接證明法中的一種，在平面幾何中，許多題目過于抽象或者幾何圖形不能被直觀地表現(xiàn)出來，利用反證法解答此類問題，常常會事半功倍.因此，教師要提高自身對反證法的重視程度．教師要在初中階段為學生夯實基礎，注重培養(yǎng)學生的逆向思維，不斷提高理解方式和思維方式．教師還要不斷提升自身對反證法的數(shù)學知識與教學知識的理解與運用，注重與同事之間的合作交流以及對自身的教學反思．

注重反證法方式方法 反證法本身具有高度的抽象性，教師要合理運用生活實例引入反證法．若在數(shù)學教學過程中生硬地介紹反證法的理論并直接運用于解題過程中，會讓學生學得莫名其妙．為了化“虛”為“實”，教師在教授反證法的時候，需要將課堂引入趣味化、生動化、形象化，有助于提升學生學習的積極性．例如，可引入“路邊苦李”這一故事，教師可提問：“為什么路邊隨手摘的李子一定是苦的呢？”可引導學生從不同角度思考，讓學生有豁然之感．接著進入反證法的歸謬階段，詢問學生：從反面思考后，是否發(fā)現(xiàn)了與常識、事實相矛盾的地方？引導學生思考：如果李子是甜的，而且長在路邊隨手可摘，合理嗎？讓學生自主闡述不合理的地方．通過生活實例、理解應用不僅可以幫助學生更加容易理解反證法的本質，同時鍛煉了學生的應用意識與實踐能力．學生理解反證法本質后，應用解題時通過引導、討論等，進一步加深學生知識理解，提高反證法應用能力，提升學生思維能力與創(chuàng)新意識．

波利亞解題思想融入反證法教學教師將波利亞解題思想融入反證法教學中，啟發(fā)學生的解題思路.波利亞的解題思想強調從問題的本質出發(fā)，通過簡化問題、探索普遍規(guī)律和利用數(shù)學中的啟發(fā)法來尋找解題策略.將波利亞的解題思想應用在反證法解決平面幾何問題中，促使學生更系統(tǒng)、更完整地解題.第一步，弄清題目，即教師在講解題目時應引導學生分析題干，理解題意，明確問題，如前文例1；第二步，確定解題方案，引導學生思考解題時選擇最優(yōu)的方法，如前文例4；第三步，實施解題方案，確定運用反證法解題三部曲：反設、歸謬、得出結論；第四步，回顧與反思，問題解決之后要及時進行驗算，降低題目的出錯率，并進行反思歸納，培養(yǎng)學生的遷移能力.

4結語

平面幾何與反證法都是初中數(shù)學中不可或缺的一部分，本文概述了反證法和平面幾何的相關內容，通過例題評析了反證法在初中平面幾何中的應用，并給出了關于反證法在平面幾何教學中的建議.學生使用反證法能簡化難以直接證明的平面幾何問題，提高解題效率，培養(yǎng)知識遷移能力，打破固有的思維模式，鍛煉邏輯思維能力，不斷提高邏輯推理與逆向思維能力．

【本文系國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目“面向情緒腦電多域特征提取的張量分解算法研究”研究成果，課題編號：202310663051】

參考文獻：

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［2］劉宏仕.初中數(shù)學平面幾何教學問題及對策研究[J].求知導刊，2024（01）：95-97.

［3］丁寶波.反證法的理論依據(jù)及其應用條件的探討——中學數(shù)學中的應用[J].學周刊，2014（26）：215.

［4］馬多貴.反證法在初中數(shù)學解題中的應用探討[J].學周刊，2020（12）：96-97.

［5］滿孝珍.反證法在初中數(shù)學證明題中的應用[J].數(shù)理化學習（初中版），2022（26）：26+29.

［6］周倩.基于波利亞解題思想解三角形內切正方形問題[J].學園，2018，11（14）：93-94+98.

[7]邰桂琴.例談波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學解題教學中的運用[J].數(shù)理天地（初中版），2022（20）：2-3.