【摘要】本文對(duì)2022年新高考數(shù)學(xué)I卷第7題、全國(guó)甲卷理第12題比較大小問(wèn)題從考查內(nèi)容、情景設(shè)置、命題導(dǎo)向、素養(yǎng)考核、能力考查等角度進(jìn)行評(píng)析，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)今后的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)及高三復(fù)習(xí)提出建議，以期做到精準(zhǔn)備考.

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí)；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

1 引言

新高考數(shù)學(xué)試題秉承著以“一核、四層、四翼”的高考評(píng)價(jià)體系為依托，聚焦主干知識(shí)，突出考查關(guān)鍵能力，注重基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，彰顯核心素養(yǎng)的命題導(dǎo)向，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)和問(wèn)題解決的通性通法，優(yōu)化問(wèn)題情境，增強(qiáng)試題靈活性、開(kāi)放性，引導(dǎo)減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象，使不同層次學(xué)生有不同層次區(qū)分，充分發(fā)揮高考命題的科學(xué)選拔功能和全面育人導(dǎo)向作用，對(duì)今后的數(shù)學(xué)教學(xué)及高三復(fù)習(xí)備考都有很好的指導(dǎo)意義.

2 試題呈現(xiàn)

（2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第7題）設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=－ln0.9，則（ ）

（A）c>b>a. （B）a>b>c.

（C）b>a>c. （D）b>c>a.

該題可謂小巧玲瓏，貌似簡(jiǎn)單實(shí)則注重推理與運(yùn)算，其思維含量高，充分體現(xiàn)能力立意.筆者以此題為例，談?wù)勛约簩?duì)相關(guān)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與理解.

3 試題評(píng)析

3.1 注重關(guān)鍵能力，突出理性思維，導(dǎo)向教學(xué)

本題選取學(xué)生熟悉的指數(shù)值、對(duì)數(shù)值、分式值為素材，考查比較函數(shù)值的大小，為學(xué)生搭建問(wèn)題平臺(tái).本題解法多樣，為考生綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了條件，使不同思維水平的考生都得到充分展示，試題考查內(nèi)容重點(diǎn)突出，不但體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，也體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用的要求，很好地達(dá)到了考查目的與選拔功能[1].

3.2 淡化命題形式，關(guān)注能力立意，鼓勵(lì)發(fā)散思維

試題形式簡(jiǎn)單、常規(guī)，都是學(xué)生日常練過(guò)的題目類(lèi)型，也是新高考卷、歷年全國(guó)卷考查考點(diǎn)，比如：

（2021年全國(guó)Ⅰ卷理第12題）設(shè)a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04－1，則（ ）

（A）a<b<c. （B）b<c<a.

（C）b<a<c. （D）c<a<b.

（2020年全國(guó)3卷理第12題）已知55<84，134<85，a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）

（A）a<b<c. （B）b<a<c.

（C）b<c<a. （D）c<a<b.

試題重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)比較大小的考查，恰恰體現(xiàn)了考生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)，也揭示了教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中容易忽略的盲區(qū)，貌似都是考生比較熟悉的“類(lèi)型”，給人一種錯(cuò)覺(jué).試題要求學(xué)生根據(jù)具體問(wèn)題情境，主動(dòng)地進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論，體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的理念.鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多方位分析和思考問(wèn)題.以2022年新高考Ⅰ卷第7題為例進(jìn)行分析.

思路1 設(shè)f（x）=（1－x）ex，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）=－xex<0，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，且f（1）=0，f（0）=1，則有f（0.1）=0.9e0.1<1，所以0.1e0.1<19，即a<b.

設(shè)h（x）=ln（x+1）－x，x∈（0，1），可證得ln（x+1）<x，令x=19，即證c<b.

設(shè)g（x）=xex+ln（1－x），g′（x）=（x+1）ex－11－x=（1－x2）ex－11－x，令h（x）=（1－x2）ex－1，可證h（x）在（0，0.1）上單調(diào)遞增，g′（x）>0，g（x）在（0，0.1）上單調(diào)遞增，即g（0.1）>g（0）=0，即c<a，所以c<a<b.

評(píng)注 采用化歸思想，將未知“陌生面孔”轉(zhuǎn)變?yōu)椤笆煜っ嫒荨保幢容^兩個(gè)數(shù)（代數(shù)式）的大小常采用通性通法——作差法和作商法.

思路2 不妨設(shè)a=xex，b=x1－x，c=－ln（1－x），f（x）=lna－lnb=x+ln（1－x） f′（x）=－x1－x<0則f（x）=lna－lnb=x+ln（1－x）在（0，0.1］單調(diào)遞減，f（x）<f（0）=0，即a<b；g（x）=a－c=xex+ln（1－x）（0<x≤0.1），同思路1，即g′（x）=（1+x）（1－x）ex－11－x>0，即c<a.

評(píng)注 通過(guò)觀(guān)察分析a、c與b結(jié)構(gòu)特征，轉(zhuǎn)化相同結(jié)構(gòu)形式，引進(jìn)變量，建構(gòu)函數(shù)模型，借助函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)性進(jìn)行比較，從而得出對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系.

思路3 易知：ex≥x+1，則ab=9e0.110=0.9e－0.1=1－0.1e－0.1<1，即a<b.由f（0.1）=0.1e0.1+ln（1－0.1）=a－c可構(gòu)造函數(shù)f（x）=xex+ln（1－x），x∈（0，0.1），

f′（x）=（x+1）ex－11－x≥（x+1）2－11－x=－x（x2+x－1）1－x>0，f（x）在（0，0.1）上單調(diào)遞增，則f（x）>f（0）=0，故c<a，易知：ln（x+1）<x，x>0，可令c=ln109=ln1+19<19，即證c<b.

思路4 利用lnx<12x－1x（x>1）與ex<11－x（x<1）則有1+0.1<e0.1<11－0.1=109a<b.

因?yàn)閍>0.11，c=ln（1+19）<12×109－910=19180<0.11<a，故c<a<b.

思路5 先證：xex>x（x+1），則有a=0.1e0.1=110e110>110×1110=11100=0.11.

再證lnx<12x－1x（x>1），則有c=ln109≤12×109－910=19180，則有a>c.

最后由ex<11－x（0<x<1），推得xex<x1－x（0<x<1），當(dāng)x=0.1，則有0.1e0.1<19，綜上可有：c<a<b.

同樣，針對(duì)a與b大小比較可采用方式一（取倒數(shù)，再放縮）：1a=10e0.1=10e－0.1>10×（－0.1+1）=9=1b，所以a<b.方式二（取對(duì)數(shù)，再放縮）：0.1e0.1<19e110<109110<ln1091－910<ln109，所以a<b.

評(píng)注 利用兩個(gè)經(jīng)典不等式解決問(wèn)題，降低了思考問(wèn)題的難度，優(yōu)化了推理和運(yùn)算過(guò)程．適度放縮與靈活變形取值，方法較巧妙，需要學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的積累和領(lǐng)悟運(yùn)用.新高考試題的特點(diǎn)，既重視試題的基礎(chǔ)性、通性通法，又注意到試題的梯度和區(qū)分[2].

4 教學(xué)思考

4.1 教學(xué)回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要揭示新授知識(shí)與學(xué)過(guò)的知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，這需要教學(xué)進(jìn)度和節(jié)奏的“慢”過(guò)程.課堂中留足時(shí)間讓學(xué)生理解弄透概念和命題的形成過(guò)程，提煉相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)消化、吸收，經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)、說(shuō)數(shù)學(xué)”的再創(chuàng)造過(guò)程.在問(wèn)題情境中，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)、找出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析.教師可以在新知問(wèn)題關(guān)鍵點(diǎn)、理解困頓、求解出錯(cuò)、思維轉(zhuǎn)折等時(shí)段進(jìn)行追問(wèn)，增加學(xué)生對(duì)新知理解的梯度、廣度、深度，鼓勵(lì)學(xué)生合理質(zhì)疑和深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)高階思維.

4.2 強(qiáng)化“四基”訓(xùn)練，優(yōu)化單元教學(xué)設(shè)計(jì)

新課標(biāo)倡導(dǎo)以學(xué)生為主體，教師要換位思考，多從學(xué)生的角度看問(wèn)題，預(yù)設(shè)學(xué)生可能出現(xiàn)的認(rèn)知沖突與思維障礙，重視學(xué)生的思考角度與分析脈絡(luò)，形成知識(shí)體系.可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“出聲思維”，比如“說(shuō)數(shù)學(xué)”，指?jìng)€(gè)體用口頭表達(dá)自己對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體認(rèn)識(shí)、理解，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路、思想和方法以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、體會(huì)等的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，它包括“說(shuō)知識(shí)”“說(shuō)過(guò)程”“說(shuō)異見(jiàn)”和“說(shuō)體會(huì)”.優(yōu)化單元教學(xué)設(shè)計(jì)促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，盡可能多地讓學(xué)生參與到課堂中來(lái)，最大限度挖掘思維潛力，同時(shí)要重視題型歸類(lèi)、辨析、變式、總結(jié)，引導(dǎo)一題多解、一題多變、多題一解，通過(guò)歸納提升、變式訓(xùn)練、反思感悟，提高學(xué)生的解題能力[3].

4.3 重視新高考命題研究，精準(zhǔn)把握備考方向

首先，要高度關(guān)注“依據(jù)”——《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》及高考權(quán)威部門(mén)發(fā)布的新政策.聚焦對(duì)主干知識(shí)、方法、思想的理解和應(yīng)用，壓實(shí)通性通法掌握，淡化解題技巧，融入考試“技巧”，注重開(kāi)放性問(wèn)題和探究性問(wèn)題.

其次，要研究透徹“材料”——高考真題.歷年高考真題是命題專(zhuān)家集體智慧的結(jié)晶，是寶貴的備考資料.研究高考真題高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)分布的規(guī)律，把握“變化中的不變性”，梳理命題考查方式與特點(diǎn)，多角度研究試題解法、考查方向、問(wèn)題情境的設(shè)計(jì).能從教、學(xué)、考、評(píng)四個(gè)角度來(lái)思考命題：如何選材、剪材，如何命題，如何答題，如何分析試卷，以達(dá)“操千曲而后曉聲，觀(guān)千劍而后識(shí)器”.

再次，要編排適宜的“數(shù)學(xué)問(wèn)題”——精選、精練與精講.根據(jù)學(xué)生學(xué)情，以“四翼”為命題維度，調(diào)整日常的測(cè)驗(yàn)、考試命題維度.精選設(shè)計(jì)：知板塊專(zhuān)題（第一輪復(fù)習(xí)常用）；通性通法專(zhuān)題（重點(diǎn)突破）；關(guān)鍵能力提升專(zhuān)題；針對(duì)性專(zhuān)題等.

最后，要教會(huì)學(xué)生“算法”和“算理”——提高學(xué)生的算力.在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)與數(shù)學(xué)運(yùn)算有關(guān)的算法和算理內(nèi)容的溫習(xí)，促使學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容算法和算理的理解與掌握，糾正學(xué)生以往運(yùn)算過(guò)程中存

在的錯(cuò)誤；要重視具體運(yùn)算過(guò)程的示范、引領(lǐng)，規(guī)范演算書(shū)寫(xiě)過(guò)程；反思總結(jié)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化計(jì)算方法，使數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)從技能習(xí)得走向思維發(fā)展.

4.4 夯實(shí)數(shù)學(xué)閱讀能力，培育良好答題習(xí)慣

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和問(wèn)題的解決都起源于數(shù)學(xué)閱讀.任子朝等人認(rèn)為數(shù)學(xué)閱讀是文字、數(shù)據(jù)等材料中獲取信息的心理活動(dòng)過(guò)程，不僅包括數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖象的理解、記憶、認(rèn)知等過(guò)程，還包括對(duì)材料的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析、綜合、歸納、推理想象等一系列思維過(guò)程，是區(qū)別于一般閱讀的復(fù)雜的智力活動(dòng).在解題策略方面，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，能夠?qū)ξ淖帧⒎?hào)、圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)換，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力.突出通性通法的優(yōu)點(diǎn)，促進(jìn)通性通法的內(nèi)化.教學(xué)上多使用最自然的問(wèn)題解決辦法（雖然不一定是最優(yōu)的方法），提高自我分析問(wèn)題能力.因此，在復(fù)習(xí)備考中，要提高學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的規(guī)范性，數(shù)學(xué)表述的邏輯性和清晰性.這也要求教師在課堂教學(xué)中以規(guī)范書(shū)寫(xiě)進(jìn)行示范，課下進(jìn)行面批面改針對(duì)性輔導(dǎo)，防范“學(xué)而不會(huì)、會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全、全而不快、快而不美”現(xiàn)象發(fā)生.

【本文系2023年度廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究（課題編號(hào)：202215129）》研究成果；廣東省教育科學(xué)規(guī)劃2023年度中小學(xué)教師教育科研能力提升計(jì)劃項(xiàng)目《“說(shuō)數(shù)學(xué)”促進(jìn)高中學(xué)生克服數(shù)學(xué)語(yǔ)言障礙的實(shí)踐探究》（課題批準(zhǔn)號(hào)：2023ZQJK001）研究成果；2023年度廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于深度學(xué)習(xí)的高中“說(shuō)數(shù)學(xué)”應(yīng)用于新授課的實(shí)踐探究（名師專(zhuān)項(xiàng)）》（課題編號(hào)：202317074）研究成果】

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]鐘進(jìn)均，朱維宗.從默會(huì)知識(shí)例析“說(shuō)數(shù)學(xué)”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2009（9）：7-8.