【摘要】本文通過(guò)對(duì)最短路徑問(wèn)題的系統(tǒng)分析與歸納，結(jié)合圖論的基礎(chǔ)知識(shí)，設(shè)計(jì)適合初中學(xué)生理解與實(shí)踐的教學(xué)案例.旨在幫助學(xué)生深入理解最短路徑問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)原理，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力和問(wèn)題解決能力.

【關(guān)鍵詞】最短路徑問(wèn)題；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

1引言

最短路徑問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題之一，在初中數(shù)學(xué)教育中引入此類問(wèn)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和解決復(fù)雜問(wèn)題的能力.本文提出兩種基于最短路徑問(wèn)題的數(shù)學(xué)創(chuàng)新案例研究方法，以期為初中數(shù)學(xué)教育提供新的視角和策略.

2案例研究

例1已知O為圓錐的頂點(diǎn)，M為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)P在OM上，一只螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞圓錐側(cè)面爬行，回到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過(guò)的最短路徑的痕跡如圖1，若沿OM將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，所得側(cè)面展開(kāi)圖是（）

（A） （B）

（C）（D）

解析螞蟻繞圓錐側(cè)面爬行的最短路線應(yīng)是一條線段，因此選項(xiàng)（A）和（B）錯(cuò)誤.又因?yàn)槲浵亸腜點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行后，又回到起始點(diǎn)P處，那么如果將選項(xiàng)（C）（D）的圓錐側(cè)面展開(kāi)圖還原成圓錐后，位于母線OM上的點(diǎn)P應(yīng)該能夠與母線OM′上的點(diǎn)P′重合，而選項(xiàng)（C）還原后兩個(gè)點(diǎn)不能夠重合．故選（D）．

策略分析本文選取了一個(gè)具有代表性的最短路徑問(wèn)題——幾何體的最優(yōu)行走路線設(shè)計(jì).首先，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的圖形模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.當(dāng)螞蟻在一個(gè)幾何體的表面移動(dòng)時(shí)，為了找出其最短路徑，我們往往會(huì)采取一個(gè)實(shí)用的方法：“化曲為平”或“化折為直”，將幾何體展開(kāi)成平面圖形.由題意螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行返回起始點(diǎn)的距離，可轉(zhuǎn)化為扇形上兩點(diǎn)間的距離.可以采取以下解題策略：

建立空間觀念：首先，幫助學(xué)生建立清晰的空間觀念，理解三維空間中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，以及它們與二維平面中的區(qū)別.

實(shí)踐操作：利用教學(xué)模型或教具，讓學(xué)生通過(guò)親手操作來(lái)感受幾何體中的最短路徑問(wèn)題.比如，可以讓學(xué)生用細(xì)線在幾何體模型上實(shí)際測(cè)量最短路徑，從而加深對(duì)問(wèn)題的理解.

數(shù)形結(jié)合：結(jié)合數(shù)學(xué)軟件和圖形計(jì)算器，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)求解最短路徑問(wèn)題.這樣既可以提高學(xué)生的計(jì)算能力，又能培養(yǎng)他們的空間想象力.

數(shù)學(xué)建模：在機(jī)器人導(dǎo)航中，如何使機(jī)器人在復(fù)雜的環(huán)境中快速找到目標(biāo)位置，同時(shí)避免障礙物，也是一個(gè)典型的幾何體最短路徑問(wèn)題.

例2“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李顧《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”問(wèn)題（如圖2）．

（1）如圖3，若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線l的兩側(cè)，請(qǐng)作出示意圖，在直線l上找到點(diǎn)C，使得CA+CB有最小值，并說(shuō)明作圖依據(jù)：；

（2）如圖4，若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l的同側(cè)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上作出點(diǎn)P，使得PA+PB有最小值；

（3）如圖5，已知∠AOB=30°，點(diǎn)Q在∠AOB內(nèi)部，點(diǎn)M，N分別在射線OA，OB上，若OQ=6，請(qǐng)求出△QMN周長(zhǎng)的最小值．

解析（1）連接AB，與直線l相交于點(diǎn)C，則CA+CB有最小值，即為AB．作圖依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短．

（2）如圖6，點(diǎn)P即為所求．

（3）如圖7，作法：

①作點(diǎn)Q關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C.

②作點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D.

③連接CD，分別交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，則△QMN的周長(zhǎng)最小.

連接OC、OD.

因?yàn)辄c(diǎn)C和點(diǎn)Q關(guān)于OA對(duì)稱，所以O(shè)C=OQ=6，∠MOC=∠QOM.

同理可得，OD=OQ=6，∠QON=∠NOD，

所以O(shè)C=OD=6，

∠MOC+∠QOM+∠QON+∠NOD=2∠QOM+2∠QON=2∠AOB=60°，

所以△COD為等邊三角形，CD=6.

所以△QMN的周長(zhǎng)=QM+MN+QN=CM+MN+DN=CD=6．

策略分析將軍飲馬問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)最值問(wèn)題，涉及幾何和代數(shù)的知識(shí).解決這類問(wèn)題通常需要運(yùn)用對(duì)稱性、線性規(guī)劃以及化歸思想等策略，確定是“一定兩動(dòng)”“兩定一動(dòng)”，還是其他變體，然后根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的解題策略.可以采取以下解題策略：

直觀展示：利用數(shù)學(xué)軟件或繪圖工具，直觀地展示將軍從營(yíng)地出發(fā)到“飲馬”再到返回營(yíng)地的各種可能路徑，幫助學(xué)生理解最短路徑的概念.

數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，即將軍的位置、河流的位置以及營(yíng)地的位置可以用點(diǎn)來(lái)表示，而路徑則可以用線段來(lái)表示.然后，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理來(lái)求解最短路徑.

拓展應(yīng)用：在理解了將軍飲馬問(wèn)題的基本原理后，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考如何將該原理應(yīng)用到其他類似的實(shí)際問(wèn)題中，例如城市規(guī)劃、電路設(shè)計(jì)、機(jī)器人路徑規(guī)劃等，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和應(yīng)用能力.

利用數(shù)值模擬技術(shù)：對(duì)地形、障礙物等因素進(jìn)行建模，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬尋找最短路徑.

基于機(jī)器學(xué)習(xí)的方法：通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)算法，訓(xùn)練模型來(lái)自動(dòng)尋找最短路徑，特別適用于復(fù)雜地形和動(dòng)態(tài)變化的環(huán)境.在物流運(yùn)輸中，如何規(guī)劃最優(yōu)的運(yùn)輸路徑，以最小化運(yùn)輸成本和時(shí)間，是一個(gè)典型的將軍飲馬問(wèn)題.

3結(jié)語(yǔ)

本文重點(diǎn)分析了“將軍飲馬問(wèn)題”和幾何體中的最短路徑問(wèn)題.研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)引入生活中的實(shí)際案例，利用數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)、直觀展示、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)形結(jié)合等教學(xué)策略，可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]杭霞，陳鋒.基于核心素養(yǎng)的“后建構(gòu)”課堂小組協(xié)作學(xué)習(xí)研究——以“最短路徑問(wèn)題”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（16）：3-4+7.

[2]沈晨歡.如何解答初中數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題[J].理科愛(ài)好者，2022（06）：30-32.

[3]吳建惠，周敏剛，李碩.始于“活動(dòng)”，成于“轉(zhuǎn)化”，促深度學(xué)習(xí)——以“最短路徑問(wèn)題”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（14）：9-11.