【摘要】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一直是近年數(shù)學(xué)高考試題考查的重點(diǎn)難點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)，其中“隱零點(diǎn)”問(wèn)題更是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中有代表性的難點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn).本研究旨在分析總結(jié)“隱零點(diǎn)”問(wèn)題的特點(diǎn)、規(guī)律、解法，并嘗試構(gòu)建一種有效的解題思路和步驟，深化對(duì)“隱零點(diǎn)”問(wèn)題的理解和掌握.

【關(guān)鍵詞】“隱零點(diǎn)”；函數(shù)零點(diǎn)存在定理；構(gòu)造函數(shù)；函數(shù)與方程思想；轉(zhuǎn)化與化歸思想

“函數(shù)的零點(diǎn)”是高中數(shù)學(xué)函數(shù)非常重要的教學(xué)內(nèi)容.函數(shù)的零點(diǎn)從不同的角度將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機(jī)地聯(lián)系在一起，在解決函數(shù)與方程問(wèn)題中的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，要掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，處理“隱零點(diǎn)”問(wèn)題可考慮“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”“構(gòu)造函數(shù)”、利用“函數(shù)方程思想”轉(zhuǎn)化等.可遵循如下處理方法：第一步，用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f′（0）=0，并結(jié)合f（x）的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍；確定隱性零點(diǎn)范圍的方法是很靈活的，可以由零點(diǎn)的存在性定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到，或者由題設(shè)直接得到；第二步，以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，判斷導(dǎo)函數(shù)f′（x）的正負(fù)，進(jìn)而得到f（x）的最值表達(dá)式；進(jìn)行代數(shù)式的替換過(guò)程中，盡可能將目標(biāo)式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對(duì)數(shù)函數(shù)式用有理式替換，這是能否繼續(xù)深入分析的關(guān)鍵；第三步，將零點(diǎn)方程g（x0）=0適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明.

例1 已知函數(shù)f（x）=ex－1－lnx－ax，a∈R.

（1）當(dāng)a=e－12時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)x0，證明：1＜x0＜2.

思路點(diǎn)撥 第（1）問(wèn)根據(jù)題意得f′（x）=ex－1－1x－e+12，又f″（x）=ex－1+1x2＞0，所以f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，易知f′（2）=0，從而即可求解單調(diào)性；第（2）問(wèn)根據(jù)第（1）問(wèn)可知f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又ex≥x+1恒成立，應(yīng)用零點(diǎn)存在定理“卡根”f′（1+a）=1－11+a＞0，f′（1）=－a＜0，所以存在唯一的t0∈（1，1+a），使得f′（t0）=0，即et0－1－1t0－a=0，分析可知f（x）單調(diào)性，得到f（x）min=f（t0），再通過(guò)分析證明，若函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)x0，則f（t0）=0，所以x0=t0，即ex0－1=1x0+a，所以f（x0）=1x0+a－lnx0－ax0=0，設(shè)u（x0）=1x0+a－lnx0－ax0，分析單調(diào)性并判斷u（1）和u（2）的正負(fù)，即可求解.

規(guī)范解析（1）根據(jù)題意得：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），所以f′（x）=ex－1－1x－e+12，

又f″（x）=ex－1+1x2＞0，所以f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

易知f′（2）=e－12－e+12=0，所以當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，

所以函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)閍＞0，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），所以f′（x）=ex－1－1x－a，

所以f″（x）=ex－1+1x2＞0，所以f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

設(shè)h（x）=ex－x－1，則h′（x）=ex－1，當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0，所以h（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＜0，所以h（x）單調(diào)遞減，所以h（x）≥h（0）=0，

所以ex－x－1≥0，即ex≥x+1，

所以f′（1+a）=ea－11+a－a＞a+1－a=1－11+a＞0，又f′（1）=－a＜0，

所以存在唯一的t0∈（1，1+a），使得f′（t0）=0，即et0－1－1t0－a=0，

當(dāng)x=（0，t0），f′（t0）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（t0，+∞）時(shí)，f′（t0）＞0，

f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（t0），又ex≥x+1，所以x≥ln（x+1），

所以x－1≥lnx，當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，則x＞lnx，

所以f（x）=ex－1－lnx－ax＞ex－1－x－ax=ex－1－（a+1）x，

即f（x）＞ex－1－（a+1）x，又ex－1≥x+1，所以ex－1≥x，所以ex2－1≥x2，

所以ex－2≥x24，又ex－1＞ex－2，所以ex－1＞x24，

所以f（x）＞ex－1－（a+1）x＞x24－（a+1）x，即f（x）＞x24－（a+1）x，

所以f［4（a+1）］＞16（a+1）24－（a+1）×4（a+1）=0，

當(dāng)x→0時(shí)，f（x）＞0，若函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)x0，則f（t0）=0，所以x0=t0，

即ex0－1=1x0+a，所以f（x0）=1x0+a－lnx0－ax0=0，

設(shè)u（x0）=1x0+a－lnx0－ax0，所以u(píng)′（x0）=－1x20－1x0－a＜0，

所以u(píng)（x0）在（1，+∞）單調(diào)遞減，所以u(píng)（1）=1＞0，u（2）=12－ln2－a＜0 ，

所以1＜x0＜2.

例2 已知函數(shù)g（x）=lnx－12x2.

（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）令f（x）=2cosx+g（x），判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

思路點(diǎn)撥 第（1）問(wèn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，由g′（x）＞0x＞0解得函數(shù)增區(qū)間，g′（x）＜0x＞0解得減區(qū)間；第（2）問(wèn)根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域以及正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性和有界性，綜合應(yīng)用零點(diǎn)存在定理和極限思想，分0＜x＜1，1＜x＜π，x＞π三種情況討論，即可推導(dǎo)出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

規(guī)范解析 （1）函數(shù)g（x）=lnx－12x2，由題意可知，x＞0且g′（x）=1x－x=1－x2x=（1+x）（1－x）x，

因?yàn)間′（x）＞0，得0＜x＜1，g′（x）＜0，解得x＞1，

所以增區(qū)間是（0，1），減區(qū)間是（1，+∞）．

（2）已知f（x）=2cosx+lnx－12x2且x＞0，

①當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）=－2sinx－x+1x，設(shè)h（x）=－2sinx－x+1x，

則h′（x）=－2cosx+1x2－1，

由于0＜x＜1，所以h′（x）＜0，即f′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

又f′π6＞0，f′（1）=－2sin1＜0，

所以存在x0∈（0，1），使得函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，1）上單調(diào)遞減，

當(dāng)x0∈（x0，1）時(shí)，f（x0）＞f（1）=2cos1－12＞0，故f（x）在（x0，1）上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)x0∈（0，x0）時(shí)，x→0時(shí)，f（x）→－∞，f（x0）＞0，故f（x）在（0，x0）上必有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)1＜x＜π時(shí)，由（1）可知，y=2cosx與y=g（x）都單調(diào)遞減，

所以y=f（x）在1，π上單調(diào)遞減，又f（1）＞0，f（π）＜0，故f（x）在1，π上必有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)x＞π時(shí)，由（1）可知，g（x）=lnx－12x2單調(diào)遞減，故g（x）＜g（π）=lnπ－12π2，

所以f（x）=2cosx+lnx－12x2＜2cosx+lnπ－12π2＜2+lnπ－12π2＜0，

故f（x）在［π，+∞］上無(wú)零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)f（x）在其定義域上共兩個(gè)零點(diǎn).

結(jié)語(yǔ)

“隱零點(diǎn)”問(wèn)題即函數(shù)零點(diǎn)不可求，其實(shí)質(zhì)是：如果題干中未提及零點(diǎn)或零點(diǎn)不明確，依據(jù)有關(guān)理論（如函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理）或函數(shù)的圖象，能夠判斷出零點(diǎn)確實(shí)存在，但是無(wú)法直接求出.導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)雖然隱形，但只要抓住特征（零點(diǎn)方程），判斷其范圍（用零點(diǎn)存在性定理），最后整體代入即可（注意零點(diǎn)的范圍和特征），我們可對(duì)零點(diǎn)“設(shè)而不求”，通過(guò)整體的代換化簡(jiǎn)，最終解決問(wèn)題．

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