【摘要】圖形數(shù)量關(guān)系問題是近幾年各地中考的熱點問題之一，此類問題涉及平行線、角平分線、全等三角形等多個知識點，綜合性強，旨在考查學(xué)生的推理能力、構(gòu)造能力、想象能力，體現(xiàn)新課標對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求.本文結(jié)合一道典型例題，通過一題多解的方式探究解答此類問題的方法，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】一題多解；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

1例題呈現(xiàn)

如圖1所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD⊥AC于點D，若CE平分∠ACB，交AB于點E，交BD于點F.

（1）求證：△BEF是等腰三角形；

（2）求證：BD=12（BC+BF）.

2解法探究

（1）證明因為∠ABC=90°，AB=BC，

所以∠ACB=∠CAB=45°.

因為CE平分∠ACB，

所以∠ECB=∠ACE=12∠ACB=22.5°.

則∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，

所以BE=BF，故△BEF是等腰三角形.

（2）①構(gòu)造中位線

證明如圖2所示，延長AB至點M，使得BM=BA，連接CM.

因為BM=BA，AD=CD，

所以BD∥CM，BD=12CM，

則∠BCM=∠CBD.

因為∠ABC=90°，

所以∠ABD=∠CBD=45°.

因為BD∥CM，

所以∠ABD=∠M=45°.

則∠BCM=∠CBD=∠ABD=∠M=45°，

故BC=BM.

因為BD∥CM，

所以MC⊥AC，∠MCA=90°.

由（1）可得∠ACE=22.5°，

所以∠MCE=90°－22.5°=67.5°.

故∠BEF=∠MCE，

所以ME=MC.

因為BD=12CM=12ME=12（BM+BE），

所以BD=12（BC+BF）.

評注通過倍長線段的方法，構(gòu)造出中點，再結(jié)合已知的中點，即可得到中位線.利用中位線的性質(zhì)，可以得到平行和線段比值的條件，再將所證式中的線段合理轉(zhuǎn)化到其他位置，即可證得.

②引入?yún)?shù)

證明如圖3所示，過點F作FH⊥BC，交BC于點H.

因為CE平分∠ACB，

所以FD=FH.

設(shè)FD=FH=x，

因為FH⊥BC，

所以∠FHB=90°.

由（1）可得∠CBD=45°，

所以∠HBF=∠HFB=45°，HB=HF.

則△HBF是等腰直角三角形，

所以BF=BE=2x，CD=BD=BF+FD=2x+x.

在△FDC和△HCF中，∠DCF=∠BCF∠FDC=∠FHCFC=FC，

所以△FDC≌△HCF.

所以DC=HC=2x+x，BF+BC=BF+BH+HC=2（2x+x）=2BD.

所以BD=12（BC+BF）.

評注引入?yún)?shù)是證明圖形數(shù)量關(guān)系問題的常用方法.先設(shè)出未知量，再根據(jù)幾何條件分別表示出所證式中的線段的長度，選定一到兩個基準的線段，最后結(jié)合每個線段的形式，即可通過比值的形式證明.

③=3＼*GB3＼*MERGEFORMAT利用角平分線的性質(zhì)

證明如圖4所示，過點E作EM⊥AC，交AC于點M，

即∠EMA=∠EMC=90°.

因為∠A=45°，

所以∠AEM=45°，

則∠A=∠AEM，

所以AM=ME.

因為CE是∠ACB的平分線，

所以∠BCE=∠ACE，EM=BE=AM.

在Rt△EMC和Rt△EBC中，EM=EBEC=EC，

所以Rt△EMC≌Rt△EBC.

所以MC=BC，AC=AM+MC=BE+BC=BF+BC.

因為BD=12AC，

所以BD=12（BC+BF）.

評注利用角平分線的性質(zhì)來證明體現(xiàn)了軸對稱的思路，將原本的線段通過軸對稱的方式轉(zhuǎn)移到另一位置，實現(xiàn)條件的集中，簡化了題目的證明過程.

3結(jié)語

解答圖形數(shù)量關(guān)系問題可以從中位線、軸對稱、引入?yún)?shù)等多種角度進行有效轉(zhuǎn)化，從而得到不同的解題策略.學(xué)生在解答問題時，要注重題目的已知條件，探索其內(nèi)在聯(lián)系，弄清題目的本質(zhì)屬性，從而實現(xiàn)“一題多解”向“多解歸一”的飛躍.