【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)的重要思想，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn).通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以將抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀的圖形相結(jié)合，融合了抽象思想和形象思維，綜合了兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于解題往往起到重要的作用.本文結(jié)合實(shí)例探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以供讀者思考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；解題技巧

1以“形”解“數(shù)”

1.1利用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義求其大小

例1如圖1所示，雙曲線y=kx（k>0）經(jīng)過(guò)Rt△OAB邊OB的中點(diǎn)D，且與邊AB相交于點(diǎn)C.若S△OBC=3，則k=.

解取AO的中點(diǎn)E，連接DE.

因?yàn)辄c(diǎn)D是直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)，

所以DE是三角形OAB的中位線.

由中位線的性質(zhì)可得DE∥AB，DE=12AB.

因?yàn)锽A⊥OA，

所以DE⊥OA，

S△ODE=14S△OBA=12k，S△OBA=2k.

又因?yàn)镾△OCA=12k，S△OBC=3，

所以12k+3=2k，

即k=2.

評(píng)注反比例函數(shù)下方所包含圖形的面積就代表著比例系數(shù)k的大小，利用數(shù)形結(jié)合思想，將原本復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為圖形面積的運(yùn)算，利用割補(bǔ)法等求解面積大小的方法即可.

1.2幾何作圖求線段和最值

例2如圖2所示，拋物線y=ax2－5ax+c與x，y軸分別交于A，C，E三點(diǎn)，其中A（－3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，M，N兩點(diǎn)分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，CM=BN，連接MN，AM，AN.

（1）求參數(shù)a的值；

（2）求AM+AN的最小值.

解（1）把（-3，0）和（0，4）代入y=ax2-5ax+c中，得9a+15a+c=0c=4，

解得a=-16，c=4，

所以a為-16.

（2）由（1）可求得拋物線解析式為y=-16x2+56x+4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，5）.

設(shè)點(diǎn)M（0，t），過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸，

則CM=BN=4－t.

由△BNH∽△BCO，

得NH=45BN=165－45tBH=35BN=125－35t，

OH=3－（125－35t）=35t+35，

所以N（35t+35，－45t+165）.

AM+AN=（0+3）2+（t－0）2

+（35t+35+3）2+（－45t+165－0）2

=t2+9+（t－25）2+57625

=（t－0）2+（0－3）2

+（t－25）2+（0－245）2.

建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A（0，3），B（25，245），C（t，0）.

（AC+BC）min=BD

=（25－0）2+（245+3）2=61，

即（AM+AN）min=61.

評(píng)注求解折線段最值問(wèn)題時(shí)，通常可以將其轉(zhuǎn)化為典型的“將軍飲馬”問(wèn)題，從而將代數(shù)問(wèn)題幾何化，拓寬了解題的思路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

2以“數(shù)”解“形”

2.1通過(guò)代數(shù)運(yùn)算避免作輔助線

例3如圖4所示，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，CE，∠CED=90°，AD+BC=CD.求證：E是AB的中點(diǎn).

解設(shè)AD=x，BC=y，

則CD=x+y.

在Rt△CDE，Rt△ADE和Rt△BCE中，

由勾股定理得CD2=DE2+CE2DE2=AD2+AE2CE2=BC2+BE2.

所以CD2=AD2+AE2+BC2+BE2，

即（x+y）2=x2+AE2+y2+BE2，

整理可得AE2+BE2=2xy①，

易證△ADE∽△BEC，

則y：AE=BE：x，

所以xy=AE·BE②，

將②代入①中得AE2－2AE·BE+BE2=0，

即（AE－BE）2=0，

故AE=BE，點(diǎn)E即為AB的中點(diǎn).

評(píng)注此題作為一道幾何問(wèn)題，常規(guī)的思路是添加輔助線，實(shí)現(xiàn)條件的轉(zhuǎn)化來(lái)求解，但是在實(shí)際的解題過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)思路難以開(kāi)展.關(guān)注題目條件的特征，出現(xiàn)了多個(gè)直角三角形，就考慮使用勾股定理從代數(shù)角度進(jìn)行運(yùn)算.再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，建立起線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可得到答案.

3結(jié)語(yǔ)

由上述幾道例題可以看出，將代數(shù)和幾何的知識(shí)互相轉(zhuǎn)化，可以在一定程度上降低問(wèn)題的難度.在初中數(shù)學(xué)中，此類(lèi)問(wèn)題比比皆是，學(xué)生要多觀察、多分析、多比較，找到代數(shù)和幾何的平衡點(diǎn).華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，只有將兩者的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合，才能碰撞出創(chuàng)新的火花.