【摘要】本文以九省聯(lián)考數(shù)學(xué)19題新題型的仿真習(xí)題為例，探討核心素養(yǎng)導(dǎo)向下深度學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐，通過深入問題解決過程，應(yīng)用所學(xué)知識解決習(xí)題，以期提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí)；高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)[HT〗

1 引言

九省聯(lián)考數(shù)學(xué)新題型注重深層次思維，預(yù)示高考趨勢.核心素養(yǎng)導(dǎo)向強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)知識的深入理解和靈活應(yīng)用，符合深度學(xué)習(xí)理念.本文以數(shù)列、不等式來探討數(shù)學(xué)的培養(yǎng)實(shí)踐.

2 實(shí)例探究

例1 如果無窮項(xiàng)的數(shù)列an滿足“對任意正整數(shù)i，j（i≠j）都存在正整數(shù)k，使得ak=ai·aj”，則稱數(shù)列an具有“性質(zhì)P”．

（1）若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝2，公差d=3，判斷數(shù)列an是否具有“性質(zhì)P”，并說明理由；

（2）若等差數(shù)列an具有“性質(zhì)P”，a1為首項(xiàng)，d為公差．求證：a1≥0且d≥0；

（3）若等比數(shù)列an具有“性質(zhì)P”，公比為正整數(shù)，且216，315，414，615這四個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)出現(xiàn)在an中，問這兩個(gè)數(shù)所有可能的情況，求出相應(yīng)數(shù)列首項(xiàng)的最小值，說明理由．

（1）解析 若a1=2，公差d=3，則數(shù)列an不具有性質(zhì)P．

由題知an=3n－1，則a1、a2對于假設(shè)存在的正整數(shù)k滿足ak=a1a2，

則有3k－1=2×5=10，解得k=113，k不是正整數(shù)，得出矛盾，

所以對任意的k∈N*，ak≠a1a2．

（2）若數(shù)列an具有性質(zhì)P，則：

①假設(shè)a1<0，d≤0，對任意的n∈N*，an=a1+（n－1）·d<0．

設(shè)ak=a1×a2，則ak>0，矛盾.

②假設(shè)a1<0，d>0，則存在正整數(shù)t，

使得a1<a2<a3<…<at≤0<at+1<at+2<…，

設(shè)a1·at+1=ak1，a1·at+2=ak2，

a1·at+3=ak3，

…，

a1·a2t+1=akt+1，ki∈N*，i=1，2，…，t+1，

則：0>ak1>ak2>ak3>…>akt+1，但數(shù)列an中僅有t項(xiàng)≤0，矛盾.

③假設(shè)a1≥0，d<0，則存在正整數(shù)t，

使a1>a2>a3>…>at≥0>at+1>at+2>…，

設(shè)at+1·at+2=ak1，at+1·at+3=ak2，

at+1·at+4=ak3，

…，at+1·a2t+2=akt+1，ki∈N*，i=1，2，…，t+1，

則：0<ak1<ak2<ak3<…<akt+1，但an中僅t項(xiàng)≥0，矛盾.

綜上，a1≥0，d≥0．

（3）從216，315，414，615中選兩個(gè)數(shù)有6種情況：

216，315;216，414;216，615;315，414;315，615;414，615．

①對于216，414有414216=212為正整數(shù)，可判定等比數(shù)列an中的項(xiàng)，an=2n－1，首項(xiàng)的最小值為1．

下面說明此數(shù)列具有性質(zhì)P：216=a17，414=229，任取i，j∈N*，j>i≥1，

則ai·aj=2i－1·2j－1=2i+j=ai+j－1，i+j－1為正整數(shù)，因此此數(shù)列具有性質(zhì)P.

②對于315，615有615315=215為正整數(shù)，認(rèn)為是等比數(shù)列an中的項(xiàng)，an=315·2n－1，首項(xiàng)的最小值為315．

下面說明此數(shù)列不具有性質(zhì)P：315=a1，615=a16，

若ak=a1·a16=330·215，其非等比數(shù)列an中的項(xiàng)，因此此數(shù)列不具有性質(zhì)P．

同理：216，315;216，615;315，414;414，615每組所在等比數(shù)列an不具有性質(zhì)P．

題目分析 本題涉及數(shù)列性質(zhì)分析與證明，強(qiáng)調(diào)深度鉆研抽象概括與應(yīng)用能力的重要性.

例2 英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sinx=x－x33！+x55?。瓁77！+…，其中n！=1×2×3×4×…×n，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)x∈0，π2時(shí)，sinx<x，sinx>x－x33！，sinx<x－x33！+x55！，….

（1）證明：當(dāng)x∈0，π2時(shí)，sinxx>12；

（2）設(shè)fx=msinx，若區(qū)間a，b滿足當(dāng)fx定義域?yàn)閍，b時(shí)，值域也為a，b，則稱為fx的“和諧區(qū)間”.①m=1時(shí)，fx是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出fx的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；②m=－2時(shí)，fx是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出fx的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.

解析 （1）由x∈0，π2，sinx>x－x33！，

得sinxx>1－x26>1－π226=1－π224>12，

所以當(dāng)x∈0，π2時(shí)，sinxx>12.

（2）①m=1時(shí)，假設(shè)存在f（x）的“和諧區(qū)間”，則由－1≤fx≤1知－1≤a<b≤1，注意到1<π2，故a，b－π2，π2，故fx在a，b上單調(diào)遞增，于是fa=afb=b，即a，b均是方程sinx=x的不等實(shí)根，易知x=±π2不是方程的根，

所以當(dāng)x∈0，π2時(shí)，sinx<x，令x=－t，則有t∈－π2，0時(shí)，sin－t<－t，即sint>t，故方程sinx=x只有一個(gè)實(shí)根0，故fx不存在“和諧區(qū)間”.

②m=－2時(shí)，假設(shè)存在f（x）的“和諧區(qū)間”，則由－2≤fx≤2知－2≤a<b≤2，若a，b≥0，則由a，b0，π，知fx≤0，與值域是a，b0，π矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理a，b≤0時(shí)也不存在.

下面討論a≤0≤b，若b≥π2，則0，π2a，b，故fx的最小值為－2，于是a=－2，所以－π2，π2a，b，所以fx的最大值為2，故b=2，此時(shí)fx的定義域?yàn)椋?，2，值域?yàn)椋?，2，符合題意.

若b<π2，當(dāng)a≤－π2時(shí)，同理可得a=－2，b=2，舍去，當(dāng)a>－π2時(shí)，fx在a，b上單調(diào)遞減，所以a=－2sinbb=－2sina，于是a+b=－2sina+sinb，若b>－a即a+b>0，則sinb>sin－a，故sinb+sina>0，－2sina+sinb<0，與a+b=－2sina+sinb矛盾；

若b<－a，同理矛盾，所以b=－a，b2=sinb.

由（1）知x∈0，π2時(shí)，sinx>x2，因?yàn)閎∈0，π2，所以b=0，a=0，a=b，矛盾.

綜上所述，fx有唯一的“和諧區(qū)間”－2，2.

題目分析 該題目涉及泰勒公式、和諧區(qū)間和不等式證明的存在性與唯一性判定.

3 結(jié)語

分析數(shù)列、不等式典型例題，可見深度學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及其對學(xué)生自主學(xué)習(xí)、邏輯推理和綜合運(yùn)用能力的深遠(yuǎn)影響，是數(shù)學(xué)教育創(chuàng)新和培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展的重要途徑.

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