【摘要】圖形變換問題是平面幾何問題中的一類難點(diǎn)問題，體現(xiàn)了運(yùn)動變換的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生空間觀念的形成有著很大的作用.解答圖形變換問題，首先要明確幾種主要的變換類型，并理解其內(nèi)涵.本文對一道圖形變換問題的解題方法進(jìn)行分析，幫助學(xué)生攻克難點(diǎn)，達(dá)到深刻理解和靈活掌握的目的.

【關(guān)鍵詞】圖形變換；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

1例題呈現(xiàn)

如圖1所示，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F兩點(diǎn)分別是DC、AB的中點(diǎn)，射線FE與AD、BC的延長線交于點(diǎn)H、G，求證：∠AHF=∠BGF.

2解法分析

2.1構(gòu)造中位線

證明如圖2所示，連接AC，取AC的中點(diǎn)M，連接ME、MF.

因為E、F兩點(diǎn)分別是DC、AB的中點(diǎn)，

所以EM∥AD，EM=12AD，

FM∥BC，F(xiàn)M=12BC.

所以∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE.

因為AD=BC，

所以EM=FM，

則∠MEF=∠MFE.

所以∠AHF=∠BGF.

評注本題中“E、F兩點(diǎn)分別是DC、AB的中點(diǎn)”是一個重要的幾何條件，聯(lián)想到構(gòu)造中位線.利用中位線的性質(zhì)可以實現(xiàn)角和線段的平移，從而使條件更為集中化，建立已知條件和結(jié)論之間的聯(lián)系.

2.2平移線段

證明如圖3所示，平移AD、CB到EK、ET的位置，則可以組成平行四邊形ADEK，平行四邊形BCET.

所以AK∥DE∥EC∥BT，AK=DE=EC=BT，則四邊形AKBT是平行四邊形.

所以KT必然經(jīng)過AB的中點(diǎn)F.

因為KE=AD=BC=ET，

所以△EKT是等腰三角形.

則EF是等腰三角形EKT底邊上的中線，

所以∠KEF=∠TEF.

因為∠KEF=∠AHF，∠TEF=∠BGF，

所以∠AHF=∠BGF.

評注若圖形中相等的線段較多，則可以考慮平移線段，同樣可以實現(xiàn)角的平移.同時若平移后的線段構(gòu)成了三角形，也可以利用等腰三角形的性質(zhì)簡化問題.

2.3利用軸對稱變換

證明如圖4所示，以EF為對稱軸作GB關(guān)于EF的對稱線段GK，

則∠KGF=∠BGF.

過點(diǎn)D作DP⊥EF于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AQ⊥EF于點(diǎn)Q.

過點(diǎn)C作CM⊥EF于點(diǎn)M，并延長CM交GK于點(diǎn)T.

連接BK交EF的延長線于點(diǎn)N，連接AK.

易證PQ=MN，

所以PM=QN.

所以可證明四邊形DPMT和四邊形AQNK都是平行四邊形.

所以DT∥AK，DT=AK，

則GK=HA，

所以∠AHF=∠KGF.

所以∠AHF=∠BGF.

評注軸對稱變換體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想中的對稱思想.通過軸對稱變換可以得到圖形全等的性質(zhì)，對應(yīng)的點(diǎn)和線段也實現(xiàn)了位置的變化.

2.4利用旋轉(zhuǎn)變換

證明如圖5所示，連接DF，將△ADF繞AB的中點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°到△BKF的位置.

連接CK，則有BK=AD=BC，

所以∠BCK=∠BKC.

因為DF=FK，DE=EC，

所以EF∥CK，

所以∠BGF=∠BCK.

因為∠ADF=∠AHF+∠DFH，

∠BKF=∠BKC+∠FKC，

同時∠DFH=∠FKC，∠ADF=∠BKF，

所以∠AHF=∠BKC.

所以∠AHF=∠BGF.

評注旋轉(zhuǎn)變換可以保持圖形的全等性，同時可以改變圖形的方向.在解題時，可以利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造相應(yīng)的輔助線，幫助解決復(fù)雜問題.通過旋轉(zhuǎn)變換，可以使圖形之間形成特殊的角度或關(guān)系，從而揭示出在問題中隱藏的幾何性質(zhì).

3結(jié)語

圖形變換問題的關(guān)鍵在于如何“變”，根據(jù)題目的特點(diǎn)對知識進(jìn)行系統(tǒng)性的提煉，以不變應(yīng)萬變.同時要能夠正確識別變換的類型，回歸基本的性質(zhì)，靈活運(yùn)用對稱思想、旋轉(zhuǎn)思想等數(shù)學(xué)思想簡化問題，從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和問題解決能力.